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第二节可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程二、经典例题第1页一、可分离变量微分方程形如方程，称为可分离变量微分方程.分离变量，得：①设

y=

(x)

是方程①解,则有恒等式：两边积分,得即：设函数G(y)和F(x)是g(y)和f(x)一个原函数,②则有第2页当

G(y)与F(x)可微且

G'(y)=g(y)

0时,说明由②确定隐函数y=

(x)是①解.称②为方程①隐式通解,或通积分.一样,当F'(x)=f(x)

0时,上述过程可逆,由②确定隐函数x=

(y)也是①解.第3页一、可分离变量微分方程形如方程，称为可分离变量微分方程.求解步骤：(变量分离法)1、分离变量,得2、两边积分,得3、求出通解隐函数确定微分方程解微分方程隐式通解第4页例1求解微分方程解分离变量,得两端积分,得二、经典例题解得第5页例2求解微分方程解分离变量,得两端积分,得解得第6页解分离变量,得两端积分,得解得第7页解依据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀改变规律为然后积分:第8页解

依据牛顿第二定律,得初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解例设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求降落伞下落速度与时间函数关系.

t

足够大时第9页解分离变量,解得然后积分:第10页可分离变量微分方程初值问题:解也可直接用变上限积分来确定：第11页分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分——隐式通解.三、小结若是求特解，还需依据初值条件定常数.第12页(1)找出事物共性及可贯通于全过程规律列方程.惯用方法:1)依据几何关系列方程,2)依据物理规律列方程,3)依据微量分析平衡关系列方程.(2)利用反应事物个性特殊状态确定初值条件.(3)求通解,并依据初值条件确定特解.3.解微分方程应用题方法和步骤第13页思索与练习求方程通解:提醒:方程变形为第14页练习题第15页第16页练习题答案第17页例9有高为1m半球形容器,水从它底部小孔流出,小孔横截面积为1cm2(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面高度h(水面与孔口中心间距离)随时间t改变规律.解由力学知识得,水从孔口流出流量为流量系数孔口截面面积重力加速度第18页设在微小时间间

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