河南省郑州二中附属学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

2023-2024学年河南省郑州二中九年级（上）开学数学试卷一、单选题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2．（3分）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图（）​A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同3．（3分）2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（）A．4.59×107 B．45.9×108 C．4.59×108 D．0.459×1094．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（）​A．30° B．50° C．60° D．80°5．（3分）下列运算正确的是（）A．2﹣＝2 B．（a+1）2＝a2+1 C．（a2）3＝a5 D．2a2•a＝2a36．（3分）化简的结果是（）A．0 B．1 C．a D．a﹣2​7．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根8．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．x3﹣xy2＝x（x﹣y）2 B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．a2﹣b2+1＝（a﹣b）（a+b）+1 D．﹣2x2﹣2xy＝﹣2x（x+y）9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重台，交y轴于点P．将△OAP绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，点A的坐标为（）A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，1） D．（1，）10．（3分）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）​A．6 B．3 C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．12．（3分）不等式组的解集为．13．（3分）如图，∠ADC＝30°，△ABC、△CDE是等边三角形，BD＝9，则CD的长是．14．（3分）某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x（cm）的统计图棵．​15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点P在AC上，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为．三.解答题16．（10分）（1）计算：3﹣1﹣+（3﹣）0．（2）化简：．17．（10分）解下列方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）2x2﹣5x﹣1＝0．18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（2）平移△ABC，若A的对应A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请画出旋转中心P．19．（9分）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，连接DE．（1）过点A作BC的平行线，与ED的延长线交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若D是AC的中点，求证：AF＝EC．20．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，OA＝5，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在平行四边形ABCD的外面），CE，CF，BF＝2OB．（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；（2）若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．21．（9分）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；​22．（10分）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，用400元在市场上购买的A种菜苗和500元购买B种菜苗的捆数相同．（1）求每捆A种菜苗的价格．（2）学校决定购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数的3倍．求如何购买本次购买花费最少23．（11分）在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点B，C重合），AE⊥EF，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．（1）如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是；证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP．根据此图形易证△AEP≌△EFC．则判断△AEP≌△EFC的依据是．（2）点E在BC边上运动．①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．②如图3，连接AF，DF，直接写出△AFD的周长c的取值范围．​

2023-2024学年河南省郑州二中九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【分析】根据实数的大小比较法则（负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小），比较即可【解答】解：∵﹣1＜0＜7＜，∴最小的数是﹣1，故选：A．【点评】本题考查了对实数的大小比较的应用，主要考查了学生的判断能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．2．（3分）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图（）​A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同【分析】根据三视图的定义求解即可．【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．故选：A．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．3．（3分）2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（）A．4.59×107 B．45.9×108 C．4.59×108 D．0.459×109【分析】将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【解答】解：4.59亿＝459000000＝4.59×104．故选：C．【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．4．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（）​A．30° B．50° C．60° D．80°【分析】由对顶角的性质得到∠AOD＝∠1＝80°，即可求出∠AOE的度数．【解答】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．故选：B．【点评】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的性质：对顶角相等．5．（3分）下列运算正确的是（）A．2﹣＝2 B．（a+1）2＝a2+1 C．（a2）3＝a5 D．2a2•a＝2a3【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、，故A不符合题意；B、（a+1）2＝a2+2a+4，故B不符合题意；C、（a2）3＝a7，故C不符合题意；D、2a2•a＝6a3，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．6．（3分）化简的结果是（）A．0 B．1 C．a D．a﹣2​【分析】根据分式的加法法则计算即可．【解答】解：原式＝＝5．故选：B．【点评】本题考查的是分式的加减法，熟知同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减是解题的关键．7．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×2×（﹣8）＝m2+32＞2，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．8．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．x3﹣xy2＝x（x﹣y）2 B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．a2﹣b2+1＝（a﹣b）（a+b）+1 D．﹣2x2﹣2xy＝﹣2x（x+y）【分析】B、C不符合因式分解的概念，A选项x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），D选项提公因式法．【解答】解：A选项x3﹣xy2＝x（x5﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y），故A错．B选项不符合因式分解的概念，故B错，C选项不符合因式分解的概念，故C错，D选项﹣2x7﹣2xy＝﹣2x（x+y），故D正确，故选：D．【点评】此题考查了因式分解的概念，熟练掌握和理解概念为解题关键．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重台，交y轴于点P．将△OAP绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，点A的坐标为（）A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，1） D．（1，）【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2023次旋转后，点的坐标即可．【解答】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点0重合，∴AP＝4，AO＝2，：OP﹣＝＝．第1次旋转结束时，点A的坐标为（；第2次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣）；第3次旋转结束时，点A的坐标为（﹣；第2次旋转结束时，点A的坐标为（1.），∵2次一个循环，∴2023÷4＝505.....3．第2023次旋转结束时，点A的坐标为（﹣．故选：C．【点评】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．10．（3分）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）​A．6 B．3 C． D．【分析】如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB＝PC，AO＝，易知∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，可知AO＝OB＝，过点O作OC⊥AB，解直角三角形可得AD＝AO•cos30°，进而得出等边三角形ABC的边长．【解答】解：如图，令点P从顶点A出发，再从点O沿直线运动到顶点B，\结合图象可知，当点P在AO上运动时，，∴PB＝PC，，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠BAO＝∠CAO＝30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为，∴OB＝，即AO＝OB＝，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，过点O作OC⊥AB，垂足为D，∴AD＝BD，则AD＝AO•cos30°＝3，∴AB＝AD+BD＝6，即等边三角形ABC的边长为8．故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≥0且x≠1．【分析】利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出即可．【解答】解：∵有意义，∴x≥0，x﹣6≠0，∴实数x的取值范围是：x≥0且x≠2．故答案为：x≥0且x≠1．【点评】此题主要考查了二次根式有意义以及分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．12．（3分）不等式组的解集为2＜x≤3．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得：x≤3，解不等式②，得：x＞8，∴该不等式组的解集是2＜x≤3，故答案为：4＜x≤3．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．13．（3分）如图，∠ADC＝30°，△ABC、△CDE是等边三角形，BD＝9，则CD的长是．【分析】连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长即可．【解答】解：如图，连接AE，∵∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE．又∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AE＝BD＝9，∴DE＝＝2，∴CD＝DE＝2．故答案为：7．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出∠ADE＝90°是解题关键．14．（3分）某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x（cm）的统计图280棵．​【分析】由统计图得到高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗所占的百分比，再列式计算即可．【解答】解：由统计图可得，该基地高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗约占10%+18%＝28%，∵1000×28%＝280（棵），∴该基地高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗约有280棵．故答案为：280．【点评】本题考查扇形统计图的应用，解题的关键是能从统计图中获取有用的信息．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点P在AC上，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或．【分析】分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∵点D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠ADQ＝90°，∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝5，∴AQ＝＝＝，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，∴AQ′＝＝＝，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，故答案为：或．【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形，分两种情况进行讨论是解题的关键．三.解答题16．（10分）（1）计算：3﹣1﹣+（3﹣）0．（2）化简：．【分析】（1）先算负整数指数幂，零指数幂和算术平方根，再算加减；（2）先通分算括号内的，把除化为乘，约分即可．【解答】解：（1）原式＝﹣+1＝6；（2）原式＝×＝×＝﹣．【点评】本题考查实数运算和分式的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算法则和分式的基本性质．17．（10分）解下列方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）2x2﹣5x﹣1＝0．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；（2）利用公式法解一元二次方程．【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝﹣6，∴x2﹣4x+2＝﹣2+4，即（x﹣6）2＝2，∴x﹣2＝±，∴x1＝6+，x2＝8﹣；（2）∵a＝2，b＝﹣3，∴Δ＝（﹣5）2﹣7×2×（﹣1）＝33＞8，∴x＝，即x5＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（2）平移△ABC，若A的对应A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请画出旋转中心P．【分析】（1）利用中心对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用点A与点A2的坐标特征得到平移的方向与结论，再根据点平移的坐标变换规律得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）作B1B2和A1A2的垂直平分线得到P点，P点到每组对应点的距离分别相等．【解答】解：（1）如图，△A1B1C6即为所求；（2）如图，△A2B2C8即为所求；（3）如图，点P为所作．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．19．（9分）如图，在△ABC中，D是AC边上一点，连接DE．（1）过点A作BC的平行线，与ED的延长线交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若D是AC的中点，求证：AF＝EC．【分析】（1）根据平行线的判定定理作图；（2）先根据AAS证明三角形全等，再根据全等的性质证明．【解答】（1）解：如图：AF即为所求；（2）证明：∵AF∥BC，∴∠FAC＝∠C，∠AFE＝∠FEC，∵D是AC的中点，∴AD＝DC，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE．【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行线的判定定理及全等三角形的性质是解题的关键．20．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，OA＝5，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在平行四边形ABCD的外面），CE，CF，BF＝2OB．（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；（2）若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．【分析】（1）由平行四边形的性质可知OA＝OC、OB＝OD，结合DE＝2OD，BF＝2OB，可得出OE＝OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形；（2）根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即可得出AD＝CD，进而可得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC＝60°可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵DE＝2OD，BF＝2OB，∴DE＝BF，∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形．（2）解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD．∵OA＝OC，∴OE⊥AC，∴OE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE．∵∠AEC＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝CE＝AC＝8OA＝10，∴C四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．21．（9分）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；​【分析】设丝绸条带的宽度为xcm，由长方形的面积计算公式结合丝绸条带的面积为650cm2，列出关于x的一元二次方程，解方程即可．【解答】解：设丝绸条带的宽度为xcm，由题意得：2x×40+（60﹣2x）x＝650，整理得：x8﹣70x+325＝0，解得：x1＝5，x2＝65（不合题意，舍去），答：丝绸条带的宽度为5cm．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．（10分）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，用400元在市场上购买的A种菜苗和500元购买B种菜苗的捆数相同．（1）求每捆A种菜苗的价格．（2）学校决定购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数的3倍．求如何购买本次购买花费最少【分析】（1）设菜苗基地每捆B种菜苗的价格为x元，由题意得：，即可求解；（2）确定m≤75，再根据函数的增减性即可求解．【解答】解：（1）设菜苗基地每捆B种菜苗的价格为x元，，解得x＝25，经检验：x＝25是原方程的根，x﹣5＝20，答：每捆A种菜苗的价格为20元；（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，由题意可知：m≤5（100﹣m），解得m≤75，又y＝20m+25（100﹣m）＝﹣5m+2500，∵﹣5＜7，∴y随m的增大而减小，∴当m＝75时，花费最少，此时y＝﹣5×75+2500＝2125（元），答：买A75捆，B25捆．【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．23．（11分）在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点B，C重合），AE⊥EF，EF与正方形的外角∠DCG的平分线交于点F．（1）如图1，若点E是BC的中点，猜想AE与EF的数量关系是AE＝EF；证明此猜想时，可取AB的中点P，连接EP．根据此图形易证△AEP≌△EFC．则判断△AEP≌△EFC的依据是ASA．（2）点E在BC边上运动．①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．②如图3，连接AF，DF，直接写出△AFD的周长c的取值范围．​【分析】（1）取AB的中点P，连接EP．先证AP＝EC，再证∠APE＝∠ECF，∠BAE＝∠CEF，然后由ASA证△AEP≌△EFC，即可得出结论；（2）①在AB上取一点P，使BP＝BE，连接PE，证△AEP≌△EFC（ASA），即可得出结论；②过D作DH⊥CF交DG于点H，连接FH、AH，证△DCH是等腰直角