第1章集合与逻辑单元复习热考题型(原卷版)

第1章集合与逻辑本章知识综合运用知识网络知识网络集合的定义集合的定义题型一题型一【例题1】已知集合S=(x,y)|1≤x≤10,1≤y≤10,x∈N,y∈N．若A⊆S，且对任意(a,b)∈A，(s,t)∈A，均有(a−s)(b−t)≤0，则集合A．5 B．9 C．15 D．19【变式11】下列集合中表示同一集合的是（

）A．M＝{(3,2)}，N＝{3,2} B．M＝{(x,y)|x+y=1}，N＝{y|x+y=1}C．M＝{(4,5)}，N＝{(5,4)} D．M＝{2,1}，N＝{1,2}【变式12】下面六个关系式：①∅⊆{a}；②a⊆{a}；③{a}⊆{a}；④{a}∈{a,b}；⑤a∈{a,b,c}；⑥∅∈{a,b}，其中正确的是．【变式13】若集合A=xk+1x2+x−k=0【变式14】已知非空集合S⊆N，若对任意x,y∈S（x,y可以相同），x+y与x−y中至少有一个属于集合S，则称S(1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可）(2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由．【变式15】设集合M=(1)判断元素7是否属于M，并说明理由；(2)已知实数x0=4k(3)对任意x1,x2∈本题中(x,y)是点集，注意点集与数集的区别,另外集合的三要素集合的表示方法集合的表示方法题型题型二【例题2】选择适当的方法表示下列集合.（1）Wele中的所有字母组成的集合；（2）所有正偶数组成的集合；（3）二元二次方程组{y=x（4）所有正三角形组成的集合.【变式21】用描述法表示下列集合：（1）{0，2，4，6，8}；（2）{3，9，27，81，…}；（3）12（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合；（5）如图中阴影部分的点(含边界)的集合.【变式22】直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为．【变式23】用描述法表示被5除余2的正整数组成的集合为．【变式24】用列举法表示xx=6【变式25】下面三个集合：A=x|y=集合间的关系集合间的关系题型题型三【例题3】满足a⊆M⊊a,b,c,d的集合M共有【变式31】集合M=xx=kπ2A．M=N； B．M⊂N；C．M⊃N； D．M∩N=∅．【变式32】已知A=a,0,−1，B=c+b,1a+b,1，且【变式33】已知集合A=xx2+x−2=0,B=xax+1=0【变式34】已知a∈R，x∈R，集合A＝{2，4，x2﹣5x+9}，B＝{3，x2+ax+a}，C＝{x2+（a+1）x﹣3，1}．(1)当2∈B，B⊆A时，求a、x的值；(2)当B＝C时，求a、x的值．【变式35】集合A={x|(a−1)x(1)若A是∅，求实数a的取值范围(2)是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集，若存在，求出实数a及对应的子集，若不存在，说明理由．集合的运算集合的运算题型题型四【例题4】已知集合A={x|1<x<3}(1)求A∪B，(2)若A⊆C，求实数a的取值范围.【变式41】设集合A=xx2(1)若A∩B=2，求实数a(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围.【变式42】已知A=x|x2+mx−3=0,x∈R,B=【变式43】已知全集U={x|x是小于20的质数}，B∩CUA=2,3，A∩C【变式44】在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个学生至少做对一题.在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；只解出甲题的人数比余下的学生中解出甲题的学生人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学只解出乙题？【变式45】已知集合A=x−3<x≤4，集合B=xk+1≤x≤解集合运算的试题时,按照运算法则进行运算;(2)注意运算的步骤:如果含有补集,先求补集,如果是三个集合之间的交并运算,按照从左到右的顺序逐次求解.集合的新定义集合的新定义题型题型五【例题5】设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；④τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（

）A．② B．①③ C．②④ D．②③【变式51】用CA表非空集合A中元素的个数，定义A*B=CA−CB,CA≥CBCA．4 B．3 C．2 D．9【变式52】若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x、y∈A，则x−y∈A，且x≠0时，1x∈A.则称集合(1)分别判断集合A={−1,0,1}是否是“好集”，并说明理由；(2)设集合A是“好集”，求证：若x、y∈A，则x+y∈A；(3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、y∈A，则必有2xy∈A.【变式53】求已知集合M={1k|1≤k≤100，且k∈N∗}，A=a1,a2,⋯,an，其中(1)判断集合13,1(2)若集合A=a1,①求证：ai−a②求A的元素个数n的最大值．【变式54】设n是正整数，集合A=α|α=(t1,t2,⋯,t(1)当n=3时，若α=(1,1,0),β=(0,1,1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；(2)当n=4时，若M(α,α)的值为奇数，求所有满足条件的元素α；(3)给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α,β满足M(α,β)=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.命题的否定命题的否定题型题型六【例题6】“x≠0且x≠1”的否定形式为.【变式61】若A,B是全集U的真子集，则下列四个命题：①A∩B=A；②A∪B=A；③A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式62】“所有偶数都不是素数”是命题.（填“真”或“假”）【变式63】命题“如果x>2，那么x≥2”的否命题是.【变式64】设a∈R，若x>1，则x>a为真命题，则a的取值范围是．充分必要条件充分必要条件题型题型七【例题7】若α:x∈1,2，β:x∈0,2，则α是β的【变式71】已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【变式72】若a,b,c∈R，则“ac=bc”是“a=b”的（

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式73】“x,y中至少有一个小于零”是“x+y<0的条件.【变式74】设α：1<x≤4，β：x>m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是．反证法题型反证法题型八【例题8】（1）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，求证：A,B,C中至少有一个角大于或等于60°（2）已知为不全相等的正数，且abc=1，求a,b,c证a+【变式81】用反证法证明命题:“若x+y>2，则x>1或y>1”时，应假设（

）A．x≤1或y≤1 B．若x≤1或y≤1，则x+y≤2C．x≤1且y≤1 D．若x≤1且y≤1，则x+y≤2【变式82】用反证法证明命题：“已知a,b∈N，若ab不能被7整除，则a与b都不能被7整除”时，假设的内容应为（

）A．a,b都能被7整除 B．a,b不都能被7整除C．a,b至少有一个能被7整除 D．a,b至多有一个能被7整除【变式83】用反证法证明命题：“设x，y∈R．若x+y>2，则x>1或y>1”时，假设的内容应该是【变式84】已知a1,a2,a3模拟练习1．已知P=1,2，Q=2,3，若M={x|x∈P且x∉Q}，则M=（A．{1} B．{2} C．{1,2} D．{1,2,3}2．“x≥1”是“x>1”的（

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要3．已知全集U=R，集合A=(−∞,1)∪[2,+∞)4．已知集合A=x,x2+1,