专题3.7 直线与抛物线的位置关系【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

专题3.7直线与抛物线的位置关系【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断直线与抛物线的位置关系】 1【题型2根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】 2【题型3抛物线的弦长问题】 3【题型4抛物线的焦点弦问题】 3【题型5抛物线中的切线问题】 4【题型6抛物线中的面积问题】 5【题型7抛物线中的定点、定值、定直线问题】 6【题型8抛物线中的最值问题】 8【知识点1直线与抛物线的位置关系】1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系：(2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程.①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当<0时，直线与抛物线相离，无交点.②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.【题型1判断直线与抛物线的位置关系】【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线y=kx-1+2与抛物线x2=4y的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【变式1-1】（2022·高二课时练习）“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2023春·上海虹口·高二校考期中）已知抛物线方程y2=4x，过点PA．0条 B．1条 C．2条 D．3条【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣3过圆C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圆心，将抛物线C1先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线C3，则直线l：x+16y﹣1＝0与抛物线C3的位置关系为（）A．相交 B．相切C．相离 D．以上都有可能【题型2根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】【例2】（2022·高二课时练习）若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为（

）A．18 B．C．18或0 D．8或【变式2-1】（2023·高二课时练习）直线y=kx+b与抛物线y2=4xA．kb=1 B．k=0C．b≠0，k=0 D．kb【变式2-2】（2022秋·高二课时练习）已知抛物线C的方程为x2=12y，过点A0,-1和点Bt,3的直线A．-∞,-2C．-∞,-22【变式2-3】（2023·山东·统考二模）已知抛物线C:y2=4x，若过点P(-2,0)作直线l与抛物线C交A，B两个不同点，且直线l的斜率为A．-22,0∪0,22 B．【知识点2抛物线的弦长与焦点弦问题】1．弦长问题设直线与抛物线交于A,B两点，则

|AB|==或

|AB|==(k为直线的斜率，k≠0).2．抛物线的焦点弦问题抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：标准方程弦长公式y2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)【题型3抛物线的弦长问题】【例3】（2023·河南安阳·统考三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A、B两点，且点A到l的距离为4，则ABA．4 B．5 C．163 D．【变式3-1】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）设经过点F1,0的直线与抛物线y2=4x相交于A,B两点，若线段AB中点的横坐标为A．6 B．8 C．10 D．12【变式3-2】（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作直线，交抛物线于Ax0,yA．1 B．2 C．3 D．4【变式3-3】（2023·辽宁朝阳·朝阳市校考模拟预测）过抛物线C：y2=2px焦点F的直线与C交于A，B两点，过点B向抛物线C的准线作垂线，垂足为D-1,-1A．174 B．254 C．18 D【题型4抛物线的焦点弦问题】【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知过抛物线C:y=x28的焦点F，且倾斜角为π3的直线l交抛物线C于AA．32 B．323 C．283 D【变式4-1】（2023秋·高二单元测试）过抛物线x2=6y焦点的直线与抛物线交于点M,N，若MNA．2x+2yC．2x-2y+3=0或2【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，抛物线y2=4A．16 B．83 C．8 D．【变式4-3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，且直线l1，l2分别与抛物线C交于A，BA．32 B．64 C．128 D．256【知识点3抛物线的切线】1．抛物线的切线过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是.

抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0).【题型5抛物线中的切线问题】【例5】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知点P(4,-2)在抛物线C:x2=2py(p>0)的准线上，过点P作A．x-y+2=0 B．2x-y【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，O为坐标原点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A,(1)当A的纵坐标为4时，求抛物线C在点A处的切线方程；(2)四边形ADBE面积的最小值.【变式5-2】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，直线y=2(1)求抛物线C的方程；(2)过直线x-y-3=0上的点B作抛物线C的两条切线，设切点分别为P，Q，求点C【变式5-3】（2023春·云南曲靖·高一校考期末）已知A、B是抛物线C:y2=8x上的两点，M是线段AB的中点，过点A和B分别作C的切线(1)证明：PM⊥(2)若点P的坐标为-4,2，求△PAB注：抛物线y2=2px在点x【题型6抛物线中的面积问题】【例6】（2023秋·湖北荆州·高二校考期末）已知抛物线C:(1)经过点M(-1,1)作直线l，若l与抛物线C有且仅有一个公共点，求l(2)设抛物线C的准线与x轴的交点为N，直线m过点P(1,0)，且与抛物线C交于A,B两点，AB的中点为Q，若QN=【变式6-1】（2023春·贵州黔南·高二统考期末）已知直线2x-y-1=0与抛物线C(1)求p的值；(2)设F为抛物线C的焦点，M,N为抛物线C上两点，FM⋅【变式6-2】（2023春·河南南阳·高二统考期末）已知抛物线E：y2=x的焦点为F，过x轴正半轴上一点M的直线l与抛物线E交于A、B两点，O(1)求点M的坐标；(2)设点F关于直线OB的对称点为C，求四边形OABC面积的最小值.【变式6-3】（2023春·江西上饶·高二校联考阶段练习）已知坐标原点为O，抛物线为G:x2=2py(p>0)与双曲线y2(1)求抛物线G的方程；(2)已知点M(-2,-1)，过点M作抛物线G的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于C，D，求△MAB与【题型7抛物线中的定点、定值、定直线问题】【例7】（2023春·江西赣州·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点2,4.(1)求C的方程；(2)若C关于x轴对称，焦点为F，过点(4,2)且与x轴不垂直的直线l交C于M,N两点，直线MF交C于另一点A，直线NF交C于另一点B，求证：直线AB【变式7-1】（2023·湖北襄阳·校考模拟预测）过抛物线x2=2py(p>0)内部一点Pm,n作任意两条直线AB,CD，如图所示，连接

(1)求抛物线的方程；(2)若点P1,1，证明Q在定直线上运动，并求出定直线方程【变式7-2】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π6的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P,Q两点，且∠PGQ=π2【变式7-3】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点(1)求抛物线C的标准方程；(2)直线l与抛物线C相交于M、N两点，以MN为直径的圆过点P1,2，作PD⊥MN，D为垂足．是否存在定点Q，使得DQ【题型8抛物线中的最值问题】【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，求PQ的最小值．【变式8-1】（2023春·山西太原·高三校考阶段练习）已知抛物线E:x2=2pyp>0的焦点为F，直线x=4分别与x轴交于点(1)求抛物线E的方程；(2)如图，设点A,B,C都在抛物线E上，若△ABC是以【变式8-2】（2023·全国·