2023届安徽省合肥高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在AABC中，ADIAB,BD=xAB+yAC{x,ye/?）,|AO|=2,且/.而=12，则2x+y=（）

A

3

D.——

4

2.已知命题P：VxeR,sinx＜1»则一!^为（）

A.3x0e7?,sinx0＞1B.VxeRsinx21

C.3x0e7?,sinx（）＞lD.VxeRsinx>1

3.某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为3,则该几何体表面积为（）

A.7"B.64C.5乃D.4万

4,已知数列｛/｝中，q=2,〃(a向一%)=a,+l,〃eN*,若对于任意的不等式

%皿<2/+G-1恒成立，则实数f的取值范围为()

H+1

A.(―oo,—2]D[1,+OO)B.(―oo,—2]D[2,+OO)

C.(-oo,-1]D[2,+CO)D.[-2,2]

5.已知函数向=匕+：■。有三个不同的零点与叫为（其中「＜与＜匕），则'-二人司的值为（）

e

A.1-1CD.

—,x>01

6.已知函数若函数g（x）=/（x）--x+—）在R上零点最多，则实数Z的取值范围是（）

-X2-2X,X<02

A.（0,^-）B.（―^-,0）C.（-.，-,0）D.（0,2«）

7.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）

分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：〃=2及“=3时，如图：

记S”为每个序列中最后一列数之和，则S6为（）

A.147B.294C.882D.1764

8.我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜

幕并大斜幕减中斜塞，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜塞减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实

质是根据三角形的三边长a,b,c求三角形面积S,即S=2TL+：一厅了］.若AABC的面积S=浮,

a=5b=2,则sinA等于()

VH11-11

1U5.--------在l或叵D.—或—

61062036

9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（)

正视图他视图

10.运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为99,则判断框中可以填（）

A.S>1B.S>2C.S>lg99D.521g98

11.下列函数中，在区间（0,+8）上为减函数的是（）

__2/IY

A.y=y/x+lB.y=x-lC.y=1-D.y=log2X

\2）

12.已知|Z|=G，出|=2,若则向量3+5在向量方向的投影为（）

1717

A.-B.-C.——D.--

2222

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数（e为自然对数的底数，beR）,若函数g（x）=/1/（x）-恰有4个零点，则实数。的

取值范围为.

14.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人

至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数

为.(用数字作答)

21011

15.已知(1+2x)"=a()+aix-^-a2x+•••+a]()x+ailx,贝()q-2a2+---IO/+11%=.

16.已知(冗+1)2(元一。)6=+%『+。616+%£+。4/+//+。押+。0(。£/?),若q=0,则

。0+。]+/+。3+。4+。5+。6+%+。8=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知直线y=x—1是曲线f(x)=Qlnx的切线.

(1)求函数f(x)的解析式，

(2)若r<3—41n2,证明:对于任意m>0,/i(x)=/%x-J7+/'(%)+，有且仅有一个零点.

x=1+V2cos(p

18.(12分)在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为(。为参数)，以原点为极点，工轴的非负

y=l+v2sin^

半轴为极轴建立极坐标系，射线4的极坐标方程为夕=a(-射线4的极坐标方程为ena+f-

(I)写出曲线C的极坐标方程，并指出是何种曲线；

(II)若射线4与曲线。交于。、A两点,射线，2与曲线。交于0、8两点，求人钻。面积的取值范围.

1-t2

尤=F

1；；(f为参数).点p(x。,兄)在曲线。上，点Q(，a〃)

19.(12分)在直角坐标系直力中，曲线C的参数方程为

y=~~

l+r

m-2x0

满足

n=回。

(1)以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点。的轨迹G的极坐标方程

⑵点儿B分别是曲线a上第一象限'第二象限上两点'且满足"。人备求总干+看的值.

20.(12分)2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病

毒性肺炎/肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎(Coro"aUr“sZ)isease2019,COVID—19),简称“新冠肺炎”.下图

是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.

・德人•/人累计■诊人时间变化散点BB

为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量/的两个回归模型，根据1

月15日至1月24日的数据（时间变量/的值依次1,2,...»10）建立模型§=c+&和$=a+力1.5，

（D根据散点图判断，§=c+力与$=a+力15哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量f的回归方程类型？（给

出判断即可，不必说明理由）

（2根据（1）的判断结果及附表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据（2）的结果回答下列问题：

时间1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日

累计确诊人数的真实数据19752744451559747111

（i）当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1

则认为模型可靠，请判断（2）的回归方程是否可靠？

（ii）2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5

天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？

附：对于一组数据（（％,匕），（W2,V2）......其回归直线i，=〃+〃”的斜率和截距的最小二乘估计分别为

=~，a=v-/3u.

E（«,-«）

i=l

_110

参考数据：其中助=15,0）=/£电.

1U/=1

10101010

tycoZr工成1.5"1.5,21.5131.5141.515

/=1i=l/=1i=l

5.539019385764031525154700100150225338507

1

%=—cos。

21.（12分）曲线G的参数方程为:]

(9为参数)，以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系

y=—+—sin（p

中，曲线C2的极坐标方程为夕cos20=3sine.

⑴求曲线G的极坐标方程和曲线Q的直角坐标方程；

⑵若直线/：丁=依与曲线G，C2的交点分别为A、B(A、B异于原点)，当斜率丘[曰，百]时，求依山+血

的最小值.

22.(10分)已知(x+1)"=4+q(x-1)+%(%—I/+。3(》—I)15-I--Ha,\x-l)n,(其中〃eN*)

Sn=q+a2+a^-\---1-an.

⑴求S“；

(2)求证：当〃24时，S,,>(n-2)2"+2n2.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

由题可丽•丽=0,衣•而=12,所以将已知式子中的向量用而，通无心表示，可得到的X，)'关系，再由3,O,C三

点共线，又得到一个关于羽丁的关系，从而可求得答案

【详解】

由丽=》前+>而，贝！I

AD=(x+1)AB+yAC,ADAD=AD[(x+AB+yAC]^(x+1)ADAB+yADAC,即4=12y,所以y=g,

又B,O,C共线，则x+l+y=l,x=—；,2x+y=—；.

故选：C

【点睛】

此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.

2.C

【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.

【详解】

•.•全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P：VxeR,sinx<1,

:3x0GR,sinx0>1.

故选：C.

【点睛】

本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.

3.C

【解析】

几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,计算得到答案.

【详解】

几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,故几何体的表面积为

12

—x3x2%+2»xl~=5万.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

4.B

【解析】

a„.,a„111i

先根据题意，对原式进行化简可得告一——77,然后利用累加法求得—a=3--然后不等

n+\n+nn+1n+\n+\

式%tL<2/+〃一1恒成立转化为2产+ar-123恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.

〃+1

【详解】

由题，“(4+1-4)=a“+lnna“+]=(n+l)atI+l

%+l4_111

n+nn+1

5T俎.也=1%L_21+‘%明］

故哈庭(・ooj)上单调递增，在Q,+8)上单调递减，且；v<0时，g(x)<0>》>0时，g(x)>09gfx>niax=g(l)=-9可画

x\2ax

出函数9㈤的图象(见下图)，要使函数=}+匚・。有三个不同的零点与，士，勺(其中》<与<七)，则方程

\e]e

(tj+'=■a

/-at-a—0需要有两个不同的根，“2(其中。<%)，则/=〃~+4a>0，解得a>0或。<-4,且，=°，

”1*2-a

若a>0,即[:./=a<n>则则为<0</</<》歹且g(x,)=g&3)=，”

I"，2u/2e-

故/-WW/-==0-rJ。-，2)2=I1-(0+t)+/也;=(/+a-a)?=/，

、e/\e，八e\

[tj+t2=-a>4i2,

，

若a<-4,即f.t=_q>4，由于ga，n1ax=g(〃=故0+f,<-<4，故a<-4不符合题意，舍去.

故选A.

【点睛】

解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.

6.D

【解析】

将函数的零点个数问题转化为函数y=/(x)与直线y=-尤+；)的交点的个数问题，画出函数y=fM的图象，易知

直线y=Mx+g)过定点(―；,0),故与/(幻在x<0时的图象必有两个交点，故只需与/(x)在x>0时的图象有两个

交点，再与切线问题相结合，即可求解.

【详解】

由图知y=/(%)与y=k(x+；)有4个公共点即可，

即左e（O,左切），当设切点（x。,%），

【点睛】

本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.

7.A

【解析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得的值.

【详解】

依题意列表如下：

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

j_

31530

2

21020

3

215

15

42T

\6

612

5?

]_

1510

6

所以$6=60+30+20+15+12+10=147.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.

8.C

【解析】

将S=®,a=j3,b=2,代入s二，a2c2_（-+♦一—解得「2=52=9＞再分类讨论，利用余

2V42

弦弦定理求cosA,再用平方关系求解.

【详解】

已知S=——,a=5/3»b-2>

2

代入7*—（立衿1

得心如一（年内当

即c"一12/+45=0，

解得=5,c2=9,

2

b2+c2-a2班，sin4=Vl-cosA=返

当,2=5时，由余弦弦定理得：cos/

2bc1010

当。2=9时，由余弦弦定理得：cosA=b'+C'~Cr=-,sin/=71-cos2A=—

2bc66

故选：C

【点睛】

本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.

9.C

【解析】

由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为2g,高为1的等腰三角形，侧棱长为4,利用正弦定

理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径,

即可求解球的表面积.

【详解】

由三视图可知,

几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为26，高为1的等腰三角形,

侧棱长为4,如图：

由底面边长可知，底面三角形的顶角为120°，

由正弦定理可得2-2百=4,解得AD=2,

sin120°

三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，

所以=V22+22=2V2,

该几何体外接球的表面积为：S=4乃（2返『=32万.

故选：C

【点睛】

本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.

10.C

【解析】

模拟执行程序框图，即可容易求得结果.

【详解】

运行该程序：

第一次，i=l,S=lg2；

3

第二次，i=2,S=lg2+lg-=lg3；

4

第三次，i=3,5=lg3+lg-=lg4,

•・・；

99

第九十八次，i=98,S=lg98+lg后=lg99；

第九十九次，z=99,S=lg99+lg—=lgl00=2,

此时要输出i的值为99.

此时S=2>/g99.

故选：C.

【点睛】

本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.

11.C

【解析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间（0,+8）上的单调性，进而可得出结果.

【详解】

对于A选项，函数y=在区间（0,+8）上为增函数；

对于B选项，函数.丫=/一1在区间（（）,+e）上为增函数；

对于C选项，函数y=在区间（（）,+8）上为减函数；

对于D选项，函数y=log2%在区间（0,+。）上为增函数.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.

12.B

【解析】

由打倒一必|:|=6，|昨2=>£%=3,再由向量〃+万在向量/；方向的投影为"^2化简运算即可

闻

【详解】

aA-^a-b^：.a-^a-b^=a-a-b=3-ab=0,=3，

...向量在向量B方向的投影为iz+7icos6+痴)=("+0"=q*产-=出=1

\/\b\\b\22

故选：B.

【点睛】

本题考查向量投影的几何意义，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.^1,—+ln2j

【解析】

令/(同一(=「，则〃/)=°，"x)=，+；恰有四个解.由r(x)="-1判断函数增减性，求出最小值，列出相应

不等式求解得出b的取值范围.

【详解】

解：令/(x)—g=r,则/⑺=0,=r+g恰有四个解.

/(。=。有两个解，由/'(x)=e'-l,可得〃x)在(r,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

则/(%,=『(。)=1-6<。，可得b>L

设/(。=0的负根为加，

由题意知，m—>\—b,m>---b,

22

(\\1-61

f->0,则e?—>0,

U)2

,1,c

•"h<—PIn2.

2

hel,；+ln2)

故答案为：(l,g+ln2).

【点睛】

本题考查导数在函数当中的应用，属于难题.

14.5040.

【解析】

分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为N=6&+C；C；&=1440+3600=5040。填5040.

【点睛】

利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于

特殊元素“优先法”，所以有了分类。本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”。

15.22

【解析】

对原方程两边求导，然后令x=-l求得表达式的值.

【详解】

对等式(1+2x)"=+qx+ct-,x~4---F+tZ]J%11两边求导，得

22(1+2x)”‘=q+2a/4---F1()。“/'+1lq,令x=—1>贝IIq—2al+•—lOq。+Ila”=22.

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.

16.1

【解析】

由题意先求得。的值，可得(x+l)2.(x-3)6=/炉++...+qx+q),再令x=l,可得结论.

【详解】

6876542

己知(x+1)?(x-a)=asx+a7x+a6x+a^x+a4x++a2x+qx'+a0(ae7?),

65

a}=2a-6a=0,:.a=3,

687

(x+1)。.(x-3)=WgX+a7x+…+4X+%,

令X=1,可得a。+4+a?+%+q+%+4+%+4=2*=256,

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的％赋值，求展开式的系数

和，可以简便的求出答案，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)/(%)=lnx(2)证明见解析

【解析】

(1)对函数求导，并设切点与(毛,为)，利用点既在曲线上、又在切线上，列出方程组，解得/=。=1，即可得答

案；

(2)当x充分小时饵幻<0,当x充分大时〃(x)>0,可得〃(x)至少有一个零点.再证明零点的唯一性，即对函数

求导得〃'(x)=/〃--!-+＜=-上，对m分加2—和两种情况讨论，即可得答案.

16144J1616

【详解】

(D根据题意，八x)=@,设直线y=x-l与曲线/(x)=alnx相切于点6(升,%).

根据题意，可得X。，解之得％=。=1,

6ZInx0=x0-1

所以/(x)=lnx.

(2)由(1)可知〃(x)=mx->/7+lnx+，(x〉0),

则当x充分小时飘x)＜。，当x充分大时肘》)＞0,•••当x)至少有一个零点.

\2

Vh\x)=-——\=+m=m---+

x24161石47

①若m2-1-,则〃'(x)20,入。)在(0,+8)上单调递增，.•.例＞)有唯一零点.

16

②若0</??<—4,hf(x)=

16

..11

Vxl.x2[x[<x2)9/.~j=>—,/.0<Xj<16.

・・・久工)在(0,再)上单调递增，在(国,々)上单调递减，在(々，+8)上单调递增♦

工极大值为力(%)=祖%-+In工］—1+In再+1，又

>0,

4%j

.../?(%)在(0,16)上单调递增,

/./?(%[)<九(16)=lnl6—3+/<lnl6—3+3—41n2=0,

；.h(x)有唯一零点.

综上可知，对于任意机＞0,〃(x)=nu-J7+/(%)+♦有且仅有一个零点.

【点睛】

本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论

思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意零点存在定理的运用.

18.(I)/'=2cos4+2sing,曲线C是以(1,1)为圆心，0为半径的圆；(H)[1,2].

【解析】

(I)由曲线C的参数方程能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程.

71

一+2sin1a+5

(II)令p、=|OA|=2cosa+2sina,p=|OB|=2cosa+，则^AOAB~~^P\Pi，利用诱导公

22

式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围;

【详解】

x=1+V2cos(p,,6

解:(I)由＜”(。为参数)化为普通方程为(％-1)2+(丁一1)2=2

y=l+，2sine

(/?cos6^-l)2+(psin6^-l)2=2,整理得尸=2cos4+2sin4

曲线。是以(1,1)为圆心，血为半径的圆.

(II)令月=|Q4|=2cosa+2sina

71

P)—\OB\—2cos+—+2sina+—=-2sina+2cosa

22

22

SAOAB=gqx72=2(cosa-sina)=2cos2a

兀兀71711_

*/—<a<—,/.—W2aW—，—<cos2aW1,1<2cos2a42，

66332

AABO面积的取值范围为[1,2]

【点睛】

本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等

基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

7

19.(1)3p2cos20+4p2sin20-12(―4<6<乃)；(2)—

【解析】

(1)由已知，曲线。的参数方程消去f后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；

J_3中+£|+45五,+£|,

、、…/八'J八乃)-13cos26,+4sin20.

⑵设由可得==--------

A(g,q),Bp2,d,+—\,(i)1------------1

\乙)P\1，济12-

相加即可得到证明.

【详解】

2

1-Z2'2t

(1)x2+y2=1,

i+切

.,.x2+y

m

X0=V22

m=2x02mnc、

由题可知：，=<=>---1---=1(772W—2),

〃43

3忑

C)：3p2cos2^+4p2sin20=\2、一冗<8<冗).

12

(2)因为夕2=-------------,

3cos2夕+4sirr0

设

Ag,ej,BL2A+^

22

则工=3cos3]+4sin0]

p\12

13cos2,+?+4sin2(a+1^

_3sin24+4cos24

~pl=12-12

11117

------1-----------1---=--

2

|0A『IOBI0；p212-

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.

20.(1)J=a+力15适宜(2).•.§=10+2015'(3)(i)回归方程可靠(过)防护措施有效

【解析】

(1)根据散点图即可判断出结果.

(2)设3=15,则』=a+6y，求出务，再由回归方程过样本中心点求出a，即可求出回归方程.

(3)(i)利用表中数据，计算出误差即可判断回归方程可靠；(ii)当f=15时，§=10150,与真实值作比较即可

判断有效.

【详解】

(1)根据散点图可知:

』=a+615适宜作为累计确诊人数y与时间变量/的回归方程类型；

£(例—&)(y—y)£例y—10fyy

(2)设3=15,贝(^=-

£(母-q£靖-1。方

1=11=1

154700-10x19x390

740-10xl92一，

》=]-幅=390-20x19=10，

.•甘=10+20.15;

(3)(i)7=11时，§=2010，|20%；975|<0],

当』2时，§=3。1。，1301°-27441<0.1，

,2744

当仁13时，上451。，14510-45151<0.1，

4515

所以(2)的回归方程可靠：

(ii)当，=15时，3=10150，

10150远大于7111,所以防护措施有效.

【点睛】

本题考查了函数模型的应用，在求非线性回归方程时，现将非线性的化为线性的，考查了误差的计算以及用函数模型

分析数据，属于基础题.

21.(1)&的极坐标方程为夕=sin。；曲线C,的直角坐标方程f=3y.(2)逑

3

【解析】

(1)消去参数，可得曲线G的直角坐标方程/+丁-〉=0,再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.

(2)解法1：设直线/的倾斜角为。，把直线/的参数方程代入曲线G的普通坐标方程，求得|。4|=%|，再把直线/的

]cos?a

参数方程代入曲线G的普通坐标方程，得即=%|，得出l°H+==sina+——，利用基本不等式，即可求解;

1111\OB\3sincr

解法2：设直线/的极坐标方程为8=。，分别代入曲线G，。2的极坐标方程，=sincr,|。用=当萼，得

111cos-a

]PQC-zy

出pA+F=sina+-,即可基本不等式，即可求解.

\0B\3sina：r7

【详解】

1

x=—cose

(1)由题曲线的参数方程为;1（。为参数），消去参数,