随机环境马氏链的状态性质

随机环境马氏链的状态性质

1随机环境模型x是一个无限的集合或有限集合，a是x的所有子集，因此有一个可数的空间（（x，a），然后创建（，b0），使z={0，1，…}为全局集，n=z={0，1，2，…}为非负总数集合，=z。Θn:Ω→Θ为坐标函数(n∈Z).B≙σ(Θn,k-1<n<l+1)(-∞≤k≤l≤∞),B=B.令T:Ω→Ω为推移算子,即对任何.令π为可测空间上任一概率测度,且满足π。T-1=π.于是{Θn,n∈Z}是概率空间(Ω,B,π)上的取值于Θ的严平稳序列.Cogburn等分别在文献中定义了随机环境的马氏链及Hopf马氏链,并和其他学者对随机环境马氏链作了讨论.参见文献,本文所有的符号和定义参见,下面定义本文中用到的几个常见的特征数:L((x‚→θ)；F)=Ρ(x‚→θ){∞∪n=1(Xn‚Τn→ξ)∈F}Q((x‚→θ)；F)=Ρ(x‚→θ){∞∪n=1∞∪n=k(Xn‚Τn→ξ)∈F}G((x‚→θ)；F)=∞∑n=1∑y∈XΡn(→θ；x‚y)1(F)y(Τn→ξ)F(n)((x‚→θ)；F)=Ρ(x‚→θ)(τF=n)其中,τF表示首次到达集合F的时刻.U((x‚→θ)；F)=∞∑n=0Ρn((x‚→θ)；F)2随机环境条件下的马氏链一般而言,从经典的时齐马氏链到随机环境的马氏链,其性质发生了相当大的改变,如:→X并不具有马氏性等.定义1称F∈ε是本质的,若:;F)>0)>0,称状态x是本质的,若[E]x是本质的,记[E]x={x}×Θ,称x是强常返的,若:;[E]x)=1)=1,称x是弱常返的,若:;[E]x)=∞)=1.在是一个经典的时齐可数的马氏链,是没有本文所谓的本质、强常返、弱常返的区别的,对经典的时齐可数的马氏链有,状态x是本质的⇔状态x是强常返⇔状态x是弱常返.但对于随机环境的马氏链而言,却没有这种等价性,实际上有定理1对随机环境的马氏链,有状态x是弱常返,不一定有状态x是强常返.证明:取X={a‚b}‚Θ={0‚1}‚p(0)=(0110)‚p(1)=(12121212),取π=ηZ,其中,使得π是(→Θ‚→B)上的概率测度,满足π。T-1=π,则a是弱常返,有a不是强常返,实际上有记:τ0(→θ)<∞},则πB=∞∑n=0π(τ0(→θ)=n)=∞∑n=012n+1=1又有p(1)p(0)=p(1)p(1)=p(0)p(1)=(12121212)所以对→θ∈B且当τ0(→θ)=0时,p(n)(→θ)=(12121212)而当τ0(→θ)>0‚n>τ0(→θ)+1时,p(n)(→θ)=p(0)⋯p(0)p(1)p(θτ0(→θ)+1)⋯p(θn-1)=(12121212)故G((a‚→θ)；[E]a)=∞∑n=1p(n)(→θ∶a‚a)>∞∑n=τ0(→θ)+112=∞故状态a是弱常返.再令:τ0(→θ)>0},则πB1=∞∑n=1π(τ0(→θ)=n)=∞∑n=112n+1=12对→θ∈B1,当n<τ0(→θ)+1时有Ρ(a‚→θ)(Xk=b‚1≤k<n.Xn=a)=p(1；a‚b)p(1；b‚b)⋯p(1；b‚b)p(1；b‚a)=12n类似可计算当n=τ0(→θ)+1时有,Ρ(a‚θ→)(Xk=b‚1≤k<n.Xn=a)=12n-1当n>τ0(θ→)+1时有,Ρ(a‚θ→)(Xk=b‚1≤k<n.Xn=a)=0所以,L(a‚θ→；[E]a)=∑n=0∞Ρ(a‚θ→)(Xk=b‚1≤k<n.Xn=a)>∑n=1τ0(θ→)12n<1L((a‚θ→)；[E]a)≥Q((a‚θ→)；[E]a)故Q(a‚θ→;[E]a)<1,即状态a不是强常返,得证.从本定理可知,即使X,Θ为有限集,有状态x是弱常返不一定有状态x是强常返.3状态x可达状态[x下面讨论X为有限集时,随机环境的马氏链的一些性质.定理2当X为有限集,一定存在状态x是本质的且是弱常返.证明假设任意状态x是非本质的,则:;[E]x)>0)=0,由概率的可列可加性得∏((y‚θ→)∶Q(y‚θ→；E))=∑x∈X∏((y‚θ→)∶[E]x)故∏((y‚θ→)∶Q(y‚θ→；E)>0)=0又由Q((x‚θ→);F)的定义,得Q((x‚θ→)；F)=Ρ(x‚θ→){∩n=1∞∪n=k∞(Xn‚Τnξ→)∈F}=1-Ρ(x‚θ→){∩n=1∞∪n=k∞(Xn‚Τnξ→)F}=1-Ρ(x‚θ→){∪n=k∞(Xm‚Τmξ→)F‚∀m>n‚(Xn‚Τnξ→)∈F}-Ρ(x‚θ→)(∩n=1∞(Xn‚Τnξ→)F)=1-∑n=1∞{Ρ(x‚θ→)(ΙF(Xn‚Τnξ→)∈F)⋅∑n=1∞∑y∈Xpn(θ→;x‚y)Ι(F)y(Τnθ→)(1-L(y‚Τnθ→;F)).当F=E时,∀n,(Xn,Tnξ)∈E,故∪n=1∞{(Xn‚Τnξ)∈E},即L((x‚θ→);E)=1‚L((y‚Τnθ→);E)=1,故Q((x‚θ→);E)=1‚∏((y‚θ→):Q((y‚θ→);E)=1)=1与∏((y‚θ→):Q((y‚θ→);E)>0)=0矛盾,即一定存在状态x是本质.下面证明存在x是弱常返,由G((x‚θ→)；F)=∑n=1∞∑y∈XΡn(θ→；x‚y)1(F)y(Τnξ→)则G((x‚θ→)；E)=∑n=1∞∑y∈XΡn(θ→；x‚y)=∞又;E)=∑y∈XG((x‚θ→);[E]y),故存在y,使;[E]y)=∞,即:G(x‚θ→;[E]y)=∞)=1,下面证明y是弱常返.事实上,G((x‚θ→)；[E]y)=∑n=1∞Ρ(x‚θ→){(Xn‚Τnξ→)∈[E]y}=∑n=1∞Ρ(x‚θ→)(Xk≠y‚1≤k<n‚Xn=y‚Xm=y‚m>n)=∑n=1∞Ρ(x‚θ→)(Xk≠y‚1≤k<n‚Xn=y)Ρ(x‚θ→)(Xm=y|Xn=y)=∑n=1∞(x‚θ→；[E]y)G(y‚Τnθ→；[E]y)‚则由;;[E]y)=∞,即;[E]y)≥G((y‚Τnθ→);[E]y)=∞,即y为弱常返.定义2称集合A∈E可达集合D∈E,若;,称集合A∈E一致可达集合D∈E,若存在;.称状态x可达状态y,若[E]x可达[E]y,称状态x一致可达状态y,若存在:;[E]y)>ε)=1,称状态[E]x一致可达状态[E]y.定理3当X为有限集,若状态x可达状态y,若x是本质的,则y是本质的,若x是强常返的,则y是强常返的.证明:若状态x可达状态;[E]y>0),则存在最小的l>0,使P(x,θ){(Xl,Tlξ)∈[E]y},令,取;x,z)>0},则由X为有限集,满足上述条件的ε是存在的,故状态x一致可达状态y.由文献定理可得,∏a.e.(z‚θ→)有;;[E]x).若x是本质的,则存在:;[E]x)>0}>0,又;;[E]x),故;[E]y)>0,即y是本质的.下面证明x是强常返的,则y是强常返的,事实上:由状态x可达状态y,又有X为有限集,则状态x一致可达状态y.由x是强常返的,:Q(x‚θ→;[E]x)=1)=1,又有;[E]y)≥Q(z‚θ→;[E]x),取为(x‚θ→),则Q(x‚θ→；[E]y)≥Q(x‚θ→；[E]x)=1又Q(y‚θ→；[E]y)=∑n=1∞Ρ(y‚θ→)(Xk≠x‚1≤k≤n‚Xn=x‚Xs=y‚i.o‚s>n)=∑n=1∞Ρ(y‚θ→)(Xk≠x‚1≤k≤n‚Xn=x)Ρ(x‚θ→)(Xs=y‚i.o‚s>n|Xn=x)=∑n=1∞Fn(y‚θ→∶[E]x)Q(x‚Τnθ→；[E]y)=L(y‚θ→；[E]x)因此,要证y是强常返的,只须证π.a.eθ→∈Ω‚Q((y‚θ→);[E]x)=1.假设π(θ→:Q(y‚θ→;[E]x)<1)>0,则Q(x‚θ→；[E]x)=∑n=1∞Fn(x‚θ→∶[E]y)Q(y‚Τnθ→；[E]y)=∑n=1∞Fn(x‚θ→∶[E]y)ΙB(Τnθ→)Q(y‚Τnθ→；[E]y)+∑n=1∞Fn(x‚θ→∶[E]y)ΙBC(Τnθ→)Q(y‚Τnθ