2023北京西城初三（上）期末数学试卷含答案

2023北京西城初三（上）期末

数学

满分100分，考试时间120分钟.

第一部分选择题

一、选择题（共16分，每题2分）

1.二次函数y=（x-2）2+3的最小值是（）

A.3B.2C.-2D.-3

2.中国传统扇文化有着深厚的文化底蕴，是中华民族文化的一个组成部分，在中国传统社会中，扇面形状

的设计与日常生活中的图案息息相关，下列扇面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

（）

3.下列事件中是随机事件的是（）

A.明天太阳从东方升起

B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯

C.平面内不共线的三点确定一个圆

D.任意画一个三角形，其内角和是540°

4.如图，在O。中，弦AB，CD相交于点P,乙4=45°,ZAPD=SO°,则的大小是（）

A.35°B.45°C.60°D.70°

5.抛物线＞=-2/+1通过变换可以得到抛物线y=-2（x+lp+3,以下变换过程正确的是（）

A.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

D.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

6.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请

x个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（）

A.2x=15B.X（X+1）=15C.x（x-l）=15D.~^=15

7.如图，在等腰4WC中，NA=120°,将绕点C逆时针旋转a（0°<a<90°）得到ACDE,当

点A的对应点。落在BC上时，连接3E,则的度数是（）

()

7788

A.—<攵<2B.—<攵<2C.2<Z<—D.2Vz<—

6633

第二部分非选择题

二、填空题（共16分，每题2分）

9.一元二次方程16=0的解是.

10.已知。。的半径为5,点P到圆心。的距离为8,则点尸在。O（填“内”“上”或“外”）.

11.若关于x一元二次方程d+3x+c=0有两个相等的实数根，则。的值为.

12.圆心角是60。的扇形的半径为6,则这个扇形的面积是.

13.点M（3,〃z）是抛物线y=Y-%上一点，则加的值是，点M关于原点对称的点的坐标是

14.已知二次函数满足条件：①图像象过原点；②当x>l时，）'随x的增大而增大，请你写出一个满足上

述条件的二次函数的解析式：.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（夜,0）为圆心，1为半径画圆，将©4绕点。逆时针旋转

。（0。＜&＜180。）得到。A,使得OA与＞轴相切，则a的度数是

16.如图，是。。的直径，C为。。上一点，且A3L0C,2为圆上一动点，M为”的中点，连

接CM，若。0的半径为2,则CM长的最大值是

三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26

题，每题6分，第27-28题，每题7分）

17.解方程：X2-4X+2=0

18.已知：点A,13,。在。。上，且N84C=45°.

求作：直线/，使其过点C,并与相切.

作法：①连接OC；

②分别以点8,点C为圆心，。。长为半径作弧，两弧交于外一点。；

③作直线co.

直线co就是所求作直线/.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面证明.

证明：连接08,BD，

OB=OC=BD=CD，

...四边形OBOC菱形，

•.•点A,B,C在。0上，且4847=45°,

；.NB0C=0（）（填推理的依据）.

四边形OBDC是正方形，

AZOCD=9（）0,即0CLCD,

V。。为半径，

...直线8为。0的切线（）（填推理的依据）.

19.已知二次函数y=x?-2x-3.

（1）将丁=尤2-2%-3化成旷=。（万一〃）2+左的形式，并写出它的顶点坐标；

（2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；

（3）当-l<x<2时，结合图象，直接写出函数值V的取值范围.

20.如图，AB是O0的一条弦，点C是A3的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点。，连接。8,

DB，若AB=4,8=1,求△80。的面积.

21.在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有

白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出

1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸

球试验，下图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果.

红球频数八

0.758

0.756

0.754

0.752

0.750

0.748

0.746

0.744

2__!——!——：——!——__!——!——!——!------>

010002000300040005000600070008000900010000摸球次数/次

（1）根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是

,其中红球的个数是;

(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是

白球的概率.

22.如图，在四边形ABC。中，AC,是对角线，将点B绕点C逆时针旋转60。得到点E，连接

AE，BE,CE.

(1)求NC8E的度数；

(2)若AACD是等边三角形，且NA5C=3()°,AB=3,BD=5,求BE的长.

23.已知关于x的方程x--2mx+m'—9=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设此方程的两个根分别为为，々，且玉＞/，若2芯=々+5,求机的值.

24.如图，在。中，AB^AC,NB4C=90°,点。是AC上一点，以。为圆心，Q4长为半径作

圆，使。。与8c相切于点。，与AC相交于点E.过点8作8E〃AC,交。的延长线于点尸.

(1)若AB=4,求。。的半径；

(2)连接30,求证：四边形5EEO是平行四边形.

25.跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在

着陆坡5C上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里04表示起跳点A到地面

。8的距离，0C表示着陆坡的高度，。8表示着陆坡底端5到点。的水平距离，建立如图所示的平面

直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满

足函数关系：y^--x2+bx+c,已知。4=70m,OC=60m,落点P的水平距离是40m,竖直高度

是30m.

(1)点A的坐标是，点尸的坐标是;

1

(2)求满足的函数关系y=--V9+bx+c；

16

(3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距

离.

26.在平面直角坐标系中，抛物线>=改2+版+4。。0)的对称轴为直线％=「，且

3Q+2Z?+C=0.

(1)当c=0时，求f的值；

(2)点(―2,y),(1,%)，(3,%)在抛物线上，若a>c>(),判断当与力的大小关系，并说明理

由.

27.如图，在AABC中，AC=BC，ZACB=90°,ZAPB=45°,连接CP,将线段CP绕点。顺时针旋

转90。得到线段CQ,连接AQ.

(1)依题意，补全图形，并证明：AQ=BP.

(2)求NQAP度数；

(3)若N为线段AB的中点，连接NP,请用等式表示线段NP与CP之间的数量关系，并证明.

28.给定图形W和点尸，Q,若图形W上存在两个不重合的点M,N,使得点P关于点M的对称点与

点。关于点N的对称点重合，则称点P与点。关于图形W双对合.在平面直角坐标系X。)，中，已知点

4(-1,-2),5(5,-2),C(-l,4).

(1)在点。(~4,0),£(2,2),E(6,0)中，与点。关于线段AB双对合的点是；

(2)点K是x轴上一动点，0K的直径为1.

①若点A与点T(o,r)关于OK双对合，求t的取值范围；

②当点K运动时，若&48c上存在一点与0K上任意一点关于G)K双对合，直接写出点K横坐标Z的

取值范围.

参考答案

第一部分选择题

一、选择题(共16分，每题2分)

1.【答案】A

【解析】

【分析】根据二次函数的性质解答即可.

【详解】二次函数丫=(x-2)2+3,

当x=2时，最小值是3,

故选A.

【点睛】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果

旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐

一判断即可.

【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对

称图形的定义.

3.【答案】B

【解析】

【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解.

【详解】解：A.明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；

B.经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；

C.平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；

D.任意画一个三角形，其内角和是540。，是不可能事件，故本选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件

下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在

一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键.

4.【答案】A

【解析】

【分析】根据三角形的外角的性质可得NC+NA=NAPD，求得/C,再根据同弧所对的圆周角相等，即

可得到答案.

【详解】解：•.•NC+ZA=ZAP£）,ZA=45°,ZA叨=80°,

ZC=ZAPD-ZA=80°-45°=35°，

，N3=NC=35。，

故选：A.

【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】

【分析】由平移前后的解析式，结合平移法则即可得解；

【详解】解：抛物线y=-2/+l通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线

y=-2（x+l『+3,

故选择：D

【点睛】本题考查抛物线的平移.熟练掌握二次函数平移规律是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】

【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），X个球队比赛总场数=；x（x-l）,由此可得出方

程.

【详解】解：设邀请X个队，每个队都要赛（X-1）场，但两队之间只有一场比赛,

,g一0X（X-1）

由题意得一:一=15.

故选：D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球

队之间的关系.

7.【答案】B

【解析】

【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得NABC=NACB=30°,根据旋转的性质，得

BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30°,再由等腰三角形和三角形内角和定理得

NCBE=NCEB=1(180°-30°)=75°,即可求得ABED=NBEC-NCED.

【详解】解：=AB=AC,ZA=120°,

.-.ZABC=ZACB=30°,

由旋转得，BC=CE,ZDCE=ZDEC=ZABC=ZACB=30。,

：.NCBE=NCEB=1(180°-30°)=75°,

ABED=NBEC-NCED=75°-30°=45°,

故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关

键.

8.【答案】C

【解析】

【分析】根据表中数据得出对称轴4-1,进而得到抛物线与x轴的交点，利用交点式得到

24S

y=a(x+3)(x-l),从而得到二次函数表达式为y=——§x+2,根据当时，直线

Q

丁=女与该二次函数图像有两个公共点，可得2<%<§.

一5+3

【详解】解：由(一5,机)、(3,m)可得抛物线对称轴x=—=

又由仁,())、(1,0)以及对称轴x=_1可得玉=-3,

二.(—3,0)、(1,0),则设抛物线交点式为y=。(工+3乂X-1),

y=62(x+3)(x-l)=n(x2+2x-3^=ax2+2ax-3a与y=ax2+&+2(4。0)对比可得一3〃=2,

解得Q=---，

3

2.4

二二次函数表达式为y=一§%2一§x+2,

:当芯=一|时，y=H河ElTX

当x=0时，y=2；

9Q

当％=-1时，y=--(-i+3)(-i-i)=-,

7Q5

•.•一<2〈一，当一己<x<0时，直线y=A与该二次函数图像有两个公共点，

632

：.2<k<-,

3

故选：C

【点睛】本题考查二次函数图像与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键.

第二部分非选择题

二、填空题(共16分，每题2分)

9.【答案】xi--4,X2—4

【解析】

【分析】直接运用直接开平方法进行求解即可.

【详解】解：方程变形得：/=16,

开方得:x=±4,

解得：xi=-4,X2=4.

故答案为：x\--4,%2—4

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是解答本题的关键.

10.【答案】外

【解析】

【分析】点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为，点尸到圆心的距离OP=d,则有一：①点尸在圆外

od>r；②点尸在圆上0d=r；③点P在圆内=4<r,由此即可判断；

【详解】解：：r=5,d=8,

:.d>r,

•••点P在。0外，

故答案为：外.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系，记住：①点P在圆外Od>r；②点P在圆上="=尸；③点P在

圆内=d<r是解题的关键.

9

11.【答案】-

4

【解析】

【分析】根据判别式△=()求解即可.

【详解】解：：一元二次方程d+3x+c=0有两个相等的实数根，

•*-A=32—4c=0>

解得c=；9

4

__9

故答案为：一.

4

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根的判别式△=b2-4ac：当△>(),方程有两个不相

等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

12.【答案】6兀

【解析】

2

【分析】根据扇形的面积公式5=竺二计算，即可得出结果.

360

【详解】解：该扇形的面积S=60"x6=67r.

360

故答案为67t.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.

13.【答案】①.6®.（-3,-6）

【解析】

【分析】将“（3,相）代入二次函数解析式，得出M（3,6）,根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分

别互为相反数，即可求解.

【详解】解：•••点M（3,加）是抛物线y=V-%上一点，

••加=32—3=6,

.•.”（3,6）,

.♦•点M关于原点对称的点的坐标是（-3,-6）,

故答案为：6,（-3,-6）.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征，求得点M（3,6）是解题的关键.

14.【答案】丁=/一2x（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据二次函数的图像与性质可以得出各系数的取值范围，举一例即可.

【详解】解：图像过原点，

二可以设解析式为：y=«x（x-xj,

・.・当x>i时，了随x的增大而增大，

■-a>Q,开口向上，且对称轴x=£wi,

即玉42,

二可以设二次函数为

y=ax（x-xj,满足°>0,西42均可.

故答案不唯一，如：y=X2-2x.

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与各系数间的关系是解题的关键.

15.【答案】45°或135°

【解析】

【分析】分析可知：A在以。为圆心，、历为半径的圆上运动，分情况讨论，当A转到A'时，

。4'=&，作轴与点B,利用勾股定理可知03=1,进一步可求出旋转角度为45。；当A转到

A"时，0尺=叵，作轴与点C,利用勾股定理可知0。=1,进一步可求出旋转角度为135°.

【详解】解：：A（、/Io）,将OA绕点。逆时针旋转a（0°<a<180。）得到。4

...A在以。为圆心，、历为半径的圆上运动，

当A转到A，时，。4'=正，作A3_Ly轴于点8,

由勾股定理可得：y/A'O2-A'B2=7^22-12=1,

OB=

二△的'为等腰直角三角形，

二NBOA=45°,乙4。4'=45°,即旋转角度为45°；

当A转到A"时，。4"=夜，作ACJ_x轴于点C,

由勾股定理可得：oc=dA"。？一A"C?=7V22-12=b

...△OCA"为等腰直角三角形，

二NCQ4"=45°,/4。4"=180°-45°=135°,即旋转角度为135。；

故答案为：45°,135°

【点睛】本题考查圆与切线，旋转，等腰直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，旋转,

理解A在以。为圆心，V2为半径的圆上运动.

16.【答案】V5+l##l+V5

【解析】

【分析】连接。河，PB，取A。中点。，连接C。、DM、PB,A3是。。的直径，可推出

ZA尸8=90°和“U/O〜AAPB,由此可知NAP3=NAMO=90°,则M在以AO为直径的圆上，当

CM与。点重合时，CM最大，根据AB_LOC求出CO长代入即可.

【详解】解：连接,PB，

C

VAB是。。的直径，

...ZAPB=90°,

为"的中点，。为A3的中点，

^AMO〜&APB,

二ZAPB-ZAMO=90°,

取A。中点。，连接CD、DM,

...M在以A。为直径的圆上，

♦.•三角形两边之和大于第三边，且。0的半径为2,

/•DM=1，

...当CM与。点重合时，CM最大，

：.CM=CD+DM,

,：AB1OC,

CD=大2。+『=小>

/.CM=y/5+1>

故答案为石+1.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90。及三角形的中位线的性质，熟练掌握数形结合思想是解题关

键.

三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-23题5分，第24-26

题，每题6分，第27-28题，每题7分）

17.【答案】%,=2+72,x2=2-72；

【解析】

【分析】选用配方法可解此方程.

【详解】解：x2-4x+2=0

x2-4x+4-2=0

（x-2）2=2

x-2=y/2或x-2=-y/2

解得：Xj=2+^2,x2=2—V2

故答案为％=2+0，%=2-夜.

【点睛】本题考查了选用适当的方法解一元二次方程.

18.【答案】（1）见解析；

（2）90。；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是

圆的切线

【解析】

【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；

（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空.

【小问1详解】

解：补全图形，如图所示；

【小问2详解】

90。；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的

切线.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

19.【答案】（1）y=（x—l）2—4,（1,-4）

（2）见解析（3）-4<y<0

【解析】

【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可：

（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图像即可；

（3）根据函数图像确定当-1<x<2时对应的y的取值范围即可.

【小问1详解】

y=x2-2x-3

——2x+1—1-3

=(X-1)2-4.

【小问2详解】

列表如下:

【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次

函数的图象成为解答本题的关键.

20.【答案】1

2

【解析】

【分析】设。。的半径为x，由垂径定理得出BC,用含x的式子表示。。，再根据勾股定理列方程解得半

径的长，即可求解.

【详解】解：设=则。B=x.

・・・点。是AB的中点，。。过圆心

.-.0C1AB.

8=1,

/.==OC=OD—CD=x—l.

2

在RtABCO中，OB1=OC2+BC2，

x2=(x-l)2+22.

解得，X=—

2

:.S△BRUOD=-2ODBC=~2.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理判断出0C是A3的垂直平分线是解题的关键.

21.【答案】（1）0.75,3

⑵T

【解析】

【分析】（1）根据图表中的频率分布可估计概率，再利用总数乘以概率可得红球个数；

（2）列出表格，利用概率公式计算.

【小问1详解】

解：由图表可知：摸出红球的频率分布在0.75上下，

则可估计随机摸出一个球是红球的概率是0.75,

红球的个数是：4x0.75=3,

故答案为：0.75,3；

小问2详解】

由（1）可知帆布袋中有3个红球和1个白球.

列表如下：

白红1红2红3

白白，红1白，红2白，红3

红1红1,红2红1,红3

红2红2,红3

红31~

可以看出，从||况布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有6利即

（白，红1）,（白，红2）,（白，红3）,（红1,红2）,（红1,红3）,（红2,红3）,且这些结果出现的可

能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有3种结果，即（白，红

1）,（白，红2）,（白，红3）,

31

所以P（A）=-=—.

62

【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出〃，再从中选

出符合事件A或8的结果数目然后根据概率公式求出事件A或8的概率.也考查了利用频率估计概

率.

22.【答案】（1）60°

(2)4

【解析】

【分析】(1)根据旋转的性质得到C3=CE,NBCE=60。，进而证明ABCE为等边三角形，即可得到答

案；

(2)首先证明△ACEMAOCB,之后在RSABE中根据勾股定理得到BE的长.

【小问1详解】

解：••・将点8绕点C逆时针旋转6()。得到点E，

：.CB=CE,/BCE=6()。，

.•.△BCE是等边三角形，

:.ZCBE=O)°.

【小问2详解】

解：是等边三角形，

:.AC^DC,ZACD=60。,

:.ZACE=NDCB,

又・；CB=CE,

：*AACE=ADCB,

AE=BD，

•;BD=5,

:.AE-5.

•.•NCBE=60°,ZABC=30°,

：.ZABE=90°,

二在RSABE中，BE=yjAE2-AB2-

\-AB=3,

:.BE=4.

【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握

相关定理是解题的关键.

23.【答案】(1)见解析；

(2)-4.

【解析】

【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△>0,由此可证出此方程有两个不相等的实数根；

(2)解方程，再由%>々，2西=々+5,即可得到关于的一元一次方程，解之即可得出结论.

【小问1详解】

证明：A=(-2/M)--4xlx^；n2-9)

=4M-4m2+36

=36>0.

...方程有两个不相等的实数根.

【小问2详解】

解:解方程，得行整L亨,

・.・x}>x2f

「・M="2+3,x2=m-3.

•/2%]=九2+5,

/.2(m+3)=771-3+5.

/.m=-4.

【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表

达式，并会熟练计算.

24.【答案】(1)472-4；

(2)见解析.

【解析】

【分析】(1)连接QD,由。。与相切于点4与相切于点。，得到NQOC=90°,OD=DC,

由切线长定理得：BD=AB=4,由勾股定理求出8c=40，即可得到。。的半径.

(2)连接AO,交0B于点H,由AE是。。的直径，得到NADE=90°.根据AB与。。分别相切

于点A,D,证得NA/7O=9()0.得到。8〃£尸.即可证得四边形BFEO是平行四边形.

【小问1详解】

解：连接0。，如图.

F

•.•在中，AB^AC,ZR4C=90。，

二。。与AB相切于点A,ZACB=45°.

♦.•0。是。。的半径，。。与5c相切于点。，

OD±BC.

：.ZODC=9Q°,OD=DC.

,:AB=4，

二由切线长定理得：BD=AB=4,由勾股定理得：8c=40.

,OD=DC=4y/2-4-

，。。的半径是4血—4.

【小问2详解】

证明：连接AO,交0B于点H,如图.

二ZAT>E=90°.

,/AB,与。。分别相切于点A,D,

：.BD=AB,ZABO=ZDBO.

：.OB±AD.

二ZAHO^90°.

ZAHO=ZADE.

：.OB//EF.

BF//AC，

/.四边形5EEO是平行四边形.

【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定定

理，熟记各定理是解题的关键.

25.【答案】⑴A（0,70）,P（40,30）；

13

（2）y=----x2+—x+70；

162

（3）18m

【解析】

【分析】⑴04=70m,落点尸的水平距离是40m,竖直高度是30m,即可得到点A、P的坐标；

（2）用待定系数法求解即可；

（3）由OC=60m,先求出直线的表达式，作轴交抛物线和直线8c于点〃、N,用含未

知数"?的式子表示MN,再根据二次函数的性质进行判断即可.

小问1详解】

解：•.•Q4=7（）m,落点P的水平距离是40m,竖直高度是30m,

.-.4（0,70）,P（40,30）；

【小问2详解】

解：把A（0,70）,「（40,30）代入）=--5-%2+笈+£;

70=c

、’30=——x402+40b+c'

16

3

h——

解得，\2,

c=70

/.y=--—x2+—x+70；

162

【小问3详解】

解：OC=60m,

设直线BC的表达式为y=-+60（&n0）,

把P（40,30）代入，得30=4（M+60，

3

解得，k=——,

4

3。

.,y-——x+60,

设M（加,—：加2+1机+70）到BC竖直方向上的距离最大,

作MN〃y轴交抛物线和直线BC于点

M、N,

OBX

N（加，一（加+60）,

MN=---m2+—m+70-f——m+60|

162I4）

1,9

=-----m+—m+10

164

=-^（/n2-36w+182-182）+10

（m-18）2+—+10

16v）4

I

<0,

.•・当利=18时，MN最大,即水平距离为18m时，运动员与着陆坡3C竖直方向上的距离达到最大.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点

是解题的关键.

3

26【答案】⑴z

（2）3VM

【解析】

b

【分析】（1）由3。+沙+c=（）,c=0,可得3。+沙=0,根据对称轴为直线x=——即可求解；

2a

（2）根据3a+2b+c=0,求得对称轴x=「=的范围，再将点（-2,y）根据对称性转化到对称轴右侧,

再根据a>c>0得抛物线开口向上，丫随x的增大而增大，即可得出答案.

【小问1详解】

当c=0时，得3。+2力=0,

2a2a4

【小问2详解】

•「3a+2Z?+c=(),

.3Q+C

/.b=-------,

2

3。+。

b73a+cc3

...t-----=-----———------=-----

2a2a4。4a4

a>c>0,

:点(-2,y,)关于直线x=t的对称点的坐标是(2/+2,%),

—<2f+2<4.

2

/.l<3<2r+2.

,.-a>0,

，当时，y随x的增大而增大.

必〈必<M•

【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函

数的基本性质是解决函数问题的关键.

27.【答案】(1)画图和证明见解析；

(2)135°(3)CP=6NP，证明见解析.

【解析】

【分析】(1)先根据题意画出对应的图形，只需要利用SAS证明ABC%AACQ即可证明AQ=BP；

(2)连接QP,如图所示.先由等腰直角三角形的性质得到/。。q=/。尸。=45。.再证明

乙4尸。=ZCPB.由全等三角形的性质得到ZCQA=NCPB.则可以推出ZAPQ+ZPQA=45°,利用

三角形内角和定理即可得到NQ4P=180°-NAPQ-/PQA=135°；

(3)如图所示，延长PN至K,使得NK=PN,连接AK.证明^ANK^BNP.得到

NKAN=NPBN,AK=BP，则进一步证明NK4P=135°.得到NK4P=NQAP.由

此证明AK4尸也AQAP,得到KP=QP.在等腰直角△PCQ中，CP=CQ,则KP=QP=&CP,

即可证明CP=

【小问i详解】

补全图形，如图所示.

证明：：线段CP绕点C顺时针旋转90。得到线段CQ,

CP=CQ,/PCQ=90。

ZACB=90°,

：.NBCP=ZACQ,

'：AC=BC，

：.△BCP^AACQ(SAS