专题2.5 点、线间的对称关系【六大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题2.5点、线间的对称关系【六大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1点关于点的对称问题】 1【题型2直线关于点的对称问题】 3【题型3点关于直线的对称问题】 5【题型4直线关于直线的对称问题】 7【题型5光线反射问题】 8【题型6将军饮马问题】 12【知识点1点关于点的对称】1．点关于点的对称【题型1点关于点的对称问题】【例1】（2023·四川·高二专题练习）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(-2,4) D．(4,-2)【解题思路】根据中点坐标公式即可求解.【解答过程】解：设Ba,b，由题知，点A和点B4+a2=20+所以B点的坐标为0,2故选：B.【变式1-1】（2023·江苏·高二专题练习）点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为(5,6)【解题思路】由中点坐标公式求解即可【解答过程】设点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点为则点P为AB的中点．∴3=解得x=5∴点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为故答案为：(5,6)．【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为3,-6．【解题思路】设出A点关于B点的对称点C的坐标，然后直接代入中点坐标公式计算．【解答过程】设C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B点是A，C的中点，所以x+52=4所以C的坐标为3,-6．故答案为：3,-6.【变式1-3】（2023·江西·高二阶段练习（理））已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(-2,-3)，则点P【解题思路】根据对称性，结合中点坐标公式、两点间距离公式进行求解即可.【解答过程】根据中点坐标公式，得x-22解得x=4，y=1，所以点P的坐标为则点P(x,故答案为：17.【知识点2直线关于点的对称】1．直线关于点的对称【题型2直线关于点的对称问题】【例2】（2023·全国·高三专题练习）直线l:x+2y-1=0关于点A．2x-y-5=0 B．x+2【解题思路】根据直线关于直线外一点(1,-1)的对称直线互相平行可知其斜率，再取l上一点求其关于点(1,-1)的对称点，即可求出l'的方程【解答过程】由题意得l'//l在l上取点A(1,0)，则点A(1,0)关于点(1,-1)的对称点是所以1+2×(-2)+c=0，即故直线l'的方程为x故选：C.【变式2-1】（2022·高二课时练习）点P(1,2)在直线l上，直线l1与l关于点(0,1)对称，则一定在直线l1A．(12,32) B．(-1,【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线l上P(1,2)的对称点，且该点在直线l1【解答过程】由题设，P(1,2)关于(0,1)对称的点必在l1上，若该点为∴{1+x2=02+y2=1故选：C.【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）直线2x+3y-6=0A．3x-2C．2x+3y【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y,则其关于点-1,2对称的点的坐标为【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，则其关于点-1,2对称的点的坐标为(-2-因为点(-2-x,4-y所以2-2-x故选：D.【变式2-3】（2022·全国·高二专题练习）直线ax+3y-9=0与直线xA．a=-1，b=-9 B．aC．a=1，b=-9 D．a【解题思路】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），分别代入已知的直线方程，即可求得结论．【解答过程】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），则am∵点（m，n）是直线ax+3y﹣9＝0上任意一点∴a＝﹣1，b＝﹣9故选A．【知识点3直线关于点的对称】1．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：点对称轴对称点坐标P(a,b)x轴(a,-b)y轴(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)【题型3点关于直线的对称问题】【例3】（2023·全国·高一专题练习）点P2,0关于直线l:x-yA．-3,5 B．-1,-4 C．4,1 D【解题思路】利用中点和斜率来求得Q点坐标.【解答过程】设点P2,0关于直线l:x则b-0a所以点Q的坐标为-3,5故选：A.【变式3-1】（2023秋·吉林白城·高二校考期末）点P(2,0)关于直线l:x+yA．(-1,-3) B．(-1,-4) C．(4,1) D．(2,3)【解题思路】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【解答过程】设点P(2,0)关于直线x+y则{b-0所以点Q的坐标为(-1,-3)故选：A.【变式3-2】（2022秋·高二校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（）.A．a=-1，b=2 B．a=4，b=-2C．a=2，b=4 D．a=4，b=2【解题思路】利用点关于直线对称的性质即可求得结果.【解答过程】点A，B关于直线4x+3y即b+2-(-b且AB中点(b代入得2(b+2)+3=11联立①②组成的方程组，解得a=4故选：D.【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【解题思路】先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2＝0，结合斜率关系列方程组，求得m,n，从而求得m+【解答过程】∵A（1，﹣2）和B（m，n）关于直线x+2y﹣2＝0对称，∴线段AB的中点C（1+m2，-2+n2）在直线x+2y∴1+m2-2+n﹣2∴m+2n＝7，而n+2m-1×（-12）＝﹣1，得解方程组m+2n=72m-n=4，可得∴m+n＝5.故选：C.【知识点4直线关于直线的对称】【题型4直线关于直线的对称问题】【例4】（2023·全国·高三专题练习）直线2x+3y+4=0关于A．2x+3yC．2x-3【解题思路】利用对称性质可得原直线上的点关于y轴的对称点，代入对称点，即可得到答案.【解答过程】设点Px,y是所求直线上任意一点，则P关于y轴的对称点为P-x,y故选：C.【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【解题思路】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.【解答过程】设对称直线方程为x+21+11+22=c-所以所求直线方程为x+2故选：B.【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）如果直线y=ax+2与直线y=3xA．a=13,b=6 B．a【解题思路】由题意在y=ax+2上任取一点(0,2)，其关于直线y=x的对称点在y=3x-b上，代入可求出b【解答过程】在y=ax+2则由题意可得其关于直线y=x的对称点(2,0)在所以0=6-b，得b在y=3x-则其关于直线y=x的对称点(-6,0)在所以0=-6a+2，得综上a=故选：A.【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）已知直线l1：ax-y+3=0与直线l2关于直线l：x+y-1=0A．-13 B．13 C．3【解题思路】利用直线l2与直线l3：x+3y-1=0垂直，求得l2的斜率，然后求得l1与l的交点坐标，在直线l【解答过程】解：直线l2与直线l3：x+3y-∵直线l1：ax-y+3=0与直线∵由ax-y+3=0x+在直线l1上取点0,3，设该点关于l对称的点为Pm,n，则m2+n故选：B.【题型5光线反射问题】【例5】（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点A2,4射出，倾斜角为60∘，遇x轴后反射，则反射光线的直线方程为（A．3x-yC．3x+y【解题思路】根据对称关系可求得反射光线斜率和所经过点A'2,-4【解答过程】点A2,4关于x轴的对称点为A又反射光线倾斜角为180∘-60∘=∴反射光线所在直线方程为：y+4=-3x故选：C.【变式5-1】（2022秋·山东济南·高二统考期中）一条沿直线传播的光线经过点P-4,8和Q-3,6，然后被直线A．x+2y-C．x-2y【解题思路】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线y=x【解答过程】入射光线所在的直线方程为y-68-6联立方程组x-y-3=0,2设P关于直线y=x-则a-42-b因为反射光线所在直线经过入射点和P'所以反射光线所在直线的斜率为-7-所以反射光线所在的直线方程为y+2=-即x+2故选：D.【变式5-2】（2022秋·河北邢台·高二统考阶段练习）如图，已知A4,0，B0,6，从点P2,0射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点PA．126513 B．813013 C．【解题思路】求出P关于AB的对称点P1和它关于y轴的对称点P2，则P【解答过程】解：直线AB的方程为x4+y设点P2,0关于直线AB的对称点为P则ba-2=2又点P2,0关于y轴的对称点为P由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长P1故选：B.【变式5-3】（2023春·山东东营·高二校考开学考试）已知：A0,4，B0,-4，C4,0，E0,2，F0,-2，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AEA．-∞,-14 B．-14【解题思路】根据光线的入射光线和反射光线之间的规律，可先求F点关于直线BC的对称点P，再求P关于直线AC的对称点M,由此可确定动点D在直线BC上的变动范围，进而求的其斜率的取值范围.【解答过程】由题意可知：直线BC的方程为y=x-4，直线设F0,-2关于直线BC的对称点为P(a解得a=2b=-4同理可求P2,-4关于直线AC的对称点为M连接MA,ME,ME交AC于而MN方程为y=2,联立y=2y=-x+4连接PA,PN，分别交BC于PA方程为：y=-4x+4，和直线BC解得H点坐标为H(PN的方程为x=2,和直线BC方程y=x-连接FG,FH,则H,而kFG故FD斜率的取值范围是(-14故选B.【题型6将军饮马问题】【例6】（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(-2,0)，若将军从山脚下的点A(1,0)处出发，河岸线所在直线的方程为x+y=3，则“将军饮马A．27 B．5 C．15 D．29【解题思路】设B(-2,0)关于x+y=3的对称点为(x,【解答过程】由B(-2,0)关于x+y所以{x-22+y所以“将军饮马”的最短总路程为(3-1)2故选：D.【变式6-1】（2022秋·河北石家庄·高二统考期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求x2+1+A．5 B．10 C．1+5 D．【解题思路】将已知变形设出P0,1，Q1,2，则x2+1+x2-2x【解答过程】x2=x设P0,1，Q1,2，则x2+1+x2-2点P关于x轴的对称点的坐标为P'连接P'则PS+当且仅当P'，S，Q故选：B.【变式6-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(-2,0)，若将军从山脚下的点A(3,0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，则“A．1453 B．37 C．1353 D【解题思路】先求点B(-2,0)关于直线x+y=4【解答过程】如图，设B(-2,0)关于直线x+y则有a-22+b2依题意可得“将军饮马”的最短总路程为AC，此时AC=故选：B.【变式6-3】（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交