2022届高考数学二轮专题复习专题01 函数的图象和性质 讲义

专题01函数的图象和性质【考情分析】考查特点:高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面,多以选择题、填空题的形式考查,难度一般;主要考查函数的定义域、值域的求法,分段函数求值与解不等式问题,函数图象的判断及函数的奇偶性、单调性、周期性等.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算.【题型一】函数及其表示lnx【典例分析】1.(2021•北京市第四十三中学高三月考)函数f(x)二的定义域为x一1()A.(0,+8)B.(O,l)u(1,+8)C.[0,+8)D.[0,12(1,+8)【答案】B【解析】由题意得：]得x>0且x丰1，所以函数的定义域为(0,1)u(1,+8)，故〔x—1丰0选：B(2021・江西高三模拟)设函数/(x)(2021・江西高三模拟)设函数/(x)二2x—3,x>1x2—2x—2,x<1若f(x0)=1，则x0二(A.—1或2B.2或3C.—1或3D.—1或2或3【答案】a【解析】当x0'1时，f(X)=2x-3,2x-3=1，二x0=200000当x<1时，f(x)二x2-2x—2,.x2-2x—2=1，解得x=3(舍去)，x=一1，故00000000选A．【提分秘籍】1.高考常考定义域易失分点：⑴若沧)的定义域为［加，n］,则在f［g(x)］中，mWg(x)Wn，从中解得x的范围即为f［g(x)］的定义域；⑵若f［g(x)］的定义域为［m,n］,则由mWxWn确定的g(x)的范围即为fx)的定义域.2.高考常考分段函数易失分点：注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提；利用函数性质转化时,首先判断已知分段函数的性质,利用性质将所求问题简单化.【变式演练】1.(2021•山东省实验中学高三模拟)若y=f(x)的定义域为(0,2］,则函数g(x)=的定义域是()A．(0A．(0，1]B．[0，1)C.(0,1)°(1,4]D.(0,1)2.(2021・2.(2021・辽宁高三模拟)已知函数f(x)=vx+2,x>12f(x+3),x<1答案】Dn/co【解析】由y=f(x)的定义域为(0,2］，令<【解析】由【解析】由y=f(x)的定义域为(0,2］，令<x—1解得0<x<1函数g(x)=匹也的定义域是(0,1)x—1答案】32x-'x+2,x>1£()IVx+x-'x+2,x>1【解析】f(x)=Lf(x+3),x<1.f(—10)=2f(-7)=4f(-4)=8f(-1)=16f(2)=32.故答案为:32

题型二】函数的图象及应用【典例分析（1）函数夬x）=：on；；；2在[―n，n]上的图象大致为（）「|2x+l|,x<1,（2）（2021・合肥调研）已知函数fx）={（—）若f（x1）^f（X2）^f（x3）（x1,x2，x3[log?（xm）,x>1,互不相等），且X]+x2+x3的取值范围为（1,8）,则实数m的值为.【答案】（1）D（2）1【解析】"―x）=coS；?X）?（1x）2=—COSX；；2=-fx），•••fx）为奇函数，排除A；sinn+n

sinn+n

cosn+n2n—1+n2>0,•排除C；•・7（1）=，且sin1>cos1,・・・f（1）>1,・•・排除B,故选D.cos1+1（2）作出fx）的图象，如图所示，可令x1<x2<x3，则由图知点（x1，0）,（x2，0）关于直线x=

—2对称，所以x1+x2=—1.又因为1<x1+x2+x3<8，所以2<x3<9•结合图象可知A点坐标为（9,3）,代入函数解析式得3=log2（9—m）,解得m=1.提分秘籍】1.图像的识别：已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.图像的应用：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【变式演练】1・(2021•江苏金陵中学高三模拟)下列四个图象可能是函数y二吟严图象的是【答案】C【解析】口y二51°盯：+11的定义域为{xIx1},x+15logIxI其图象可由y二3的图象沿x轴向左平移1个单位而得到,x5logIxI口y二3为奇函数，图象关于原点对称，x口y二3的图象关于点(—1,0)成中心对称.x+1

c5logIx+1丨门可排除A、D项.当x>0时，y=3>0,DB项不正确.故选：Cx+1x22xo2.(2021・北京石景山区•高三一模)已知f(x)=仁Jc，若f(x)ax在xE[_1，1]3x一2,x>0B.[0,1]C.[_1,0]B.[0,1]C.[_1,0]A.(_®_1][0,+8)UD.(_1,0)【答案】C【解析】作出y【解析】作出y=f(x),y=ax在[_i,i]上的图象如下图所示:因为|f(x)|ax在xe[_1,1]上恒成立，所以y=|f(x)|的图象在y=ax的图象的上方(可以部分点重合)，且f(_1)=I1_2=1，令3x_2=0，所以x=f，所以A(_1,1),B3,0，3v3丿根据图象可知：当y=ax经过点A(_1，1)时，a有最小值，a=_1，min(2)当y=ax经过点B-,0时，a有最大值，a二0，v3丿max综上可知a的取值范围是[_1,0]，故选：C.【题型三】函数的性质及应用xx>0xx>0【典例分析】⑴3.(2021•新高考II卷T8)已知函数八x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数，f(2x+l)为奇函数，则()C.f(2)=0D.f(4)=0C.f(2)=0D.f(4)=0■^-1【答案】B【解析】由题意，f(x+2)为偶函数，可得f(x+4)=f(-x),f(2x+1)为奇函数，可得f(-2x+1)=-f(2x+1),令F(x)=f(2x+1)为奇函数，可得F(0)=f(1)=0，・・・f(-1)=-f(3)=-f(1)=0，即f(-x)=-f(x+2)，・f(x+4)=-f(x+2)，易知f(x)的周期7=4，其他选项的值不一定等于0.即f(-1)=0，故选：B.(2)若定义在R的奇函数fx)在(一2,0)单调递减，且f(2)=0,则满足幼(x-1)>0的x的取值范围是()A.[-1,1][3,+QB.[-3,-1][0,1]C.[-1,0][1,+x)D.[-1,0]H,3]【答案】D【解析】因为定义在R上的奇函数f(x)在(-g,0)上单调递减，且f⑵二0，所以f(x)在(0,+Q上也是单调递减，且f(-2)=0，f(0)=0，所以当xe(—g,—2)u(0,2)时，f(x)>0，当xe(-2,0)(2,+a)时，f(x)<0，所以由xf(x-所以由xf(x-1)>0可得：彳0Wx-1W2或x-1W-2或“°-2Wx—1W0^或x—1>2茂11+x11+x解得—1WxW0或1JxJ3，所以满足xf(x-1)-0的x的取值范围是［1,3］，故选D.提分秘籍】高考常考函数四个性质的应用：(1)奇偶性，具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上，其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可以转化到部分(一般取一半)区间上，注意偶函数常用结论fx)=f(|x|)；单调性，可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性；周期性，利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题转化到已知区间上求解；对称性，常围绕图象的对称中心设置试题背景，利用图象对称中心的性质简化所求问题.【变式演练】1.(2021•甲(理)卷T12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶9函数，当xG[1,2]时，f(x)=aX2+b.若f(0)+f(3)=6，则f(3)=()A．BA．B．D．【答案】D【解析】Tf(x+1)为奇函数，.°.f(l)=0,且f(x+1)=-f(-x+1)'：f(x+2)偶函数，・：f(x+2)=f(-x+2),(x+1)+l]=-f[-(x+l)+1]=-f(-x)，即f(x+2)=-f(-x),.f(-x+2=f(x+2=-f(-x．令t=-x，则f(t+2)=-f(t)，.f(t+4=-f(t+2=f(t，.f(x+4=f(x．当xG[1，2]时,f(x)=ax2+b.

f(0)=f(-l+l)=-f(2)=-4a-b,f(3)=f(1+2)=f(-1+2)=f(1)=a+b,又f(0)+f(3)=6,.°.-3a=6,解得a=-2,°.°f(1)=a+b=0,.°.b=-a=2,・••当xg1,2］时,f(x)=-2x”2,91395-2X4+2)=2•故选：••八2)=f95-2X4+2)=2•故选：11.（2021•辽宁本溪高级中学高三模拟）函数人兀）=1—+lg（1+x）的定义域是（）1—x(—8,—1)B.(1,+g)C.(—1,1)EI(1,+8)D.(—8,+8)【答案】C1【解析】因为2三+lg（1+x）,(1-x主0所以需满足］1+x>O'解得x>-1且X丰1,所以函数的定义域为（一1,1）口（1,+^）,故选：C2-（2021•天津南开中学高三模拟）设函数f（x）=，则下列函数中为奇函数的是（）A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1【答案】B二二f11+3二二f11+3对于A,f(x-1)—1=-2不是奇函数;【解析】由题意可得【解析】由题意可得f（x）-M=-1+二x对于B,f(x—1)+1奇函数；x对于c,f(x+1)-1二吕—2，定义域不关于原点对称’不是奇函数;对于D,fg+1)+1二吕，定义域不关于原点对称’不是奇函数故选：B(2021湖北襄阳五中高三模拟)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex，则g(x)=()A.eA.ex—e-x：(ex+e—x)C.17(e—C.17(e—x—ex)D.17(ex—e—x)【答案】D【解析】口f(x)为定义在R上的偶函数，口/(—x)二/(x),又口g(x)为定义在R上的奇函数，g(-x)二-g(x),由f(x)+g(x)二ex.f(—x)+g(—x)二f(x)—g(x)二e一x,口g(x)二-(ex—e-x).故选：D.(2021・湖南长沙长郡中学高三模拟)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)=f(—x).若f[―A.B.C.D.A.B.C.D.答案】c解析】由题意可得：(53丿—解析】由题意可得：(53丿—f3丿1111(11(11一fV3丿V3丿3丿13故ff5丿二1•故选：cV3丿3（2021・江苏南京外国语高三模拟）若函数y=f（x）的大致图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A.f(x)=析式可能是（）A.f(x)=xB.f(x)=C.f（xC.f（x）=話【答案】CD.f(x)二【解析】由图可知，当xe（0,1）时，f（x）<0,1取x-21取x-2，则对于B，121-2=1>0，所以排除B,对于D,f（2）==3>°，所以排除D，x11当x>0时，对于A，f（x）=二1+，此函数是由y=-向右平移1个单位，再向x-1x-1x上平移1个单位，所以x>1时，f（x）>1恒成立，而图中，当x>1时，f（x）可以小于1，所以排除A,故选：C6・(2021・海南高考真题)若定义在R的奇函数川兀)在(-®0)单调递减，且人2)=0,贝卩满足Xf(x-1)>0的x的取值范围是()A[—1,1][3,+QB・[-3,-1][0,1]UUC[-1,02[1,)D・[-1,02[1,3]【答案】D【解析】因为定义在R上的奇函数f(x)在(y,0)上单调递减，且f⑵二0,所以f(x)在(0,+Q上也是单调递减，且f(-2)=0,f(0)=0,所以当xe(—g,—2)u(0,2)时，f(x)>0，当xe(-2,0)(2,+a)时，f(x)<0,u所以由xf(x-1)>0可得：x<0fx>0<或y或x=0[-2<x-1<0或[0<x-1<2或解得-1WxW0或1<x<3，所以满足xf(x-1)>0的x的取值范围是[-1,0]u[1,3]，故选：D.Ollnx|,x>01〃，则[e-x+1,x<0f2(x)+f(x)二2实数根的个数为()A・2B・3C・4D・5【答案】A【解析】；f2(x)+f(x)-2=0n(f(x)+2)(f(x)-1)=0，解得：f(x)=-2或f(x)=1，x>0x>0x<0fy|lnx|=-2或|lnx|=1或或<e-x+1=-2或、x0e-x+1=1

•-方程实数根的个数为2个，故选：A.8.(2021・湖南长沙长郡中学高三模拟)对于函数y=f^x),其定义域为Q,如果存在区间［m,n］\JD，同时满足下列条件：Q/"(x)在［m,n］上是单调函数；□当/"(x)的定义域为［m,n］时，值域也是［m,n］,则称区间［m,n］是函数f(x)的“K区间”•若函数f(x)=p-x-a(a>0)存在“K区间”，则a的取值范围为()A.B.C.f4,1A.B.C.f4,1I41D.(-,1]【答案】C【解析】f(x)【解析】f(x)为减函数，所以J_m-a=nV4~n-a二m两式相减化简得》'-m+、：-n=1.代人J-m-a二nV4-n-a=m,得a=-n-4~n+1Va二-m-J-m+1问题转化为函数y=问题转化为函数y=a与函数y=x2-x+1(x>0)有两个交点f討故选:C结合图像可知aG9.(2021・浙江镇海中学高三模拟)假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者,现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型•假设捕食者的数量以x(J表示，被捕食者的数量以yG)表示•下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向•下列说法不正确的是()若在[、12时刻满足：y([)=y(t2)，则x([)=x(t2)如果y(t)数量是先上升后下降的，那么x(t)的数量一定也是先上升后下降被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值【答案】ABD【解析】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到y(t)是先上升后下降，而x(t)是不断变小的，故b不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x(t)w(25,30),y(t)w(0,50),此时二者总和x(t)+y(t)w(25,80)，由图象可知存在点x(t)=10,y(t)=100,x(t)+y(t)=110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误,故选：ABD.I(3—2a)x—1,xW1(2021・江阴市第二中学高三模拟)设函数f(x)=f(a>0且a丰1),［ax,x>1下列关于该函数的说法正确的是()若a=2，贝yf(log23)=33若f(x)为R上的增函数，则1<a<-3若f(0)=—1，则a二-厶函数f(x)为R上奇函数【答案】AB【解析】对于选项A,因为log23>1，所以f(log3)=2iog-3=3，所以选项A正确；对于22I3—2a>03选项B,欲使得该函数为增函数，则满足］a>1,解得1<a<-,所以选项B正确；［3—2a—1Wa对于选项C,使得f(0)=-1，此时a>0且a丰1，与条件不符，所以选项C错误；对于选项D,该函数为非奇非偶函数，所以选项D错误，综上只有选项AB符合题意，故选AB.(2021・重庆南开中学高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y二f(x)，则对函数y二f(x)的判断正确的是()函数g(x)=f(x)-2、込在［—3,9］上有两个零点函数y二f(x)是偶函数C.函数y二f(x)在［—8,—6］上单调递增

D•对任意的X&R，都有f(X+4)=f(x)【答案】AB【解析】当-4x-2,b的轨迹是以A为圆心，半径为2的4圆41当—2x2时，b的轨迹是以D为圆心，半径为2^2的4圆,1当2x4时，B的轨迹是以C为圆心，半径为2的丁圆，41当4x6时，B的轨迹是以A为圆心，半径为2的圆，4作出函数的图象如图，函数值域为［0，2问，则函数f(x)与直线y=2迈的图象在［-3，9］上有2个交点，故A正确；函数为偶函数，故B正确；由图可知，函数f(x)在［-8，-6］上单调递减，故C错误；由图，当x=0时，f(0)=2<-2，/(4)=0，此时f(4)h沽j，故D错误故选：AB.12.(2021・江苏连云港市•高三模拟)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x+1)都为奇函数，则()A.f(xA.f(x-1)为奇函数B.f(x)为周期函数C.C.f(x+3)为奇函数D.f(x+2)为偶函数ff（x）=2-x.则f（6）的值是【答案】ABC【解析】由题意知：f(—x—1)+f(x+1)=0且f(—x+1)+f(x+1)=0,口f(1-x)=f(-1-x)，即f(x-1)二f(x+1)，可得f(x)二f(x+2),口f(x)是周期为2的函数，且f(x-1)、f(x+2)为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：f(x+1)=f(x+3)，即f(x+3)为奇函数，C正确.故选：ABC.TOC\o"1-5"\h\z(2021•山东滕州一中高三模拟)若函数f(」一)=I