青岛版九年级数学上册 （弧长及扇形面积的计算）教学课件

弧长和扇形面积的计算

op圆的周长公式圆的面积公式C=2πrS=πr2解:∵圆心角900∴铁轨长度是圆周长的则铁轨长是如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?问题情景：上面求的是的圆心角900所对的弧长，若圆心角为n0，如何计算它所对的弧长呢？思考：请同学们计算半径为r，圆心角分别为1800、900、450、n0所对的弧长。1800900450n0圆心角占整个周角的所对弧长是结论：如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长的计算公式为：练一练：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。解：=cm答：此圆弧的长度为cm。注意（1）在应用弧长公式l，进行计算时，要注意公式中n的意义。n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念。度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧。

如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。半径半径OBA圆心角弧OBA扇形扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？1.圆心角是3600的扇形面积是多少？2.圆心角是1800的扇形面积是多少？3.圆心角是900的扇形面积是多少？4.圆心角是2700的扇形面积是多少？（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角的增大而增大。1个圆面积个圆面积个圆面积个圆面积圆心角是10的扇形面积是多少？圆心角是10的扇形面积是圆面积的

3601圆心角为n0的扇形面积是多少?圆心角是n0的扇形面积是圆面积的

360n

如果用字母S表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，r表示圆半径，那么扇形面积的计算公式是：S扇形＝S圆360n360n＝πr2S扇形360n＝πr2l弧＝πr180n在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°、半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能得出吗?=S扇形＝S圆360n360n＝πr2l弧＝C圆360n＝.πd360n＝πr180n

弧长与圆的周长有关，扇形的面积与圆的面积有关。因此，计算弧长是；而计算扇形的面积时是。C圆360nS圆360n1=-2rl小试牛刀：1、如果扇形的圆心角是2３0°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的_____；2、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_______。3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是______。答案：；240°典型例题例2如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部分的面积S．如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的3等分点．求弦AC、AD与围成的阴影部分的面积．拓展提升课堂总结

1．弧长、扇形面积公式；

2．不规则图形的面积的求法：用规则的图形的面积来表示；

3．数学思想转化的应用：①转化思想；②整体思想．1.如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)的面积之和是___________.●●●●2、如图水平放置的圆形油桶的截面半径为R，油面高为，则阴影部分的面积为

。（05重庆）3.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至结束所走过的路径长度为________.●BB2.4解直角三角形

1.了解解直角三角形的含义.2.经历解直角三角形的过程，掌握解直角三角形的方法.学习目标(2)两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°(3)边角之间的关系(1)三边之间的关系ABabcC在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.锐角三角比课时导入ABabcC什么是解直角三角形解直角三角形：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程，叫作解直角三角形．

一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素(其中必须有一个元素是边)，则这样的直角三角形可解.感悟新知知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？探究必须已知除直角外的两个元素（至少有一个是边）.已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边.已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角.在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？

类型1

已知两边解直角三角形应用勾股定理求斜边，应用角的正切值求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．已知两直角边：已知斜边和直角边：例1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解这个直角三角形．提问需求的未知元素：斜边AB、锐角A、锐角B.方法一：方法二：由勾股定理可得AB=.例2已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C

的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角

形的其他元素．(角度精确到1′)

求这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角

形”的含义相同．求角时，可以先求∠A，也可以先

求∠B，因为

＝sinB＝cosA.导引：由c＝5，b＝4，得sinB＝

＝0.8，∴∠B≈53°8′.∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.由勾股定理得解：已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a和一锐角A：①∠B=90

°-

∠A；②c=若已知斜边c和一个锐角A：①∠B=90°-

∠A；②a=c·sinA;③b=c·cosA.

类型2

已知一边及一锐角解直角三角形例4

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．提问需求的未知元素：直角边a、斜边c、锐角A.还有别的解法吗？总

结在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.例5在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分

别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形

的其他元素．(长度精确到0.01)

已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而

已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数．

∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，

∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.由sinA＝得a＝c·sinA＝100·sin26°44′≈44.98.由cosA＝

得b＝c·cosA＝100·cos26°44′≈89.31.解：导引：例6如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝sinB＝

求BC的长．要求的BC边不在直角

三角形中，已知条件中

有∠B的正弦值，作BC边上的高，

将∠B置于直角三角形中，利用解直角三角形就可

解决问题．导引：

类型3

已知一边及一锐角的三角比值解直角三角形如图，过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝1，sinB＝∴AD＝AB·sinB＝1×＝∴BD＝

CD＝∴BC＝解：总

结通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线，则∠B的正弦值就无法利用．1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=,b=,则c=

；（2）若a=10，c=，则∠B=

；（3）若b=35，∠A=45°，则a=

；（4）若c=20，∠A=60°，则a=

.45°35随堂练习2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B