高中数学人教版必修3课件1-1-1算法的概念1

第一章算法初步算法与程序框图人教版必修31.1.1算法的概念现代社会，计算机几乎已触及到人们生活的方方面面，为人们的生活提供了很多便利，那计算机是如何工作的呢？如何才能让它发挥更大的作用呢？事实上，计算机的应用离不开程序设计，而程序设计就是算法设计，所以要从算法说起．一起来认识算法吧！在数学的学习中，我们经常会对一类问题的解法进行归纳总结，得出解决这一类问题的一般步骤或方法，如解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化一元二次不等式为一般形式(ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0，其中a>0)；(2)求出该一元二次不等式对应的一元二次方程的实数根；(3)写出不等式的解集．这实际上就是算法的思想。随着计算机科学和信息技术的飞速发展，算法的思想已渗透到社会的方方面面，这一节我们就来学习算法．优效预习知识衔接1．算法的概念算术运算一定规则明确有限计算机程序算法明确的步骤算法“语言”自主预习[破疑点]算法与一般意义上具体问题的解法既有联系又有区别，它们之间是一般与特殊、抽象与具体的关系．算法的获得要借助于一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决．在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，这些步骤称为解决这些问题的算法．这种用步骤呈现解决问题过程的思想方法称为算法的思想．2．算法的特征算法是做一件事情的方法和步骤．在生活中做一件事情的方法和步骤有多种，我们设计的算法应本着简捷方便的原则．要正确地设计一个算法就需要了解算法的特征：3.算法的设计(1)算法设计的目的设计算法的目的实际上是寻求__________的算法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个__________，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到计算机执行的目的．(2)算法设计的要求①写出的算法必须能解决__________；②要使算法尽量____、步骤尽量___；③要保证算法____，且计算机能够_____．一类问题正确的步骤一类问题简单少正确执行(3)算法的描述①展现形式：目前可使用文字语言表示．②展现方式：算法常用下列方式来表示：第一步，……第二步，……第三步，…………[答案]

D预习自测[解析]

A、B两选项给出了解决问题的方法和步骤，是算法．C项，利用公式计算也属于算法．D项，只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．[警误区]算法特征中的有限性不等同于步骤的有限步，在算法结构中会出现步骤的重复使用，也就是说算法执行的步数大于或等于步骤中的步数，很可能步骤中的步数较少而要执行的步骤很多，但不可以无限．2．下列对算法的理解不正确的是(

)A．算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)B．算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果C．算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是一种通法D．任何问题都可以用算法来解决[答案]

D[解析]

算法是解决问题的精确的描述，但是并不是所有问题都有算法，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的．3．有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题．[分析]

由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换，故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶的办法进行交换．[答案]

解：算法步骤如下：第一步，取一只空的墨水瓶，设其为白色．第二步，将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中．第三步，将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中．第四步，将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中．第五步，交换结束．(1)下列关于算法的描述正确的是(

)A．算法与求解一个问题的方法相同B．算法只能解决一个问题，不能重复使用C．算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切D．有的算法执行完后，可能无结果探究方向一算法含义的正确理解高效课堂互动探究(2)下列描述不能看作算法的是(

)A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤B．洗衣机的使用说明书C．解不等式2x2＋x－1>0D．求过M(1,2)与N(－3，－5)两点的直线方程可以先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．[探究]

1.算法有何特点？2．如何判断一个语句是否可以看作算法？

[解析]

(1)算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A项不对；算法能重复使用，故B项不对；每个算法执行后必须有结果，故D项不对；由算法的有序性和确定性可知C项正确．(2)A、B、D都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而C只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．[答案]

(1)C

(2)C[规律总结](1)算法实际上是一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想．(2)算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性与正确性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点．(1)下列关于算法的说法正确的是(

)A．某个问题的解题过程就是算法B．一个算法可以有无穷多个步骤C．解决某一问题的算法可以有多个D．算法执行完后可以有多个不同的结果跟踪训练[答案]

(1)C

(2)①④[解析]

(1)算法与求解一个问题的方法过程是有区别的，故A不对；每一个算法的步骤是有限的，且执行后结果是唯一确定的，故B、D不对；解决某一问题的算法可以不同，故C正确．(2)①是学习数学的一个有效的步骤，故它是算法；②不是李华吃饭的步骤，只是说明他吃了多少东西，故它不是算法；③执行结果不确定，故它也不是算法；④是求菱形面积的步骤，故它是算法．[规律总结]

判断算法的三个关注点(1)明确算法的含义．(2)明确算法的特点．(3)明确算法与解法的区别．写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．探究方向二

数值性问题的算法[解析]

算法1：第一步，计算1＋2得到3；第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6；第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10；第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15；第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21；第六步，输出运算结果．[规律总结]

(1)算法1是切合“算法”的含义．算法2是运用已知的结果作为公式进行计算．算法3据已知发现规律写出步骤．(2)算法设计的步骤设计一个具体的算法，通常按以下步骤：将例题中的“加号”改为“乘号”求这六个数的积．[解析]

算法1：第一步计算1×2得2.第二步将第一步中的运算结果2与3乘得6.第三步将第二步中的运算结果6与4乘得24.第四步将第三步中的运算结果24与5乘得120.第五步将第四步中的运算结果120与6乘得720.还可以将此算法改造得更加简练、科学．跟踪训练算法2：第一步设i＝1，P＝1.第二步如果i≤6，执行第三步，否则执行第五步．第三步计算P×i并用结果代替P.第四步将i用i＋1代替，转去执行第二步．第五步输出P.[点评]

i称作计数变量，每一次循环它的值增加1，并从1变到6，P是一个累乘变量，每一次循环后得到一个新的结果，并由新结果替代原值．试设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．[探究]

1.由球的表面积求出球的半径．2．球的体积与表面积的关系.探究方向三非数值性问题的算法[规律总结]方法1是分步算式，清楚明白；方法2是综合算式，步骤简练，两种算法各有长处．设计算法时，不要设计得过于零碎，步骤过多，以免实际操作起来比较繁杂，因此常考虑用综合算法．跟踪训练[过程释疑]

加减消元，消去x，也可①＋②×2消去y.移项是为了利用代入消元法，也可用①式移项，得x＝2y－1.写出方程组的解的形式．[规律总结]通过求解二元一次方程组，知道求解某个问题的算法不一定唯一，对于具体的实例可以选择合适的算法，尽量做到“省时省力”，使所用的算法为最优算法．(1)一个算法的步骤如下：第一步，输入x的值．第二步，计算y＝x2.第三步，计算z＝2y－log2y.第四步，输出z的值．若输入x的值为－2，则输出z的值为(

)A．2

B．4C．12 D．14探究方向四算法的应用探索延拓(2)下面是求1×3×5×7×9×11值的算法，用p表示被乘数，i表示乘数，则将算法补充完整．第一步，使p＝1.第二步，使i＝3.第三步，使p＝________.第四步，使i＝________.第五步，若i≤11，则返回到第三步继续执行；否则输出p.[探究]

1.对数的运算法则是什么？2．算法的某些步骤可以循环使用吗？[解析]

(1)第一步，输入x的值为－2，第二步，计算得y＝(－2)2＝4；第三步，计算得z＝24－log24＝16－2＝14.(2)根据要解决的问题知，算法中第三步是前面两个数的积与后面的数相乘，且i每次都增加2.[答案]

(1)D

(2)p×i

i＋2(1)如下算法：第一步，输入x的值．第二步，若x≥0成立，则y＝x，否则执行下一步．第三步，计算y＝2x2－4.第四步，输出y的值．若输入x＝－2，则输出y＝________.跟踪训练(2)给出算法：第一步，输入n＝8.第二步，令i＝1，S＝0.第三步，判断i≤n是否成立，若不成立，输出S，结束算法；若成立，执行下一步．第四步，令S的值加i，仍用S表示，令i的值加1，仍用i表示，返回第三步．该算法的功能是________．[答案]

(1)4

(2)计算1＋2＋3＋…＋8的值[解析]

(1)输入x＝－2后，x＝－2≥0不成立，则计算y＝2x2－1＝2×(－2)2－4＝4，则输出y＝4.(2)计算1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8的值该算法的运行过程是：n＝8，i＝1≤8成立，S＝0＋1＝1；i＝2≤8成立，S＝1＋2；i＝3≤8，S＝1＋2＋3；依次下去，i＝8≤8成立，S＝1＋2＋…＋8，i＝9≤8不成立；输出S＝1＋2＋3＋…＋8.设计一个算法，将1573分解成奇因数的乘积．[错解]

算法如下：第一步，判断1573是否为素数：否．第二步，寻找1573的最小奇因数：不是2，也不是3……[错因分析]

第二步的结果是不确定的，“不是2，也不是3”，到底有多少是不确定的？而算法中的每一步都要有明确具体的结果，只有这样，才有最终的结果．误区警示[正解]

算法如下：第一步，判断1573是否为素数：否．第二步，确定1573的最小奇因数11，即1573＝11×143.第三步，判断143是否为素数：否．第四步，确定143的最小奇因数11，即143＝11×13.第五步，判断13是否为素数：是．分解结果是1573＝11×11×13.设计一个算法，求出840和1764的最大公约数．[探究]

首先对给出的两个数进行质因数分解：840＝23×3×5×7,1764＝22×32×72；其次确定两个因数的公共质因数：2,3,7；最后确定公共质因数的指数：对于公共质因数2,840的质因数中2的指数为3,1764的质因数中2的指数为2，应取较小的指数2，同理可得余下的公共质因数3和7的指数分别为1和1.针对训练[解析]

算法步骤如下：第一步，将840进行质因数分解，得840＝23×3×5×7.第二步，将1764进行质因数分解，得1764＝22×32×72.第三步，确定它们的公共质因数：2,3,7.第四步，确定公共质因数2,3,7的指数别为2,1,1.第五步，840和1764的最大公约数为22×33×71＝84.[过程释疑]

分解到不能再分解为止．取指数的最小值．此题表面上是求两个正整数的最大公约数，但实际上是