姜启源数学建模第四版第一章省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第一章建立数学模型1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模主要意义1.3数学建模示例1.4数学建模方法和步骤1.5数学模型特点和分类1.6怎样学习数学建模1/40玩具、照片、飞机、火箭模型…~实物模型水箱中舰艇、风洞中飞机…~物理模型地图、电路图、分子结构图…~符号模型模型是为了一定目标，对客观事物一部分进行简缩、抽象、提炼出来原型替换物.模型集中反应了原型中人们需要那一部分特征.1.1从现实对象到数学模型我们常见模型2/40你碰到过数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速为20km/h.甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船速度是多少?x=20y=5求解3/40航行问题建立数学模型基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示相关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速为20km/h）.4/40数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目标，依据其内在规律，作出必要简化假设，利用适当数学工具，得到一个数学表述.建立数学模型全过程（包含表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模5/401.2数学建模主要意义电子计算机出现及飞速发展；数学以空前广度和深度向一切领域渗透.数学建模作为用数学方法处理实际问题第一步，越来越受到人们重视.

在普通工程技术领域,数学建模依然大有用武之地；

在高新技术领域,数学建模几乎是必不可少工具；

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.6/40“数学是一个关键、普遍、能够应用技术”.数学“由研究到工业领域技术转化，对加强经济竞争力含有主要意义”.“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化主要路径”.数学建模主要意义7/40数学建模详细应用

分析与设计

预报与决议

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼8/401.3数学建模示例1.3.1椅子能在不平地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置最少三只脚同时着地.9/40模型组成用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来.椅子位置利用正方形(椅脚连线)对称性.xBADCOD´C´B´A´用

(对角线与x轴夹角)表示椅子位置.四只脚着地距离是

函数.四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f(

)B,D两脚与地面距离之和~g(

)两个距离

椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性10/40用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来.f(

),g(

)是连续函数对任意,f(

),g(

)最少一个为0数学问题已知：f(

),g(

)是连续函数;对任意，f(

)•g(

)=0;且g(0)=0，f(0)>0.证实：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型组成地面为连续曲面椅子在任意位置最少三只脚着地11/40模型求解给出一个简单、粗糙证实方法3）由f,g连续性知

h为连续函数,据连续函数基本性质,必存在

0(0<

0</2)

,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).1）将椅子旋转90o，对角线AC和BD交换.由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.2）令h(

)=f(

)–g(

),则h(0)>0和h(/2)<0.4）因为f(

)•g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.12/40评注和思索建模关键：假设条件中哪些是本质,哪些是非本质?考查四脚连线呈长方形椅子(习题4).用

表示椅子位置椅子旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样改变？用

f(

),g(

)表示椅脚与地面距离证实过程粗糙之处：13/401.3.2商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河任一岸,一旦随从人数比商人多,就杀人越货.乘船渡河方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决议过程决议~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上人员.要求~在安全前提下(两岸随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)14/40模型组成xk~第k次渡河前此岸商人数yk~第k次渡河前此岸随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,…sk=(xk,yk)~过程状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上商人数vk~第k次渡船上随从数dk=(uk,vk)~过程决议D~允许决议集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,…sk+1=sk

dk+(-1)k~状态转移律D={(u

,v)

u+v=1,2,u,v=0,1,2}状态因决议而改变15/40模型求解xy3322110穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决议~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,,d11给出安全渡河方案d1d11允许状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按转移律sk+1=sk+(-1)kdk

由s1=(3,3)抵达sn+1=(0,0).模型组成16/40商人和随从人数增加或小船容量加大;商人们怎样安全过河智力游戏多步决议过程(数学模型)易于推广:规格化方法考虑4名商人各带一随从情况.多步决议模型:恰当地设置状态和决议,确定状态转移律及目标(目标函数).便于求解(计算机编程等).17/40场景1.3.3怎样施救药品中毒两位家长带着孩子急急忙来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.按照药品使用说明书，氨茶碱成人用量是100~200mg/次，儿童是3~5mg/kg.过量服用可使血药浓度(单位血液容积中药量)过高，100μg/ml浓度会出现严重中毒，200μg/ml浓度可致命.医生需要判断：孩子血药浓度会不会到达100~200μg/ml；假如会到达，应采取怎样紧急施救方案.18/40调查与分析转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药品体外认为血液系统内药品分布，即血药浓度是均匀，能够将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”.药量x(t)药量y(t)血液系统对药品吸收率(胃肠道到血液系统转移率)和排除率能够由半衰期确定.半衰期能够从药品说明书上查到.19/40通常，血液总量约为人体体重7~8%，体重50~60kg成年人有4000ml左右血液.目测这个孩子体重约为成年人二分之一，可认为其血液总量约为ml.调查与分析血药浓度=药量/血液总量口服活性炭来吸附药品，可使药品排除率增加到原来（人体本身）2倍.临床施救方法：体外血液透析，药品排除率可增加到原来6倍，不过安全性不能得到充分确保.20/40模型假设

1.胃肠道中药品向血液转移率与x(t)成正比，百分比系数λ(>0)，总剂量1100mg药品在t=0瞬间进入胃肠道.2.血液系统中药品排除率与y(t)成正比，百分比系数μ(>0)，t=0时血液中无药品.3.氨茶碱被吸收半衰期为5小时，排除半衰期为6小时.4.孩子血液总量为ml.胃肠道中药量x(t),血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药时刻为起点（t=0）.21/40模型建立x(t)下降速度与x(t)成正比(百分比系数λ),总剂量1100mg药品在t=0瞬间进入胃肠道.转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药品体外药量x(t)药量y(t)y(t)由吸收而增加速度是λx，由排除而降低速度与y(t)成正比(百分比系数μ),t=0时血液中无药品.22/40模型求解

药品吸收半衰期为5小时药品排除半衰期为6小时只考虑血液对药品排除23/40血液总量ml血药浓度200μg/ml结果及分析胃肠道药量血液系统药量血药浓度100μg/mly(t)=200mg严重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子抵达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3小时后将致命！y(2)=236.524/40施救方案

口服活性炭使药品排除率μ增至原来2倍.

孩子抵达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t)λ=0.1386(不变)，μ=0.1155*2=0.231025/40施救方案

t=5.26z=318施救后血液中药量z(t)显著低于y(t).z(t)最大值低于致命水平.要使z(t)在施救后马上下降，可算出μ最少应为0.4885.若采取体外血液透析，μ可增至0.1155*6=0.693，血液中药量下降更加快；临床上是否需要采取这种方法，当由医生综合考虑并征求病人家眷意见后确定.26/40数学建模基本方法机理分析测试分析依据对客观事物特征认识，找出反应内部机理数量规律.将对象看作“黑箱”,经过对量测数据统计分析，找出与数据拟合最好模型.机理分析没有统一方法，主要经过实例研究

(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析.二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数.1.4数学建模方法和步骤27/40数学建模普通步骤模型准备模型假设模型组成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目标搜集相关信息掌握对象特征形成一个比较清楚“问题”28/40模型假设针对问题特点和建模目标作出合理、简化假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽可能采取简单数学工具数学建模普通步骤29/40模型求解各种数学方法、软件和计算机技术.如结果误差分析、统计分析、模型对数据稳定性分析.模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型合理性、适用性.模型应用数学建模普通步骤30/40数学建模全过程现实对象信息数学模型现实对象解答数学模型解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证依据建模目标和信息将实际问题“翻译”成数学问题.选择适当数学方法求得数学模型解答.将数学语言表述解答“翻译”回实际对象.用现实对象信息检验得到解答.实践现实世界数学世界理论实践31/401.5数学模型特点和分类模型逼真性和可行性模型渐进性模型健壮性模型可转移性模型非预制性模型条理性模型技艺性模型不足

数学模型特点32/40数学模型分类应用领域人口、交通、经济、生态、…数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、…表现特征描述、优化、预报、决议、…建模目标了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续33/401.6怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用准则想像力洞察力判断力学习、分析、评价、改进他人作过模型.亲自动手，认真作几个实际题目.34/40参加全国大学生数学建模竞赛意义和作用1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织1994年起教育部高教司和CSIAM共同举行(每年9月)年33省/市/