高等数学1.1-函-数省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

制作高等数学电子教案湖南师范大学数学与计算机科学学院1/49《高等数学》

（上）

湖南师范大学出版社

主编彭富连2/49前言1.使学生取得对应专业所需要系统数学基础知识—基本理论和基本计算方法,为学习其它专业课知识和考研入学考试打下扎实基础.一、学习高等数学目标2.培养学生逻辑思维能力,不停提升分析问题和处理问题能力.

3/49二、高等数学学习内容、任务、重点

、难点内容:一元微积分、常微分方程、无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元微积分。高等数学关键是微积分.

任务:经过一年学习,要牢靠掌握基本概念、基本理论、基本计算方法;能熟练地用所学方法去处理一些实际问题.重点:极限、导数、不定积分.难点:极限、多元函数积分学、应用.4/49三、学习该门课程要求及学习方法学习方法:

预习、听课、复习、作业;归纳、小结.四、参考书要求:按质按量独立完成作业;不迟到,不缺课.

彭富连主编：《高等数学学习辅导》,湖南师大出版社出版,年9月.5/49第一章函数、极限、连续性

微积分以变量作为研究对象,以极限方法作为研究伎俩.本章将在中学里已经有知识基础上深入介绍函数、极限和函数连续性等基本概念、基本理论和基本方法.6/49§1.1函数

基本内容1.1.1集合1.1.2常量与变量1.1.3函数概念1.1.4函数基本性质1.1.5反函数和复合函数1.1.6初等函数7/49基本要求反函数、隐函数、初等函数、分段函数);掌握1、了解函数概念(基本初等函数、复合函数、函数表示法,会建立应用问题函数关系;

2、了解函数有界性、单调性、周期性和奇偶性;3、掌握基本初等函数性质及其图形，了解初等函数概念。8/491.1.1集合一、集合概念与运算1.集合含有某种特定性质事物总体.组成这个集合事物称为该集合元素.不含任何元素集合称为空集,有限集(列举法)无限集(描术法)惯用记号,9/49Q---有理数集R---实数集N---自然数集A=BZ---整数集---正整数集平面上全体点组成集合,记作或在集合U中补集或余集,记作2.集合运算U表全集,差集叫做集合A(直积)10/49交换律结合律分配律对偶律11/49二、区间和邻域称为开区间,实数集称为闭区间,称为半开区间.有限区间1.区间12/49区间长度两端点间距离(线段长度)无限区间13/492.邻域邻域:14/491.1.2常量与变量注意常量与变量是相对“过程”而言.通惯用字母a,b,c…等表示常量,而数值改变量称为变量.常量与变量表示方法：用字母x,y,t…等表示变量.在某过程中数值保持不变量称为常量,15/491.1.3函数概念一、函数定义落地时间为t=T,那么与之间依赖关系由公式

(1)确定,其中为g重力加速度.例1自由落体问题设物体下落时间为t,下落距离为s,假定开始下落时刻为在这个关系中,距离s伴随时间t改变而改变.0s实质？16/49函数，记作

总有唯一确定数值与之对应，则称法则数集X叫做这个函数定义域，变量称为自变量，假如在集合X中取定每一个数值时,变量依照某种定义1是两个变量，X是一个给定数集,yx和设在点处函数值,记作

称为函数当取数值时，与对应数值称为因变量。变量17/49学中所介绍实数集到实数集称为函数值域.}),({XxxfyyYÎ==函数值全体组成数集平面上一个点集在平面直角坐标系中,图形.称为定义在X上函数定义可知,函数实际上即我们中学数由函数映射.？18/49假如自变量在定义域内任取一个数值时，对应函数值只有一个，这种函数称为单值函数，若对应函数值不只一个，则普通说来,函数图形是一条平面曲线.o称为多值函数．为多(双)值函数.关系由方程所确定,则称该方程确定了之间函数假如函数自变量和因变量所表示函数称为显函数.一个隐函数.由19/49叫做多元函数.而与自变量和因变量用什么字母表示无关.

二、函数概念两要素注2函数定义域普通分为两种:

若抽象地研究由表示式(公式)表示函数,求函数定义域是指使表示式有意义一切实数组成若讨论函数只有一个自变量,这种函数叫做一元函数.若因变量依赖于多个自变量,这种函数函数定义域(自变量改变范围)与对应关系值方法).(给定值,求注1函数表示法只与定义域和对应关系相关,20/49函数定义域要依据问题实际意义确定.集合,称为函数自然定义域.而对于一些实际问题,为了使表示式有意义,常碰到四种情况是:(1)分式中分母不能为零;(2)偶次方根号下表示式不能为负值;(3)对数真数必须大于零;等于1.(4)反正弦、反余弦后面表示式绝对值小于21/49例2已知函数,求解例3求函数

定义域.

22/49即时,表示式才有意义,所以函数定义域为

例4求函数

定义域.

或解当且仅当适合不等式

解要使表示式有意义，当且仅当故,即函数定义域为23/49三、函数表示方法分段函数.表格法、图示法、解析法(也叫公式法).惯用表示方法有:用解析法表示函数能够由一个数学式子给出,也能够在其定义域不一样部分用不一样数学式子表示,用这种方式表示函数称为即例5绝对值函数24/491-1xyo例6符号函数值域为

o定义域为,25/49例7取整函数

y=[x],[x]表示不超出最大整数.12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo图形为阶梯曲线它能够表示成非负小数部分函数要求26/49例8狄利克雷函数解例9火车站收取行李费要求以下：当行李不超出50千克时，按基本运费计算，如从长沙到某地每千克收0.15元;当超出50千克时，超重部分按每千克收0.25元。试求长沙到该地行李费与重量（元）(千克)之间函数关系。27/491.1.4函数基本性质—读作A“等价于”B或A与B“可相互推得”.为了书写方便,我们先引入几个逻辑符号:—读作“对任意一个”或“对每一个”.—读作“存在”或“有一个”.—读作由A“可推得”B。28/49一、函数有界性M-Myxoy=f(x)I有界无界M-MyxoI则称29/49二、函数单调性:则称函数在区间I上单调增加(或称单调递增);xyo30/49xyo单调递增或单调递减统称为单调,区间I称为单调区间.一个函数,假如在它整个定义则称函数在区间I上单调降低(或称单调递减).假如对于区间I上任意两点区间单调递增(或单调递减),就称它为单调函数.31/49三、函数奇偶性:

yxox-x,有则称为偶函数.设函数定义域X关于原点对称,若对偶函数图形关于轴对称.32/49奇函数图形关于原点对称.yxox-x若对,有则称为奇函数.33/49四、函数周期性

若存在一个正数T,通常说周期函数周期是指其最小正周期.有且使得对周期为T周期函数图形在每个长度为T区间上形状相同.设函数定义域为X,恒成立,则称是周期函数,T称作周期。34/491.1.5反函数和复合函数一、反函数

习惯上用字母x表示自变量,用字母y表示因变量,定义2设函数定义域为X,值域为Y,假如对于Y中任一值,都有X中唯一一个值,满足将y与x对应,关系为函数反函数,称这个定义在Y上对应就写为.这么反函数35/49XYXY定义域.由定义可知,反函数定义域恰好是直接函数值域,反函数值域恰好是直接函数36/49对称.反函数存在定理：单调函数一定存在反函数,且单调递增(递减)函数反函数也是单调递增(递减).直接函数图形与其反函数图形关于直线37/49求分段函数反函数,只要分别求出各区间段反函数及定义域即可.例12求反函数.

求反函数普通步骤为:由方程解出再将x与y对换,即得所求函数反函数为38/49解

由

,得反函数为

由,得反函数为总而言之,所求反函数为

于是反函数为由,得39/49二、复合函数变量.

求复合函数定义域步骤是“从外到内”(即由外层到内层考查对应函数在满足前一层次条件下定义域,直到最内层),求出使算式有意义一切实数x.定义3

设函数定义域为U,若值域为,,则称函数为函数和复合而成复合函数,称u为中间复合函数条件是由复合函数定义可知，函数和能否组成40/49复合函数形象表示法:定义域为b41/49解由,得定义域.例13求复合函数定义域.例14已知定义域为,求解

由,解得。故定义域为。42/49例15已知

,求表示式及定义域.解(代入法)由得43/49例16已知,求表示式.解

令,解得,因于是由原式得11)1()1(22+-=+-+-=uuuu1)()1ln()1ln(2++=--eeufuu故或由求表示式.44/49例17设

解

因为

故表示式.

求45/49例18若且从而,又故定义域为

表示式及定义域.

求表示式可得:解

由函数46/49例19