直线的交点坐标与距离公式（八大考点）

直线的交点坐标与距离公式方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.和点到直线的距离公式.4.会求两条平行直线间的距离.一、两条直线的交点坐标1．两条直线的交点坐标已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标．2．方程组解的组数与两条直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线与的位置关系相交重合平行二、两点间的距离公式如图，由点，由此得到两点间的距离公式，特别地，原点与任一点间的距离三、点到直线的距离公式点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立．注意：点到几种特殊直线的距离①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|；②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离.四、两条平行直线间的距离1．两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．2．两条平行直线间的距离公式一般地，两条平行直线间的距离注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决：①两直线都与轴垂直时，则；②两直线都与轴垂直时则.考点01直线的交点问题1．若直线与直线的交点在直线上，则实数（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】求出直线与直线的交点，再代入求解作答.【详解】解方程组，得直线与直线的交点，依题意，，解得，所以实数.故选：A2．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】联立两直线方程，求出交点坐标，再依题意得到不等式组，解得即可.【详解】联立方程组，解得，因为直线与直线的交点在第一象限，所以，解得，所以，即实数的取值范围是.故选：A3．直线与直线相交，则实数k的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解作答.【详解】因直线与直线相交，则，即，解得且，所以实数k的值为且.故选：D4．过直线与的交点，且垂直于直线的直线的斜截式方程为.【答案】【分析】联立方程组求得两直线的交点为，根据所求直线垂直于直线，得到，结合直线点斜式方程，化为直线的斜截式方程，即可求解.【详解】由方程组，解得，即直线与的交点为，因为所求直线垂直于直线，所以其斜率为，则直线方程为，所以直线的斜截式方程为.故答案为：5．若直线与直线的交点在直线上，则k的值为．【答案】/【分析】用字母表示出交点坐标，再代入到第三条直线的方程中，列出关于的方程，然后求解．【详解】因为直线与直线相交，则，则且，由，解得，即直线与直线的交点坐标为，将点的坐标代入，得，即，即，因为，解得.故答案为：.6．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交点坐标为(2)重合(3)平行【分析】分别联立方程组的，解方程组即可判断直线的位置关系.【详解】（1）解方程组，得，所以与相交，且交点坐标为．（2）联立直线与的方程得方程组，因为整理得，即方程②可以化为方程①，所以方程组有无数组解，所以与重合．（3）联立直线与的方程得方程组由得（不成立），可知该方程组无解．所以与无公共点，即．7．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.【答案】【分析】设其中一个交点坐标，结合对称性可得方程，即可得解.【详解】设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0.考点02直线的交点系方程及应用8．过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=0【答案】D【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可.【详解】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，解得，故所求直线方程为，即.故选：D.9．经过点和两直线；交点的直线方程为.【答案】【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解.【详解】设所求直线方程为，点在直线上，，解得，所求直线方程为，即．故答案为：.10．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为．【答案】【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程.【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即①．又直线l的斜率为，则，解得．将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程．故答案为：.11．求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为；(2)过点；(3)平行于直线．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）法一：联立直线方程，求出交点坐标，由点斜式方程得到直线方程.法二：由直线系方程可设所求直线为，由斜率为求出的值，回代入方程即可得出答案.（2）法一：由点斜式方程得到直线方程；法二：因为直线过点，代入直线系方程求出的值，即可得出答案.（3）法一：两直线平行，斜率相等，由点斜式方程得到直线方程.法二：两直线平行，斜率相等，可得出直线系方程的斜率求出的值，即可得出答案.（1）法一:直线与的交点为，当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为．直线方程为．法二:由题意，直线不符合题意，所以由直线系方程可设所求直线为，当直线的斜率为时，，解得，故所求直线方程为；（2）法一：过点时，由两点式得：即为．直线方程为．法二：由题意，直线不符合题意，过点时，代入（1）中直线系方程得，故所求直线方程为．（3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为，直线方程为．法二：由题意，直线不符合题意，平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得,故所求直线方程为．12．已知直线：（）．求证：直线恒过定点，并求点的坐标．【答案】证明见解析，【分析】整理原方程，利用直线系列出方程组，即可得到直线恒过定点的坐标.【详解】证明：原方程整理为，则由得所以点坐标为．考点03两点间距离公式的应用13．已知两点，，则（

）A．3 B．5 C．9 D．25【答案】B【分析】根据两点间的距离公式计算可得.【详解】因为，，则.故选：B14．已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据中点公式，求得的中点坐标，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】设的中点为，由中点坐标公式得，所以，所以．故选：A.15．设为函数（）图象上一点，点，为坐标原点，，的值为（

）A．-4 B． C．4 D．1【答案】A【分析】由数量积的定义表示求出，再利用条件，结合点在函数（）图象上，可求出点，从而解决问题.【详解】设点，则，，

，又，则可得，又，则，解得，所以.故选：A

16．已知A，B两点都在直线上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为.【答案】【分析】设，则，然后利用两点间的距离公式求解即可【详解】设点，则，所以，故答案为：17．已知，，点在直线上移动，则的最小值为.【答案】9【分析】根据点点在直线上，所以可设点的坐标为，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数求最值即可.【详解】解：因为点在直线上，所以可设点的坐标为，其中，所以，故当时，取得最小值9.故答案为：9.18．在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，，点E是线段BC的中点．(1)求直线AE的方程；(2)求过点A且与直线DE垂直的直线．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可设，利用，求出的坐标，利用中点坐标公式求出E的坐标，进而可求AE的方程；（2）先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为求出直线DE斜率，进而可得到答案．【详解】（1）四边形ABCD为菱形，轴，轴，∴可设，，，解得：（舍）或，.中点坐标为，点坐标为，由中点坐标公式得，，直线AE的方程为，即.（2）可求，则过点A且与直线DE垂直的直线斜率为：所求直线方程为：，即．考点04点到直线的距离公式的应用19．已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】先求定点，再根据点到直线距离求解点到直线上动点距离最小值即可.【详解】由得，所以直线l过定点，依题意可知的最小值就是点M到直线的距离，由点到直线的距离公式可得．故选:B.20．设为动点到直线的距离，则的最大值为（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得.【详解】点到直线的距离,因为,则,所以当时.故选：C21．抛物线上的点P到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设抛物线上一点为，，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，即可求解最值.【详解】设抛物线上一点为，，点，到直线的距离，当时，即当，时，抛物线上一点到直线的距离最短，为，故选：C22．已知满足，则的最小值为【答案】【分析】根据给定条件，利用几何意义求出直线上的点与定点距离最小值的平方作答.【详解】由满足知，点是直线上的任意点，而表示点到定点的距离的平方，因此的最小值即为点到直线距离的平方，即有，所以的最小值为.故答案为：

23．已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为．【答案】/【分析】由题意可知的最小值就是点到直线的距离，利用点到直的距离公式可求得结果.【详解】由题意可知的最小值就是点到直线的距离，因为到直线的距离，所以的最小值为.故答案为：24．已知在平面直角坐标系中，三个顶点坐标为(1)求直线方程；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据坐标求出直线斜率，结合点斜式方程求法求解即可；（2）先求出两点间距离，再求出到直线的距离，根据三角形面积公式求解答案即可.【详解】（1）由已知得，直线斜率存在，为，所以直线方程为，整理得直线方程为（2）因为，所以，直线方程为，到直线的距离，所以的面积为25．求点到下列直线的距离.(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用点到直线距离公式直接求解即可；（2）方法一：利用点到直线距离公式直接求解即可；方法二：根据直线与轴平行直接求解即可；（3）方法一：利用点到直线距离公式直接求解即可；方法二：根据直线与轴平行直接求解即可；方法三：根据点在直线上可确定.【详解】（1）由点到直线距离公式知：.（2）方法一：由点到直线距离公式知：；方法二：与轴平行，.（3）方法一：由点到直线距离公式知：；方法二：与轴平行，；方法三：在直线上，.考点05直线围成的图形问题26．已知的顶点为、、，直线与平行，且将分成面积相等的两部分，则直线的方程为．【答案】【分析】根据相似三角形的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】设直线与、分别交于两点，因为直线与平行，所以∽，设点到直线与的距离分别为，因为直线与平行，且将分成面积相等的两部分，所以，因为、，所以直线的方程为：，因为直线与平行，所以设直线的方程为，于是有，，因此有，当时，直线的方程为，令，得，此时显然点在直线与直线之间，不符合题意，当时，直线的方程为，令，得，此时显然直线与边、分别相交，符合题意，故答案为：27．（多选）已知三边所在直线分别为，则（

）A．AB边上的高所在直线方程为 B．AB边上的高为C．的面积为 D．是直角三角形【答案】ABC【分析】先联立方程求出顶点坐标，求出AB边上的高所在直线斜率即可得出方程，利用点到直线距离公式可求出高，利用两点间距离公式求出，即可求出三角形面积，根据斜率关系可判断D.【详解】由得；由得；由得；因为，所以AB边上的高所在直线斜率为，则方程为，即，故A正确；AB边上的高为点到直线的距离，故B正确；因为，所以的面积为，故C正确：由斜率关系可知，是的任意两边均不垂直，D错误.故选：ABC.28．若，直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是．【答案】【分析】首先求出两直线的交点坐标，再分别求出两直线与坐标轴的交点坐标，最后根据及二次函数的性质计算可得.【详解】解：由得，即两直线的交点为定点，而直线：与轴交于点，与轴的交点，直线：与轴的交点，与轴的交点，因为，所以，，，，如图所示，，，，则，故时，所求面积的取值范围是．故答案为：29．已知的三个顶点，，.(1)求直线的方程；(2)求的面积.【答案】(1)(2)7【分析】（1）首先求出的斜率，再由点斜式求出直线方程；（2）求出点到直线的距离，再求出的长度，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为，，所以，所以，化简可得.（2）点到直线的距离，，则.30．三角形的三个顶点是，，．(1)求边的中线所在直线的一般方程；(2)求边的高所在直线的一般方程．(3)求三角形的面积．【答案】(1)；(2)；(3)5.【分析】（1）计算中点坐标，得到，计算得到直线方程.（2）根据垂直关系得到，再计算直线方程即可.（3）计算所在的直线方程，联立得到交点，再计算面积得到答案.【详解】（1），的中点，，故直线方程为，即.（2），则高的斜率为，直线方程为，即.（3）设与交于点，，即，，解得，即，.31．已知平行四边形的三个顶点坐标为、、.(1)求所在的直线方程；(2)求平行四边形的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知，则，可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程；（2）求出直线的方程，可计算得出点到直线的距离，并求出，再利用平行四边形的面积公式可求得结果.【详解】（1）解：因为四边形为平行四边形，则，则，所以，直线的方程为，即.（2）解：直线的方程为，即，且，点到直线的距离为，所以，平行四边形的面积为.32．已知直线．(1)为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值；(2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程．【答案】(1)，距离最大值；(2)面积的最小值为12，直线l的方程为3x+2y+12=0.【分析】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m；（2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程.【详解】（1）已知直线，整理得，由，故直线过定点，点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值，所以为最大值．∵，∴的斜率为，得，解得；（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，则设直线为，，则，，．（当且仅当时，取“=”），故面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0.考点06两条平行直线的距离33．两条平行直线和间的距离为，则分别为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得，所以两直线分别为和，所以.故选：B.34．若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（

）A．3 B．2 C． D．4【答案】A【分析】由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，然后利用两平行线间的距离公式列方程可求出的值，再利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为，则，即，∴点M在直线上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即.故选：A.35．（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】设出与直线平行的直线系方程，再由平行直线间的距离公式即可求解.【详解】设所求直线的方程为，由题意可得，解得或0．故所求直线的方程为或．故选：AD36．两平行直线，之间的距离为．【答案】/【分析】由两平行直线间的距离公式直接求解.【详解】因为，所以由两平行直线间的距离公式得．故答案为：.37．如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为原点，点B的坐标为，点C，D在第一象限．

(1)求直线CD的方程；(2)若，求点D的横坐标．【答案】(1)(2)横坐标为或2【分析】（1）由题意可得，设直线CD的方程为（），结合平行四边形ABCD的面积、求得AB与CD之间的距离，利用平行线的距离公式列方程求参数m，根据题设写出直线方程；（2）设点D的坐标为，根据点在直线上、两点距离公式列方程求坐标即可.【详解】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以，则．设直线CD的方程为（），即．因为平行四边形ABCD的面积为8，，故AB与CD之间的距离为．由题图知：直线AB的方程为，于是，解得．由C，D在第一象限知：，所以，故直线CD的方程为．（2）设点D的坐标为，由，则．所以，解得或，故点D的横坐标为或2．38．若两条平行直线分别过点，则当这两条平行线间的距离取最大值时，两直线方程分别为；．【答案】【分析】由题设易知两条平行线距离最大，即两平行线都与直线垂直，两点式求直线斜率，进而应用点斜式写出过、的直线即可.【详解】要使题设两条平行线距离最大，只需它们都与直线垂直，而，所以，过的直线为，即，若的直线为，即.故答案为：，考点07对称问题39．唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．4 B．5 C． D．【答案】A【分析】作图，求出点关于直线对称的点，再由两点间的距离公式即可得解．【详解】如图，

设点关于直线对称的点为，则，解得，则“将军饮马”的最短总路程为．故选：A．40．如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，有，即此时周长最小，求出点坐标，可得直线方程，与联立求出点坐标，令可得点坐标.【详解】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，所以，此时周长最小，即，由，直线方程为，所以，解得，所以，可得直线方程为，即，由，解得，所以，令可，所以.故选：C.

41．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将已知变形设出，，则为点分别到点，的距离之和，则，即可根据两点间距离计算得出答案.【详解】，，设，，，则为点分别到点，的距离之和，点关于轴的对称点的坐标为，连接，则，当且仅当，，三点共线时取等号，故选：B.42．已知直线，则点关于l的对称点的坐标为．【答案】【分析】设点关于直线的对称点为，根据题意，列出方程组，即可求解.【详解】设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线，可得，解得，所以点的坐标为.故答案为：.43．设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是【答案】【分析】通过直线与的交点，以及直线上一点关于的对称点求得反射光线所在直线方程.【详解】由解得，所以直线与的交点为，点在直线上，点关于直线的对称点在反射光线上，所以反射光线所在直线方程为，整理得故答案为：

44．已知点的坐标为，直线的方程为，求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于点的对称直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可；（2）根据相关点法分析运算即可.【详解】（1）设，由题意可得，解得，所以点的坐标为.（2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为，则，解得，由于在直线上，则，即，故直线关于点的对称直线的方程为.45．已知直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点的三等分点，过点作的平行线.(1)求直线的方程；(2)已知两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标.【答案】(1)；(2).【分析】(1)由条件可得直线到直线距离是直线到直线的距离的两倍，由平行线距离公式列方程求解即可；(2)求点关于的对称点，由两点之间线段最短可确定的最小值及点的位置.【详解】（1）因为与直线平行，直线的方程为，故可设直线的方程为，由已知，过点作直线，交直线与点，交直线与点，因为，，所以，，因为，所以,又，所以,所以，则或，结合图形检验可得与条件矛盾，所以，故直线的方程为；（2）设点关于直线的对称点，则，所以，当且仅当三点共线时等号成立，连接与直线交与，即点与点重合时，取最小值，由已知，，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，联立可得，所以点的坐标为，故点的坐标为时最小.考点08距离的最值问题46．（多选）某同学在研究函数的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小值为 B．函数的最小值为C．函数没有最大值 D．函数有最大值【答案】BC【分析】由题意画出图形，利用动点到两定点距离和的变化求出最小值判断AB，分析无最大值判断CD．【详解】设，可理解为动点到两个定点，的距离和．如图：由三角形三边关系可得,当点P和点B重合时，等号成立，无最大值，所以函数的最小值为，没有最大值.故选：BC47．已知实数，则的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线：，设点那么点到直线的距离为：，因为，所以，且直线的斜率，当直线的斜率不存在时，，所以，当时，，所以，即，因为，所以，故答案为：.48．已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则的最小值为；当的面积最小时，直线的方程是【答案】..【分析】设为且，求出A、B的坐标，进而得到、关于的表达式，再应用基本不等式求最值，并确定等号成立的条件即可.【详解】由题意，设直线为且，∴，，∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为.，当且仅当时等号成立，∴，整理得.故答案为：，.49．已知，直线和直线相交于点P，和y轴交于点A，和x轴交于点B．（1）判断与的位置关系，并用t表示点P的坐标；（2）求的长度的取值范围，并指出取最值时点P的位置．【答案】（1）垂直，；（2），最小时或，最大时．【解析】（1）可得时，显然，时，由可得；联立直线方程可求得P的坐标；（2）可得，由即可求得取值范围.【详解】（1）当时，，，显然，当时，，则，则，综上，，联立直线方程，解得，；（2）由（1）知，，，则，则，即，则，当时，即时，取得最小值为1，此时或，当时，即时，取得最大值为，此时.【点睛】关键点睛：本题考查直线位置关系的判断以及取值范围的求解，解题的关键是联立直线方程求出点P坐标，将化成关于的式子即可求解.50．已知直线（）交轴正半轴于，交轴正半轴于．(1)为坐标原点，求的面积最小时直线的方程；(2)设点是直线经过的定点，求的值最小时直线的方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）求出点的坐标，表示的面积，结合基本不等式求其最小值，可得的值，由此确定直线的方程；（2）由直线方程求出定点的坐标，结合数量积坐标运算求，利用基本不等式求其最小值，由此确定直线的方程.【详解】（1）作图可知．因为直线的方程为，令，，所以，令，，所以，所以，所以．因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以面积最小时，直线的方程为．（2）因为直线的方程可化为，所以直线经过的定点，所以所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以的值最小时，直线的方程为．51．已知直线l过点，且分别与x，y轴正半轴交于A，B两点.O为坐标原点.(1)当面积最小时，求直线l的方程；(2)当值最小时，求直线l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）设直线l，分别令得出坐标，然后得到面积表达式，利用基本不等式求得最值，即可得到此时斜率，即得到直线方程.（2）计算出，得到表达式，利用基本不等式得到最值，即可得到此时斜率，即得到直线方程.【详解】（1）由题意得斜率设l，令，则，令，，则，所以当且仅当，即（因故正值舍去）时等号成立.故直线l的方程为，即.（2），因为当且仅当，即1时等号成立.又，故故直线l的方程为即52．已知△三个顶点的坐标分别为，，，线段的垂直平分线为.(1)求直线的方程.(2)点在直线上运动，当最小时，求此时点的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）由垂直关系可求的斜率,然后由过的中点,根据点斜式方程可求；(2)先求出A关于的对称点C,直线AC与直线的交点即为最小的点,然后根据两点关于直线对称知识进行求解即可.【详解】（1）直线的斜率为,所以直线的斜率为.而线段的中点为(6,2),所以直线的方程为,即.（2）由(1)得点关于直线的对称点为点,所以直线与直线的交点即为最小的点.由，得直线的方程为,即.联立方程，解得，所以点的坐标为.基础过关练1．原点到直线的距离为（）A．1 B．C．2 D．3【答案】B【分析】直接利用点到直线的距离公式可得答案.【详解】直线，即，故原点到直线的距离为.故选：B.2．已知直线与的距离为，则c的值为（

）A．9 B．11或 C． D．9或【答案】B【分析】化简直线方程，再利用平行间距离公式求解作答.【详解】直线，即，因为它与直线的距离为，所以，解得或，所以或.故选：B3．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.【详解】,可以看作点到点的距离之和，作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，最小值为间的距离.故选：D.4．（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的值可为（

）A．0 B．1C．2 D．3【答案】AB【分析】联立直线方程求得交点坐标，从而得到关于的不等式组，解之即可.【详解】依题意，联立，解得，则两直线交点坐标为，又因为交点在第四象限，所以，解得，经检验，AB满足要求，CD不满足要求.故选：AB.5．（多选）已知两点到直线的距离相等，则的值可能为（

）A． B． C． D．1【答案】AD【分析】直接利用两点距离公式列方程计算即可.【详解】两点到直线的距离相等，，解得或.故选：AD.6．（多选）已知点和直线，则点到直线的距离的可能值为（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】ABC【分析】根据直线的方程先确定直线所过的定点的坐标，然后判断出点到直线的距离的最大值为，最小值为，即可逐项判断作答.【详解】直线，化为，令解得，因此直线过定点，所以当时，点到直线的距离有最大值，，将点代入解得，即当时点在直线上，即，所以，ABC满足题意，故选：ABC7．已知直线l经过直线和的交点P，且垂直于直线，则直线l的方程为．【答案】【分析】可以求出已知两直线的交点坐标，结合条件求出直线l的斜率，由点斜式写出直线l的方程；也可以设出与直线垂直的直线系方程，把交点坐标代入求解；还可以设出过两直线交点的直线系方程，求出参数即可．【详解】解法1、由，解得，即点P的坐标为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为1，由点斜式得的方程为，即．解法2、由由，解得，即点P的坐标为，因为直线与直线垂直，可设直线的方程为，把点P的坐标代入得，解得，故直线的方程为．解法3、直线的方程可设为（其中为常数），即，因为直线与直线垂直，所以，解得，故直线的方程为．故答案为：.8．点关于直线的对称点的坐标为．【答案】【分析】设对称点坐标为，然后由斜率乘积等于，和的中点在直线上，列方程组可求得结果.【详解】设的对称点坐标为，则，解得，即所求对称点的坐标是．故答案为：9．已知函数的图象与函数和函数的图象分别交于两点，若，则．【答案】4【分析】设，，则，，根据距离公式及两点的斜率公式求出，即可求出点坐标，再代入计算可得.【详解】因为，所以函数的图象恒在函数上方，设，，则，，由可得，又因为所在直线的斜率为，所以，因为，所以，即，解得，因为，所以，代入函数，可得．故答案为：10．求过点，且与原点的距离等于的直线方程．【答案】或．【分析】利用待定系数列与点线距离公式即可得解.【详解】依题意，所求直线过点，且斜率存在，所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于，所以，解得或．故直线方程为或．11．已知直线的方程为.(1)若直线和直线关于点对称，求直线的方程；(2)若直线和直线关于直线对称，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由点关于点对称的点在直线上，列出方程即可得到结果；（2）由题意可得直线与直线的交点，求出关于直线对称的点为，即可得到直线方程.【详解】（1）因为直线和直线关于点对称，在直线上任取一点，则关于点对称的点在直线上，将点代入直线可得，所以直线的方程为.（2）设直线与直线的交点为，所以，解得，则，在直线上取点，设关于直线对称的点为，则①，因为与的中点坐标为，所以②，由①②可得，所以，因为直线和直线关于直线对称，所以直线经过点和点，所以直线的两点式方程为，整理得直线的一般式方程为.12．已知A，B两个城市在一条河同侧且分别距这条河400m和100m，A，B两城市之间的距离为500m，把这条河看作一条直线，今在这条河边上建一座提水站，供A，B两城市用水，要使提水站到A，B两城市铺设的水管长度之和最小，则提水站应建在什么地方？【答案】将提水站（点P）建在距O点320m处【分析】建立直角坐标系，将问题放在坐标系中研究，再根据两点之间直线距离最短的原理求解.【详解】如图，以河所在直线为x轴，过点A作AO垂直x轴于点O，以OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，过点B作于点C，在中，，，由勾股定理，得，∴点B的坐标为，点关于x轴的对称点为，连结交x轴于点P，连接AP，则，，所以当三点共线时，水管长度之和最小，易得直线的方程为，令，得，即点P的坐标为；故将提水站（点P）建在O点右侧并距O点320m处时，其到A，B两城市铺设的水管长度之和最小．能力提升练1．的最小值所属区间为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对【答案】C【分析】利用代数式的几何意义可求最小值.【详解】如图，设．根据题意，设题中代数式为M，则，等号当P，Q分别为直线与x轴，y轴交点时取得．因此所求最小值为13．故选：C.2．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根据题意，结合直线截距的定义，求得直线在轴上的截距，根据倾斜角与斜率的定义，利用点斜式方程，结合点到直线的距离公式，可得答案.【详解】由直线方程，令，解得，则直线过，由直线的倾斜角为，则该直线的斜率，故直线方程为：，化简可得：，则点到直线的距离.故选：C.3．已知点，与直