隐函数组隐函数组的存在性连续性与可微性是函数方市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

§2隐函数组

隐函数组存在性、连续性与可微性,是函数方程组求解问题理论基础.利用隐函数组思想,又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题.

一、隐函数组概念二、隐函数组定理三、反函数组与坐标变换第1页一、隐函数组概念设有一组方程使得对于任给足方程组(1),则称由(1)确定了隐函数组有惟一与之对应,且使满其中函数定义在区域若存在区域第2页并有关于隐函数组普通情形(含有m+n个变量m个方程所确定n个隐函数)，将在第二十三章采取向量函数形式作深入讨论．第3页首先来看看,若由方程组(1)能确定两个可微隐函数,则函数应满足何种条件呢?

不妨先设都可微,由复合求导法,经过对(1)分别求关于x与y偏导数,得到第4页能由(2)与(3)惟一解出充要条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即由此可见，只要含有连续一阶偏导数，且其中是满足(1)某一初始点,则由保号性定理，使得在此邻域内(4)式成立．依据以上分析,便有下述隐函数组定理.第5页雅可比（

Jacobi,C.G.J.

1804-1851,德国）第6页定理18.4(隐函数组定理)设方程组(1)中函数F与G满足以下条件：(i)在以点为内点某区域上连续；(ii)(初始条件);

(iii)在V内存在连续一阶偏导数；(iv)二、隐函数组定理

第7页即有则有以下结论成立：且满足必定存在邻域其中使得第8页在上连续.在上存在一阶连续偏导数,且有本定理详细证实从略(第二十三章有普通隐函数定理及其证实),下面只作一粗略解释:第9页①由方程组(1)第一式确定隐函数②将代入方程组(1)第二式,得③再由此方程确定隐函数并代回至这么就得到了一组隐函数第10页经过详细计算,又可得出以下一些结果:第11页例1设有方程组试讨论在点近旁能确定怎样隐函数组？并计算各隐函数在点处导数.解易知点满足方程组(5).设第12页它们在上有连续各阶偏导数.再考查在点关于全部变量雅可比矩阵因为第13页所以由隐函数组定理可知,在点近旁能够惟一地确定隐函数组:但不能必定y,z可否作为x两个隐函数.第14页利用定理18.4结论,可求得隐函数在点处导数值:第15页*注经过详细计算,还能求得这说明处取极大值,从而知道在点任意小邻域内,对每一个x值,会有多个y值与之对应.类似地,对每一个x值,也会有多个z值与之对应.所以方程组(5)在点近旁不能惟一确定以x作为自变量隐函数组.第16页例2设函数含有连续偏导数,是由方程组所确定隐函数组.试求

解设则有第17页由此计算所需之雅可比行列式:于是求得第18页注计算隐函数组偏导数(或导数)比较繁琐,要学懂前两例所演示方法(利用雅可比矩阵和雅可比行列式),掌握其中规律.这里尤其需要“精心＋细心＋耐心”.第19页三、反函数组与坐标变换设有一函数组它确定了一个映射(或变换):写成点函数形式,即为并记象集为现在问题是:函数组(6)满足何种条件时,存在逆变换即存在第20页亦即存在一个函数组使得满足这么函数组(7)称为函数组(6)反函数组.它存在性问题可化为隐函数组对应问题来处理.第21页为此,首先把方程组(6)改写为然后将定理18.4应用于(8),即得下述定理.定理18.5(反函数组定理)

设(6)中函数在某区域上含有连续一阶偏导数,是内点,且第22页则在点某邻域内,存在惟一另外,反函数组(7)在内存在连续一阶一组反函数(7),使得偏导数;若记第23页则有同理又有第24页由(9)式深入看到:

此式表示:互为反函数组(6)与(7),它们雅可比行列式互为倒数.这和以前熟知反函数求导公式相类似,亦即一元函数导数和函数组(6)雅可比行列式互为对应物.第25页例3平面上点直角坐标与极坐标之间坐标变换为试讨论它逆变换.解因为所以除原点(r=0)外,在其余一切点处,T存在逆变换第26页第27页例4空间直角坐标与球坐标之间坐标变换为(见右图)因为第28页所以在(即除去Oz轴上一切点)时,存在逆变换例5设有一微分方程(弦振动方程):其中含有二阶连续偏导数.试问此方程在坐标变换之下,将变成何种形式?第29页解据题意,是要把方程(10)变换成以u,v作为自变量形式.现在按此目标计算以下:首先有故T逆变换存在,而且又有依据一阶微分形式不变性,得到并由此推知