2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强学校高三（上）开学验收数学试卷（二卷）（含解析）

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一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.命题：，的否定是()

A.，B.，

C.，D.，

2.设全集为，，则()

A.B.或

C.D.或

3.已知，则，，的大小关系是()

A.B.C.D.

4.已知正项等比数列，若，，则()

A.B.C.D.

5.已知，则()

A.B.C.D.

6.已知，则()

A.B.C.D.

7.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

8.下列各式中值为的是()

A.B.

C.D.

9.若函数有三个零点，则实数的可能取值是()

A.B.C.D.

10.已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，存在“巧值点”的是()

A.B.C.D.

11.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音若一个复合音的数学模型是函数，则当时，函数一定有()

A.三个不同零点B.在上单调递增

C.极大值，且极大值为D.一条切线为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

12.写出一个定义域为且图象不经过第二象限的幂函数______．

13.设，则______．

14.若函数在处取得极小值，则______．

15.已知定义域为的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

已知函数

求函数的最小正周期及函数的单调递减区间；

求函数在上的值域．

17.本小题分

已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于轴对称．

求函数的解析式；

若关于的方程在上恰有两个实数根，求实数的取值范围．

18.本小题分

已知函数．

Ⅰ若，求曲线在点处的切线方程；

Ⅱ若在上单调递增，求实数的取值范围．

19.本小题分

已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，．

求数列，的通项公式；

数列满足，求数列的前项的和．

20.本小题分

某厂生产的产品每件包装成一箱，每箱含，，件次品的概率分别为，，在出厂前需要对每箱产品进行检测，质检员甲拟定了一种检测方案：开箱随机检测该箱中的件产品，若无次品，则认定该箱产品合格，否则认定该箱产品不合格．

在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，求该箱产品不含次品的概率；

若质检员甲随机检测一箱中的件产品，抽到次品的件数为，求的分布列及期望．

21.本小题分

已知函数，其中．

讨论函数零点个数；

求证：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：命题：，的否定是，．

故选：．

存在改任意，将结论取反，即可求解．

本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：，，

．

故选：．

根据交集的定义运算即可．

本题考查集合的基本运算，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：，

，

，

，，的大小关系是．

故选：．

利用指数函数、对数函数的性质直接求解．

本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.【答案】

【解析】解：根据等比中项，可得，

又是正项数列，故负值舍去，

设等比数列的公比为，

由，可得，

解得正项等比数列公比不可是负数，负值舍去，

故．

故选：．

根据等比中项，先求出，然后根据求出公比，最后求．

本题考查等比数列的通项公式，属基础题．

5.【答案】

【解析】解：因为，

所以

．

故选：．

利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案．

本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：令，，

则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

因为，，，

，

所以．

故选：．

构造函数，，利用导数判断函数的单调性，从而可得，，的大小．

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．

7.【答案】

【解析】【分析】

本题主要考查函数的极值点，属于中档题．

先求导函数，函数有两个极值点，等价于函数与的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图可求得实数的取值范围．

【解答】

解：函数，

则，

令得，

函数有两个极值点，

等价于有两个零点，

等价于函数与的图象有两个交点，

在同一个坐标系中作出它们的图象如图，

当直线与的图象相切时，设切点为，

对于，，

则，解得，

由图可知，当时，

与的图象有两个交点．

则实数的取值范围是

故选B．

8.【答案】

【解析】解：对于，，选项A不合题意；

对于，，选项B不合题意；

对于，，选项C满足题意；

对于，，选项D正确．

故选：．

利用三角函数恒等变换公式逐个计算判断即可．

本题考查了三角函数恒等变换公式应用问题，是基础题．

9.【答案】

【解析】解：函数有三个零点，

等价于有个根，

即函数与函数有个交点，

令，

则，

当或时，；当时，，

所以在，上单调递增，在上单调递减；

又，，

所以的大致图象为：

所以，所以，故A错误．

故选：．

根据已知，把函数零点转化为方程根的问题，再分离参数，利用导数研究函数图象，数形结合，即可求解．

本题考查利用导数研究函数的单调性，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．

10.【答案】

【解析】解：对于选项A：易知，

令，

解得，

所以函数有“巧值点”；

对于选项B：易知，

令，

作出函数，的图象：

可知方程有解，有“巧值点”，故选项B正确；

对于选项C：易知，

令，

即，

解得，无解，不存在“巧值点”，故选项C错误；

对于选项D：易知，

令，

整理得，

不妨设，函数定义域为，

得，

所以函数在上为增函数，

又，，

所以函数在上有唯一零点，

即方程在上有解，

则有“巧值点”，故选项D正确．

故选：．

由题意，结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可．

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．

11.【答案】

【解析】解：对于，由得：，即或，

，，解得或，A错误；

对于，，

，，，，且当时，，则在上单调递增，B正确；

对于，由选项B知，当时，，单调递增；当时，，单调递减，

因此当时，取得极大值，C正确；

对于，显然函数过原点，，且，因此的图象在原点处的切线方程为，

因为直线过原点，因此直线不是图象在原点处的切线，

令，，即函数在上单调递增，

当时，，即，于是函数在上的图象总在直线的下方，

所以直线不可能为图象的切线，D错误．

故选：．

A.由得，然后可求出的零点，从而可判断的正误；

B.，根据求出的范围，从而得出，然后可判断的正误；

C.根据选项B求出的导数，可得出时，；时，，从而得出时取得极大值，从而可判断的正误；

D.可根据导数判断不是图象在原点的切线，令，，从而得出，即得出，然后即可判断的正误．

本题考查了二倍角的正弦和余弦公式，函数零点的定义及求法，根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数和复合函数的求导公式，函数极值的求法，函数在图象上一点的切线方程的求法，考查了计算能力，属于难题．

12.【答案】答案不唯一

【解析】解：，定义域为，图象不经过第二象限，且为幂函数，符合题意．

故答案为：答案不唯一．

根据已知条件，结合幂函数的定义，以及性质，即可求解．

本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．

13.【答案】

【解析】解：因为，解得，

所以．

故答案为：．

利用正切的差角公式化简求出的值，再利用正切的和角公式化简即可求解．

本题考查了正切的和差角公式，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：已知，函数定义域为，

可得，

若函数在处取得极小值，

此时，

解得，

当时，，

此时，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，

则符合题意．

故答案为：．

由题意，对函数进行求导，将函数在处取得极小值，转化成，解出的值，将其代入函数解析式中，利用导数得到函数的单调性进行检验，进而即可求解．

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．

15.【答案】

【解析】解：因为定义域为的偶函数满足，

所以，，所以，

所以函数是以为周期得周期函数，

方程的实数解个数，

即函数，的交点个数，

不难发现也是偶函数，

所以两函数的交点是关于纵轴对称的，

这里只分析的情况．

结合条件作出两函数简要图象如下：

当时，

此时有两个交点，即，

当时，

此时有个交点，即，

当时，

此时有个交点，即，以此类推，可知，

故，

所以．

故答案为：．

由条件分析得函数的周期性，结合对称性作出草图，分析两函数的交点个数，得出数列通项，裂项相消求和即可．

本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性、函数与方程思想，也考查了数形结合思想，裂项相消求和，属于中档题．

16.【答案】解：，

的最小正周期；

令，，解得：，，

的单调递减区间为，；

当时，，

，，

即在上的值域为．

【解析】由三角函数公式化简，由周期公式可得周期，由整体法求解可得单调区间；

由的范围利用换元法可得值域．

本题考查三角函数的性质，考查二倍角公式，属于基础题．

17.【答案】解：的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，

所以，．

由于，

故，

所以；

根据，

所以，

当，即时，单调递增，

当，即时，单调递减，

且，，，

由于函数在上恰有两个实数根，

所以，

所以实数的取值范围为．

【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

直接利用三角函数关系式的变换和函数的图象的变换的应用求出函数的关系式；

利用函数的性质的应用求出的取值范围．

18.【答案】解：Ⅰ由题意得，当时，，，

，，

切线方程为，即．

Ⅱ在上单调递增，在上恒成立，

令，即在上恒成立，

令，其对称轴方程为，

问题等价于，

解得，

实数的取值范围是．

【解析】Ⅰ根据导数的几何意义求得切线斜率，利用点斜式即可求解；

Ⅱ求导，利用在上恒成立，令，利用一元二次不等式的性质求解即可．

本题考查了导数的综合应用，属于中档题．

19.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

因为，，

所以得，解得或，

因为数列为正项数列，为正项递增数列，

所以，，

所以，；

由得，

所以数列的前项和为

．

【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，然后根据已知条件列方程组可求出，，从而可求出数列，的通项公式；

由得，然后利用分组求和法可求得结果．

本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

20.【答案】解：记“质检员甲认定一箱产品合格”为事件，“该箱产品不含次品”为事件，

则，

，

由条件概率公式得，

所以在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，该箱产品不含次品的概率为．

由题意可得可以取，，，

则，

，

，

所以随机变量的分布列为：

所以．

【解析】利用条件概概率的公式即可；

列出的取值，并根据题意得到各值的概率求出期望即可．

本题主要考查离散型随机变量分布列、期望的求解，考查转化能力，属于中档题．

21.【答案】解：，，

，

时，，在单调递减，

而，故在上有个零点，

时，令，解得，令，解得，

故在递增，在递减，

故，

令，则，

令，解得，令，解得，

故在递