浙江新高考数学二轮复习专题强化练专题六3第3讲独立重复试验模型及二项分布

专题强化训练1．如果ξ～B(5，)，那么P(ξ≤2)＝()A．0.0729 B．0.00856C．0.91854 D．0.99144解析：选D.P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\i\su(k＝0,2,)Ceq\o\al(k,5)·()k·()5－k＝()5＋5×()×()4＋eq\f(5×4,2)×()2×()3944.2．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，，则他罚球两次得分的均值为()分 B．分分 D．2分解析：选C.设罚球得分为X，则X的所有取值为0，1，2.P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,2)×0×2，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)××，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×2×0，E(X)×××2＝1.6.3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,12) D.eq\f(3,4)解析：选C.依题意，得P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，且事件A，B相互独立，则事件A，B中至少有一个发生的概率为1－P(eq\o(A,\s\up6(－))·eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(7,12)，故选C.4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()解析：选A.3次投篮投中2次的概率为P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×2×(1－)，投中3次的概率为P(X＝3)3，所以通过测试的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×2×(1－)3A.5．(2019·台州高三期末质量评估)经检测，有一批产品的合格率为eq\f(3,4)，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P(ξ＝k)取得最大值时，k的值为()A．5 B．4C．3 D．2解析：选B.根据题意得，P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(k)(1－eq\f(3,4))5－k，k＝0，1，2，3，4，5，则P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(0)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(5)＝eq\f(1,45)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,5)(eq\f(3,4))1×(eq\f(1,4))4＝eq\f(15,45)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,5)(eq\f(3,4))2×(eq\f(1,4))3＝eq\f(90,45)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,5)(eq\f(3,4))3×(eq\f(1,4))2＝eq\f(270,45)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,5)(eq\f(3,4))4×(eq\f(1,4))1＝eq\f(405,45)，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(5,5)(eq\f(3,4))5×(eq\f(1,4))0＝eq\f(243,45)，故当k＝4时，P(ξ＝k)最大．6．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的数学期望E(η)>eq\f(7,4)，则p的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．(0，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：选A.由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，则E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>eq\f(7,4)，解得p>eq\f(5,2)或p<eq\f(1,2)，又p∈(0，1)，所以p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).7．，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝________．解析：依题意，X～B(100，)，所以DX＝100××()＝1.96.答案：8．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为eq\f(1,3)，乙去北京旅游的概率为eq\f(1,4)，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,2)，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．解析：抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为eq\f(4,6)×eq\f(4,6)＝eq\f(4,9)，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)，用X表示10次试验中成功的次数，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(5,9)))，E(X)＝10×eq\f(5,9)＝eq\f(50,9).答案：eq\f(50,9)10．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq\f(2,3)，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，则随机变量X的数学期望E(X)＝________．解析：由题意知P(X＝0)＝eq\f(1,3)(1－p)2＝eq\f(1,12)，所以p＝eq\f(1,2).随机变量X的分布列为：X0123Peq\f(1,12)eq\f(1,3)eq\f(5,12)eq\f(1,6)E(X)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)11．(2019·开封第一次模拟)某生物产品，每一个生产周期成本为20万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：产量(吨)3050概率市场价格(万元/吨)1概率(1)设X表示1个生产周期此产品的利润，求X的分布列；(2)连续3个生产周期，求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率．解：(1)设A表示事件“产品产量为30吨”，B表示事件“”，则P(A)，P(B)，因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X的所有值为50×1－20＝30，50×－20＝10，30×1－20＝10，30×－20＝－2，则P(X＝30)＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝()×(1－)，P(X＝10)＝P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq\x\to(B))＝()××()，P(X＝－2)＝P(A)P(B)×，则X的分布列为X3010－2P(2)设Ci表示事件“第i个生产周期的利润不少于10万元”(i＝1，2，3)，则C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝30)＋P(X＝10)(i＝1，2，3)，连续3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)3，连续3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P(eq\x\to(C1)C2C3)＋P(C1eq\x\to(C2)C3)＋P(C1C2eq\x\to(C3))＝3×2×，所以连续3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512＋0.384＝0.896.12．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列及数学期望．解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A，则P(A)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).(2)X的所有可能取值为0，5，10，15，20.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27)，P(X＝10)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＝eq\f(6,27)，P(X＝15)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,27)，P(X＝20)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27).X的分布列为：X05101520Peq\f(8,27)eq\f(8,27)eq\f(6,27)eq\f(4,27)eq\f(1,27)E(X)＝0×eq\f(8,27)＋5×eq\f(8,27)＋10×eq\f(6,27)＋15×eq\f(4,27)＋20×eq\f(1,27)＝eq\f(20,3).13．在2017年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为eq\f(2,3)，且每题正确回答与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列、并计算其数学期望；(2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．解：(1)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ，η.则ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(0,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，所以考生甲正确回答题数的分布列为ξ123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)E(ξ)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.又η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，其分布列为η0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)所以E(η)＝np＝3×eq\f(2,3)＝2.(2)因为D(ξ)＝(2－1)2×eq\f(1,5)＋(2－2)2×eq\f(3,5)＋(2－3)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).D(η)＝np(1－p)＝3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).所以D(ξ)<D(η)．因为P(ξ≥2)＝eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)＝0.8.P(η≥2)＝eq\f(12,27)＋eq\f(8,27)≈，所以P(ξ≥2)>P(η≥2)．从回答对题数的数学期望考查，两个水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查．甲通过的可能性大．因此可以判断甲