图形的数学计算省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

图形数学处理图形数学处理就是依据零件图样要求，按照已确定加工路线和允许编程误差，计算出数控系统所需输入数据。图形数学处理内容主要有三个方面，即基点和节点计算、刀位点轨迹计算和辅助计算。第1页3.2.1基点计算

各几何元素间连接点称为基点。如两直线交点，直线与圆弧交点或切点，圆弧与圆弧交点或切点，圆弧或直线与二次曲线切点或交点等。基点计算方法：依据图纸给定条件，用几何法、解析几何法、三角函数法或用AutoCAD画图求得。

3.2.2节点计算在满足允许编程误差条件下，用若干直线段或圆弧端分割迫近给定曲线。相邻直线段或圆弧段交点或切点称为节点。第2页1．等间距法直线迫近节点计算特点：每个程序段某一个坐标增量相等。在直角坐标系中可使相邻节点x坐标增量或y

坐标增量相等；在极坐标系中，可使相邻节点间转角坐标增量或径向增量相等。从起点开始沿x轴方向△x取为等间距长，由曲线方程y=f(x)求得yi，设xi+1=xi+△x，yi+1=f(xi+△x)，可求出一系列节点坐标值作为编程数据。

第3页

△x取决于曲线曲率和允许误差δ允，常依据加工精度凭经验选取，普通选取△x=0.1mm，再进行误差验算。在上图中，mn为一迫近直线段，作m′n′平行于mn且与曲线距离为迫近允许误差δ允，则mn方程为：Ax+By+C=0式中：A=yn-ym，B=xn-xm，C=ymxn-xmyn。

m′n′方程为：Ax+By=C±δ式中：δ为直线mn与m′n′间距离。δ

≤δ允，普通取δ允为零件公差1/5~1/10。联立上述二方程得：

Ax+By=C±δy=f(x)

第4页2．等步长法直线迫近节点计算

特点：使全部迫近线段长度相等，亦即每个程序段长度相等。（1）求曲线最小曲率半径Rmin

曲线y=f(x)上任一点曲率半径为：R=令dR/dx=0得：由y=f(x)求得、、，从而可得到x轴坐标，再代入曲率半径公式即可求得Rmin。第5页（2）确定步长

以Rmin为半径作曲率圆（图3-40）。δ允对应弦长l为：

图3-40等步长法求节点

第6页（3）求节点以曲线起点a为圆心，以l半径作圆，求出该圆与已知曲线交点b，即解方程组：

(x-x0)2+(y-y0)2=l2y=f(x)

其解作为节点b坐标。顺次以b、c…为圆心，重复（3）及可求出各节点坐标值。3．等误差法（变步长法）直线迫近节点计算特点：使零件轮廓曲线上各迫近线段迫近误差相等，且小于或等于δ允，各迫近线段长度不相等。第7页（1）以起点（x0，y0）为圆心，δ允为半径作圆，方程为：(x-x0)2+(y-y0)2=δ允2（2）求圆与轮廓曲线公切线斜率k设公切线方程为：y=kx+b式中：k=(Y1-Y0)/(X1-X0)。所以求k即相当于求出两切点坐标，即（X0，Y0），（X1，Y1）。第8页联立方程得：Y1-Y0=f′(X1)·(X1-X0)（曲线切线方程）(X0-x0)2+(Y0-y0)2=δ允2（圆方程）Y1-Y0=F′(X0)·(X1-X0)（圆切线方程）Y1=f(X1)（曲线方程）其中F(x)表示圆方程。由此可解得(X0，Y0)，(X1，Y1)。

（3）求节点过起点（x0，y0）作斜率为k直线y-y0=k(x-x0)与曲线方程联立：y-y0

=k（x-x0）y=f(x)求得第一个节点坐标（x1，y1），再重复计算可得其余各节点。第9页

4．圆弧迫近轮廓节点计算

零件轮廓曲线可用一段段圆弧迫近，惯用有曲率圆法、三点圆法和相切圆法等。本书介绍曲率圆法，它是一个等误差圆弧迫近法，应用于曲线y=f(x)为单调情形。若不是单调曲线则能够在拐点处罚段，使每段曲线为单调。

（1）从轮廓曲线y=f(x)起点(xn，yn)开始作曲率圆（图3-42）半径：

圆心坐标：ζn=xn-yn′·[1+(yn′)2]∕∣yn″∣ηn=yn+[1+(yn′)2]∕yn″第10页图3-42曲率圆法求节点（2）求偏差圆与曲线交点，即解联立方程组(x-ζn)2+(y-ηn)2=(Rn±δ允)2y=f(x)得交点（xn+1，yn+1）。当曲线曲率递减时取（Rn+δ允），当曲线曲率递增时，取(Rn-δ允)。第11页（3）求过（xn，yn）和（（xn+1，yn+1）两点，半径为Rn圆圆心，即解联立方程组。（x-xn）2+（y-yn）2=Rn2（x-xn+1）2+（y-yn+1）2=Rn2得圆心坐标（ζm，ηm）。（4）重复上述计算可依次求得其它迫近圆弧。

上述计算均可用计算机程序完成。第12页3.2.3刀位点轨迹计算刀位点轨迹计算又称刀具中心轨迹计算，实际就是被加工零件轮廓等距线计算。详细求法：首先分别写出零件轮廓曲线各程序段等距线方程（距离为刀具半径r刀），再求出各相邻程序段等距线基点或节点坐标，即求解等距线方程公共解。

直线等距线方程为：圆等距线方程为：（x-ζ）2+（y-η）2=（R±r刀）2第13页例：如图3-43所表示零件轮廓，求解刀位点b′坐标(r刀=5mm)。联立圆弧a′b′和直线b′c′等距线方程：解得b′坐标为（24.395，19.220）。图3-43按刀具中心编程基点计算

第14页3.2.4零件轮廓为列表曲线数学处理

列表曲线数学处理较为复杂，普通处理方法是依据列表点选择一个或多个插值方程描述（常称为第一次曲线拟合），再依据插值方程采取直线—圆弧插补方法迫近列表曲线或曲面（常称为第二次曲线拟合）。1．三次样条函数拟合样条函数是模拟绘图样条而得出一个分段多项式函数，常利用样条函数插值法对列表曲线进行迫近。在相邻三个列表点间建立样条函数称为二次样条，而在四个列表点间建立样条函数称为三次样条函数。第15页圆弧样条拟合是一个较简单曲线拟合方法，它利用样条思想，使用圆弧这一最简单二次曲线产生圆弧样条，用若干相切圆弧拟合轮廓曲线。详细方法是：对于给定n+1个列表点（又称型值点）Pi

(i=0、1、3、…，n)，要求过每一点作一段圆弧，而且使相邻圆弧在相邻两节点弦垂直平分线上相切，如图3-44所表示。编程时取圆弧样条中两个相切圆弧参数（曲率半径、圆心、节点等）编制两个圆弧程序段，总体曲线程序段数与列表点相等。

2．圆弧样条拟合

第16页图3-44圆弧样条原理

第17页3.2.5工件轮廓为简单三坐标立体型面数值计算

球头铣刀数控加工普通只有3个垂直移动坐标数控机床上进行，要求刀轴方向一直保持不变（普通为z轴方向），所以要求立体型面在刀轴方向上为单调曲面，如图3-45所表示。为改进切削性能，有益于加工速度改进和加工表面质量提升，将加工曲面平坦方向倾斜一定角度（如图3-46b所表示）。

图3-45图3-46第18页1．刀位点坐标计算

球头铣刀加工到曲面任一点时其刀位点向量：rc=rp+Rn式中rc

—刀位点点矢；rp

—曲面上刀具切触点P点矢；R

—球头铣刀半径；n

—曲面在切触点P处单位法向量。第19页因为刀轴（z轴）方向保持不变，刀轴向量也不变。上式分量式为：xc=xp+Rnxyc=yp+Rnyzc=zp+Rnz其中nx，ny，nz为刀轴向量在x，y，z轴投影。2．简单立体型面加工计算

简单立体型面是指以某一直线为母线，沿生成线轨迹运动而形成立体型面。这类立体型面普通都采取球头铣刀以行切法加工。如图3-48。简单立体型面行切法数值计算主要由行距与加工截面内刀含有效半径计算。

第20页图3-48空间曲面行切法加工

第21页（1）行距计算

两次刀具进给距离，即行距。行距确实定要依据加工表面粗糙度所允许h允值和铣刀半径R值。用球头铣刀加工立体型面时，刀痕在行间组成加工表面不平度h，称为切残量。由图3-49b中△O′AB可知：图3-49第22页（略去h2允）式中φ为母线倾角，由图可知φ=90°-θ。当母线为曲线时，φ角取决于曲线在该点处斜率。（2）加工截面内刀含有效半径计算

如图3-49中刀含有效半径为：r=Rsinφ第23页3．球头铣刀半径选择

（1）球头铣刀半径应小于加工表面凹处最小曲率半径，即：（2）在允许切残量h允相同条件下，选择较大刀具半径可提升加工效率。（3）刀具半径大小应与加工表面大小相匹配，不要采取半径很大球头刀加工很小表面，不然刀具轻易与工件表面发生干涉。第24页3.2.6辅助计算1．增量值计算

增量值计算仅就增量坐标数控系统或绝对坐标中一些数据仍要求以增量方式输入时，所进行由绝对坐标数据到增量坐标数据转换。其换算公式为：增量坐标值=终点坐标值-起点坐标值比如：要求以直线插补方式，使刀具从a点（起点）运动到b点（终点），已计算出a点坐标为（Xa，Ya）,b点坐标为（Xb，Yb），若以增量方式表示时，其X、Y轴方向上增量分别为△X=Xb-Xa，△Y=Yb-Ya。

第25页2．辅助程序段计算

辅助程序段是指开始加工时，刀具从起始点到切入点，或加工完了时，刀具从切出点返回到起始点而特意安排程序段。切入点位置选择应依据零件加工余量情况，适当离开零件一段距离。切出点