初中数学-因式分解-练习题(含答案)

因式分解的常用方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．【例1】分解因式解：原式二、运用公式法.运用公式法，即用写出结果．【例2】分解因式解：原式三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式【例3】分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式==每组之间还有公因式！=思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。【例4】分解因式：解法一：第一、二项为一组解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=原式=====练习1：分解因式解：原式（二）分组后能直接运用公式【例5】分解因式：分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式===【例6】分解因式：解：原式===注意这两个例题的区别！练习2：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）四、配方法：对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。【例7】】分解因式解：原式五、求根法：令多项式，求出其根，则多项式可因式分解为。【例8】分解因式解：令，通过综合除法可知的根分别为，则原式六、图象法：令，做出函数的图象，找到它与轴的交点，则多项式可因式分解为【例9】分解因式解：令，作出其图象，如右图所示，∵与轴的交点分别为，∴原式七、利用特殊值法：将或代入，求出数，将数分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成或的和与差的形式，将或还原成，即得因式分解式。【例10】分解因式解：令，则原式，将分解成个质因数的积，即；注意到多项式中最高项的系数为，而分别为在时的值，则原式八、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。【例11】分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12解：=13=1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。【例12】分解因式：解：原式=1-1=1-6（-1）+（-6）=-7练习3、分解因式(1)(2)(3)练习4、分解因式(1)(2)(3)（二）二次项系数不为1的二次三项式——条件：（1）（2）（3）分解结果：=【例13】分解因式：分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：=练习5、分解因式：（1）（2）（3）（4）（三）二次项系数为1的齐次多项式【例14】分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：==练习6、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式【例15】【例16】1-2y把看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=解：原式=练习7、分解因式：（1）（2）练习8、（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：九、主元法.【例17】分解因式：5-2解法一：以为主元2-1解：原式=(-5)+(-4)=-9=1-(5y-2)=1(2y-1)=-(5y-2)+(2y-1)=-(3y-1)解法二：以为主元1-1解：原式=12=-1+2=1=2(x-1)=5-(x+2)=5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)练习9、分解因式(1)(2)(3)(4)十、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。条件：（1），，（2），，即：，，则【例18】分解因式（1）（2）解：（1）应用双十字相乘法：，，∴原式=（2）应用双十字相乘法：，，∴原式=练习10、分解因式（1）（2）十一、换元法。【例19】分解因式（1）（2）解：（1）设2005=，则原式===（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=设，则∴原式====练习11、分解因式（1）（2）（3）【例20】分解因式（1）观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式==设，则∴原式=======（2）解：原式==设，则∴原式====练习12、（1）（2）十二、添项、拆项、配方法。【例21】分解因式（1）解法1——拆项。解法2——添项。原式=原式=========（2）解：原式====练习13、分解因式解：原式十三、待定系数法。【例22】分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解：设=∵=∴=对比左右两边相同项的系数可得，解得∴原式=【例23】（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。（2）如果有两个因