高阶线性微分方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

§12-7高阶线性微分方程1/61设y1=y1(x),y2=y2(x),

,yn=yn(x)是一组定义在区间I上函数，假如存在n个不全为零常数k1,k2,

,kn,使得

xI,恒成立k1y1+y2+

+kn

yn=0则称y1,y2,

,yn,是线性相关.不然称它们是线线性无关.线性无(相)关定义:2/61例1.sin2x,cos2x,1在R上线性相关.因sin2x+cos2x–1=03/61例2.1,x,x2,,xn-1,在R上线性无关.证:若

k0,k1,,kn-1,使k0+k1x++kn-1xn–1=0在R上成立,必有k0=k1==kn-1=0.两个非零函数y1,y2在区间I上线性无关4/61假如y1,y2是齐次方程(2)两个解,则(i) y=

y1+y2

也是(2)解.(ii) y=

ky1也是(2)解.证:

(i)因Ln(y1)=0,Ln(y2)=0,

所以,

Ln(y)=

Ln(y1)+Ln(y2)=0.即y

是(2)解.同理可证(ii).定理1(叠加原理)5/61若y1,y2是二阶方程(2)两个线性无关解,则方程(2)通解为

y=C1y1+

C2y2其中C1,C2为任意常数.同理,若Ln(y)=0有n个线性无关解y1,y2,

,yn,则通解为

y=C1y1+

C2y2+

+Cn

yn

定理26/61例3.给定方程y''–y=0y1=ex,y2=e–x是该方程两个解,线性无关.故其通解为y

=C1ex+C2e–x,C1,

C2

为任意常数.7/61定理4'设y*是方程(1)解,y

是(2)解,则也是(1)解.y*+

y

证:

L(y*+

y

)=L(y*)+L(

y

)=L(y*)=f(x)8/61定理4设y*是方程(1)一个特解,y

是对应齐次方程(2)通解,是方程(1)通解.y=y*+

y

则9/61定理5L(y)=f1

(x)和L(y)=f2

(x)解,L(y)=f1

(x)+f2

(x)解.10/61对于二阶方程y''+p1

(x)y'+p2

(x)y=f(x) (4)对应齐次方程y''+p1

(x)y'+p2

(x)y=

0 (3)怎样求(3)和(4)通解?11/61步骤一:先找出(3)一个特解y1

:当p1

(x)+x

p2

(x)

=

0时,y1=x当1+p1

(x)+p2

(x)

=

0时,y1=ex当

2+

p1

(x)+p2

(x)

=

0时,y1=e

x当1–p1

(x)+p2

(x)

=

0时,y1=e–

x

12/61例4.故方程有解y1=x有解 y1=x13/61定理3步骤二:找出y1后再找y2.假如y1是方程(3)一个非零特解,则是方程(3)一个与y1线性无关解.14/61证:

用常数变易法,代入(3),得设y2=C(x)y115/61令z(x)=C'(x),则即简化为16/61取C=1.故17/61例4.解:

y1=x方程通解为18/61例5.求方程(x2+1)y''2xy'(9x26x+9y)=0通解.解：这里由得

=3.(

2–9)x2–2(

–3)x+(

2–9)

=0,故y1=e3x是方程一个特解.19/61再由定理3得方程另一线性无关特解为故原方程通解为20/61定理步骤三:求方程(4)特解y*设方程(3)两个线性无关特解y1,y2已知时,y*由下式给出此时,(4)通解为y=y*+C1y1+C2y221/61例6.求方程xy''

y'=x2通解.解：由方程xy''

y'=0解.从而由公式(4.6)并取积分后任意常数为0,得又由定理3可求得y2=x2也是方程xy''y'=0与y1线性无关一个特解.22/61故所求通解为23/61§12-8常系数齐次线性微分方程24/61普通形式(8)二阶(9)构想(9)有形式解y=erx(为何?)25/61(10)r2+pr+q=0故有(10)式称为(9)特征方程,分三种情形讨论(i)=p2–4q>0,(10)有两个不等实根r1,r2.(9)通解为代入得(r2+pr+q)erx=026/61(ii)=0,r1=r2(=r)此时y1=erx.

(9)通解为27/61(iii)<0,r1,2=

i为一对共轭复根.得(9)两个复数形式解Y1=e(

+i)x,Y2=e(

–i)x由叠加原理,知也是(9)解,且线性无关,故(9)通解为28/61特征根方程通解一对共轭复根r1,2=

i两个不等实根r1,r2两个相等实根r1=r2=r(

0)例7.求解方程y''

y'6y=0通解.解：特征方程是r2

r6=0其根r1=3,r2=2是两个相异实根,故所求通解为

y=C1e3x+C2e2x.29/61例8.求解方程4y''+12y'+9y=0.解：特征方程是4r2+12r+9=0.此方程有二重实根故所求通解为30/61例9.求解方程y''6y'+13y=0.解：特征方程是

r26r+13=0.其根r1,2=32i为一对共轭复根,故所求通解为31/61例题.设

为实数,求方程y''+

y=0通解.解:特征方程为

2+

=0(i)

<0时,原方程通解为(ii)

>0时,通解为32/61(ii)

=0时,上述方法可推广到解n

阶常系数齐次线性方程(8)情形,此时特征方程为(11)特征方程(11)根对应微分方程(8)解情况以下表通解为33/61特征根对应线性无关特解(1)单实根r

r1,2=

i(2)k重实根r…,(3)一对单复根

r=

i(4)一对k重复根(

0)(

0)…,…,表12-134/61例10.求解方程

y(4)2y'''+5y''=0.解：特征方程为

r42r3+5r2=0.对应线性无关特解为y1=1,y2=x,y3=excos2x,y4=exsin2x,故所求通解为其根为r1=r2=0,r3,4=12i.35/61解：特征方程对应线性无关特解为y1=e2x,y2=e

x,y3=xe

x,y4=x2ex,故所求通解为例11.求解方程其根为r1=2,r2=r3=r4=1.36/61例.求解方程y(4)+y=0解:特征方程为r4+1=0即37/61r0,r3共轭,对应r1,r2共轭,对应38/61故原方程通解为39/61§12-9、常系数非齐次线性微分方程40/61类型I(13)设方程(13)特解含有形式则41/61代入(13)并消去ex,(i)当

不是特征根,即

2+p1

+p20,Q(x)为m

次多项式42/61(ii)当

是单实根,即

2+p1

+p2=0,但2

+p20.Q(x)是m+1次多项式,取常数项为零.Q(x)=xQm(x)43/61(iii)

是重根,即

2+p1

+p2=0,2

+p2=0.Q(x)是m+2次多项式,取常数项和一次项系数为零,Q(x)=x2

Qm(x)总之,k

取0,1或2视

不是特征根,是一重根或是二重根而定,Qm(x)与

Pm(x)次数相同,为待定多项式.44/61例12.求方程y''+9y=xe5x特解.解：特征方程是

r2+9=0,因为

=5不是特征方程根,Pm(x)=x,可设特解为

y*=(ax+b)e5x代入原方程得34ax+(10a+34b)=x.其根为r1,2=3i.45/61比较等式两边同次幂系数，得34a=1,10a+34b=0,解得于是求得一个特解为46/61例13.求方程y''

2y'+y=ex(1+x)通解.解：特征方程是r2

2r+1=0,其根为r1=r2=1，对应齐次线性方程通解为因

=1是特征方程重根，Pm(x)=x+1,故特解形式为47/61代入原方程中得所以从而有一特解为故原方程通解为48/61例14.写出以下方程特解形式.(1)y''2y'+y=1+x+x2(2)y'''3y''+3y'+y=e

x(x5)解:(1)特征方程是

r22r+1=0因

=0不是特征根，故有特解形式为其根为r1=r2=1.49/61(2)特征方程为因

=1是特征方程三重根,故有特解形式为其根为r1=r2=r3=1.50/61类型II(14)当

i

不是特征根时,k=0;当

i

是一重特征根时,k=1;在不加推导情况下,给出y*形式(15)51/61例15.求方程y''+y=xcos2x通解.解：特征方程为

r2+1=0,其根为r1,2=

i,所以对应齐次线性方程通解为

y=C1cosx+C2sinx.因

i=2i不是特征方程根,P1(x)=x,Qn(x)0,故可设特解为y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy*''=(–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2x52/61y*代入原方程，得比较两端同类项系数，得53/61解之得于是求得一个特解为所以方程通解为54/61例16.设连续函数f(x)满足方程上式两边关于