点到直线的距离公式 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程2.3.3点到直线的距离公式思考？

已知点P0(1，1)和直线l：x+y-4=0，如何求点P到直线l的距离？

xoP0Qly

点P到直线l的距离，是指从点P0到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足．LL1QP(x0,y0)L:Ax+By+C=0

已知：点P(x0,y0)和直L:Ax+By+C=0，怎样求点P到直线L的距离呢？过点P作直线L1⊥L于Q,怎么能够得到线段PQ的长?利用两点间的距离公式求出|PQ|.则线段PQ的长就是点P到直线L的距离.解题思路：步骤

(3)求出Q点的坐标；

(4)由两点间距离公式d=|PQ|.

反思：这种解法的优缺点是什么？分析思路一：直接法预备知识：对于直线

l:Ax+B

y+C=0(A≠0,B≠0)方向向量和法向量可表示为：如果向量与直线l垂直，则称向量为直线l的法向量.如果向量与直线l平行，则称向量为直线l的方向向量.可表示为：P1P2xy0

我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？

分析思路二：向量法

探究教材P76思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？xyO面积法求出P0Q求出点R的坐标求出点S的坐标利用勾股定理求出SR用直角三角形的面积间接求法RSd求出P0R求出P0S分析3：面积法xyP0(x0,y0)Ox0y0SRQd独立完成推导过程点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为：

特别地，当A=0，B0时，直线By+C=0特别地，当B=0，A0时，直线Ax+C=0点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为：

特别地，当A=0，B0时，直线By+C=0特别地，当B=0，A0时，直线Ax+C=0注：

(1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.例1

求点P0（-1,2）到下列直线的距离（1）2x+

y-10=0；（2）3x=2。典例解析例３．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________.[0,10]所以a的取值范围是[0,10].例1：

已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.即x+3y-5=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得备选例题(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.即x+3y-5=0.注意（易错点）：用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.备选例２.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5,0)到直线l的距离为3，则l的方程为________________.

解析法一两直线交点为(2,1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0， 此时A到直线l的距离为3，符合题意； 当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.x＝2或4x－3y－5＝0综上知，所求直线方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0.法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.