【2021中考数学】圆周角定理含答案

2021中考数学圆周角定理

1.已知：的两条弦切相交于点也且

(1)如图1,连接相.求证：Aif^DM.

(2)如图2,若ABLCD,在弧加上取一点E,使弧应'=弧BC,AE交切于点F,连接

AD、DE.

①判断/£1与N加F是否相等，并说明理由.

②若况=7,4班,好'=17,求△4〃尸的面积.

2.如图，点4B,。在。。上，BE//AC,交。。于点£，点。为射线6c上一动点，平分

ABAD,连接

(1)求证：AD//CE-,

(2)连接口，若BC=3,则当"=时，四边形曲火是矩形.

3.如图，点反，为。。上一动点，过点6作比〃4C,交。。于点反点〃为射线比1上一动

点，且〃'平分N胡〃，连接支

(1)求证：AD//EC-,

1

(2)连接口，若BC=6,则当切=时，四边形胸是矩形.

4.如图，在。。中，弦力分L弦BC千•D,BC=6,49=7,NBAC=45°.

(1)求。。的半径;

(2)求比'的长.

5.如图，△49。的三个顶点都在。。上，力〃是△力比1的高，NBAD=NCAE.

(1)/£是。。的直径吗？说明理由.

(2)若47=15,四=20,4〃=12,求熊的长.

(3)在(2)的条件下，点户是46上的一个动点，请探究点尸到四边形/跖，两条对角

线的距离之和是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个距离之和的值.

备用图

6.如图，在。。中，/C与物是圆的直径，BEVAC,CFVBD,垂足分别为乐F

(1)四边形4时是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；

(2)求证：BE=CF.

2

7.如图，4C与切是。/的直径，AD=\,切=10,点G是4?上一动点，点&F、〃分别是

DC、DG、CG的中点.

(1)求证：四边形"1笫是平行四边形；

(2)填空：①当46=时，四边形的如是菱形；

②当4G=时，四边形招弟是矩形.

8.如图，是。。的一条弦，a〃是。。上的两个动点，且在4?弦的异侧，连接切.

(1)若AC=BC,AB¥■分NCBD,求证：AB=CD；

(2)若NADB=60°,。。的半径为1,求四边形｛物的面积最大值.

9.点4,8在。。上，N4?。的平分线交。。于点C.

(1)如图1,连接C0,证明：CO//AB；

(2)如图2,过点。作废工力。于反若熊=2,AS=6,求应的长.

3

图1图2

10.如图，协是。0的直径，"是的的中点，弦。，于点机过点〃作胆。交。的

延长线于点E.

(1)连接血，求/勿〃；

(2)点尸在史上，NCDF=45°,DF交AB于前N.若DE=氏,求知的长.

4

参考答案

1.(1)证明：如图1,

,:AB=CD,

•，.CD>

即踊+标=征+而I，

・・AC=BD

AZJ=ZA

:.AM=DM；

(2)①N?与//归相等.

理由如下：

连接如图，

•・•弧能=弧况；

：2CAB=/EAB,

ABLCD,

：.AC=AF,

:・4ACF=4AFC,

■:/ACF=/E,4AFC=4DFE,

:・/DFE=4E；

②•：4DFE=/E,

:.DF=DE=7,

♦：AM=DM,

：.AM=MF^1,

•；AMMF=17,

・••好斗7+,好、=17,解得物占5,

・・・4I/=12,

区秋=*X7X12=42.

5

2.(1)证明：・：AC平分/BAD

：.ZBAC=ZDAC

♦:NE=/BAC

：.N£=NDAC

,：BE//AC

:./E=NACE

：.ZACE=/DAC

：.AD//EC

(2)如图,

：.ZACB=W°,

•:/BA//ABC=9C,N。分N%=90°,ZBAC=ZCAD,

:./ABC=/D,

：.AB=AD,

■:ACLBD,

:・CD=BC=3,

故答案为3.

3.(1)证明：,:AC平分/BAD,

6

：./BAC=/DAC,

・：/E=4BAC,

:・/E=/DACM

YBE"AC,

:・/E=/ACE,

:"ACE=/DAC,

:・AD〃EC.

（2）解：当四边形力侬是矩形时，N〃S=90°,

：.ZACB=ZACD=90°,

■:/BAC=/DAC,

：.4ABD=N〃，

：.AB=AD,

：.BC=CD=&,

故答案为6.

4.解：连接防、OC,

•:4B0C=2/BAC,/倒C=45°,

：.2B0C=9G,

在RtZ\WC中，有

0百+O(^=BG,

且OC=OB,

・・・2比=6虑

■:BC=6

：・0C=3近.

即。的半径为3y.

7

(2)过点。作OMLAE^M,0N1BC于N,

可得A4f=ME,ON=—BC=?>,

2

■:AELBC,OMLAE,0N1BC,

ZADC=ZDNO=ZOMD=90°,

・•・四边形〃攸加是矩形，

:.MD=ON=3,

：.AM=AD-MD=7-3=4=ME,

:・DE=ME-MD=4-3=k

5.解：(1)力月是。。的直径.理由如下：

连结阳

・・・/〃是△力回的高，

：.ZBDA=90°,

:"ABIR/BAD=9G,

*：4ABC=4AEC,ABAD=ACAE,

：.ZAEaZEAC=90°,

：.ZACE=90°,

・,./£是。。的直径；

(2)VZ.ABD=ZAEC9ZBDA=ZACE=90°,

:.△ABMXAEC,

.ABAD0n2012

AEACAE15

."£=25；

(3)点尸到四边形4跳。两条对角线的距离之和不变化.

22=

在Rt/XABD中，加=VAB-ADV202-122=16，

22=

在RtZ\49C中，GVAC-ADV152-122=9'

8

：.BC=BD^CD=2^>,

为。。的直径，

，四边形ABEC为矩形,

.•.点尸为等腰三角形28底边上一点,

：.HhFM=AD=12.

6.(1)解：四边形465是矩形.理由如下：

•.3C与劭是圆的直径，

:.NABC=NADC=9Q°,ZBAD=ZBCD=W°,

...四边形4腼是矩形；

(2)证明：'：BO=CO,

又,：BELAC于E,CFLBD于F,

"BEg/CFggy.

在△及勿■和△口»中，

'NBEO/CFO

<ZBOE=ZCOF，

OB=OC

:NO恒XCOF<AAS).

：.BE=CF.

7.解：(1)：点反尸、〃分别是47、DG、CG的中点,

J.EF//CG,且如=［《7,GH=—GC,

22

：.EF//CG,EF=GH,

；•四边形所。/是平行四边形；

(2)①•••四边形加。/是菱形,

：.CH=EH,

9

又•.•点区F、〃分别是47、DG、CG的中点,

CH=—CG,EH=—DG,

22

:.DG=CG,

•.FC与初是。/的直径，

，ZW=ZCBG=ZADC=ZBCD=90°,

...四边形4腼是矩形，

:.AgBC=4,46=5=10

在Rt△%G和Rt△傲;中，

..fDG=CG

,lAD=BC)

；.Rt△物gRt△庞C(心,

：.AG=BG=—AB=5,

2

故答案为：5；

②；四边形於切是矩形

:.NDGC=9Q°,

:.NA融/BGC=9Q°,

*：NDAG=NCBG=90°,

:.NAD伊NAGD=90°,

NADG=ABGC,

：./\ADGs^BGC,

,AD_AG日口4AG

••，

BGBC10-AG4

解得：/G=2或8,

故答案为：2或8.

8.(1)证明：,:AC=BC,

••AC=BC>

■:AB平■分乙CBD,

：.AABC=AABD,

••AC=AD-

.■

•・AB=CD-

io

:・AB=CD；

(2)解：连接力、0B,作0H1AB千H,如图,

^OHLAB,

：.AH=BH,

•:/AOB=2NAM=2X60°=120°,

而OA=OB,

：.ZOAS=ZOBA=30°,

AOH=—OB=—,AH=yROH=2Zl,

222

：.AB=2AH=5/3,

・・•四边形力物的面积=S△句S△的,

・•・当〃点到力8的距离最大时，显血的值最大；C点到16的距离最大，县.的值最大,

此时四边形/物的面积最大，此时切为。。的直径时，四边形力曲的面积最大,

・•・四边形然他的面积最大值为/73X2=

•：OC=OB,

:・/C=/OBC,

,:BC斗分/OBA,则/阪=/烟,

:./C=/ABC,

：.OC//AB.

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(2)延长加交。。于点〃作6F_L①于凡C6LL为延长线于G,连CD,CA,0C.

°：CB平•分/ABD,CFLBD,CG1BG,

:・CF=CG,

VOA=OB,

：./OAB=NOBA,

OCHAB、

：.ZCOA=ZOABfZDOC=ZOBA,

:.』DOC=/COA,

♦:CF'OD,CE工OA,

:・CF=CE=CG,

・・・0平分Nfl4G,

贝UR3O62Rt△。/（/〃）,Rt△CEO^XXCFOqHD,RSCGB^RSCFBQHL）,Rt

△CEfi^SCFD（HL）,

:・BG=BF=8,AE=DF=2,

:・BD=BFyDF=M

：.0C=5f0F=3,

CE=CF=Voc2-OF2=452-32=4,

在Rt△板中