专题2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

专题2.2直线的方程（一）：直线方程的几种形式【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直线的点斜式方程及辨析】 2【题型2直线的斜截式方程及辨析】 2【题型3直线的两点式方程及辨析】 3【题型4直线的截距式方程及辨析】 4【题型5直线的一般式方程及辨析】 5【题型6直线一般式方程与其他形式之间的互化】 6【题型7求直线的方向向量】 7【题型8根据直线的方向向量求直线方程】 7【知识点1直线的点斜式、斜截式方程】1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：

设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.

(2)点斜式方程的使用方法：

①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：

设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：

已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.【题型1直线的点斜式方程及辨析】【例1】（2023春·江西九江·高二校考期中）过两点0,3,2,1的直线方程为()A．x-y-C．x+y+3=0【变式1-1】（2023·上海·高二专题练习）过点P(-5,7)，倾斜角为135°的直线方程为（

A．x-y+12=0C．x+y-【变式1-2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）经过点(1,2)，且斜率为2的直线方程是（

）A．2x-y=0 B．2x+【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）方程y=kxA．通过点2,0的所有直线 B．通过点2,0且不垂直于y轴的所有直线C．通过点2,0且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点2,0且除去x轴的所有直线【题型2直线的斜截式方程及辨析】【例2】（2022·全国·高二专题练习）直线2x+yA．x32+C．y-3=-2(x【变式2-1】（2022秋·高二校考课时练习）与直线y=-x+2垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（A．y=x+2C．y=-x+2【变式2-2】（2022秋·重庆南岸·高二校考期中）经过点A2,3，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（A．y=x+1 B．y=x-【变式2-3】（2023秋·江西吉安·高二校考期中）与直线2x-y-1=0垂直，且在yA．yB．y=-1C．yD．y=1【知识点2直线的两点式、截距式方程】1．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点()，则方程叫作直线l的两点式方程.

(2)两点式方程的使用方法：

①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当时，直线方程为(或).

③当时，直线方程为(或).2．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程.

(2)直线的截距式方程的适用范围：

选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.

②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.【题型3直线的两点式方程及辨析】【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点G1,-3，H-2,1，则直线lA．4x+y+7=0 B．2x-【变式3-1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点A3,-5，B-5,5的直线在yA．-54 B．54 C．-【变式3-2】（2022秋·浙江杭州·高二校联考期中）已知直线l过点G(1，-3)，H(2，A．4x+yC．2x-3【变式3-3】（2022·高二课时练习）已知直线l经过-2,-2、2,4两点，点1348,m在直线l上，则m的值为（A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【题型4直线的截距式方程及辨析】【例4】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）经过点A5,2，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l有（

A．0 B．1 C．2 D．3【变式4-1】（2023秋·吉林·高二校联考期末）过点(3,-6)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（

）A．2x+yC．x-y+3=0 D．【变式4-2】（2023·全国·高二专题练习）若直线l过点A(-2,0),B(0,3)，则直线lA．3x-2y+6=0 B．2x【变式4-3】（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线l过A-2,1，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是（A．x+2y=0或x-yC．x-y-1=0或x+【知识点3直线的一般式方程】1．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.

对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.

当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线.

(2)一般式方程的使用方法：

直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.2．辨析直线方程的五种形式方程形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率；②已知

一点斜截式y=kx+b不能表示与x轴垂直的直线①已知在y轴上的截距；②已知斜率两点式不能表示与x轴、

y轴垂直的直线①已知两个定点；②已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积一般式Ax+By+C=0

(A,B不全为0)表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程【题型5直线的一般式方程及辨析】【例5】（2023秋·高二课时练习）经过点(0,-1)，且倾斜角为60°的直线的一般式方程为（

）A．3x-y-1=0 B．3x【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，直线x-2yA．一、二、三象限 B．一、二、四象限C．一、三、四象限 D．二、三、四象限【变式5-2】（2023秋·北京西城·高二校考期末）已知直线l过点A(-3,1)，且与直线x-2y+3=0A．2x+y+3=0 B．2x+【变式5-3】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线Ax+By+C=0（AA．无论A,B取任何值，直线都存在斜率 B．当A=0，且BC．当A≠0，或B≠0时，直线与两条坐标轴都相交 D．当A≠0，且B=0，且C【题型6直线一般式方程与其他形式之间的互化】【例6】（2023秋·河南商丘·高二校考期末）经过点(0,-1)且斜率为-23的直线方程为（A．2x+3y+3=0 B．2x+3【变式6-1】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）如果AB<0，BC<0，那么直线Ax+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式6-2】（2023秋·四川雅安·高二统考期末）若直线x+ay-1=0的倾斜角为3πA．1 B．-1 C．2 D．【变式6-3】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知直线l过点(2,4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为（

）A．x+2y-C．2x-y=0或x+2【知识点4方向向量与直线的参数方程】1．方向向量与直线的参数方程除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以

①.

在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.【题型7求直线的方向向量】【例7】（2023·上海·高二专题练习）直线x-2yA．2,1 B．1,2 C．2,-1 D．1,-2【变式7-1】（2023秋·广东肇庆·高二统考期末）直线2mx+myA．1,2 B．2,-1 C．2,1 D．1,-2【变式7-2】（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知经过A0,2，B1,0两点的直线的一个方向向量为1,k，那么kA．-2 B．-1 C．-1【变式7-3】（2022秋·高二课时练习）已知直线l:mx+2y+6=0，且向量1-m,1A．-1 B．1 C．2 D．-1【题型8根据直线的方向向量求直线方程】【例8】（2023春·河南开封·高二统考期末）已知直线l的一个方向向量为2,-1，且经过点A1,0，则直线l的方程为（

A．x-y-C．x-2y【变式8-1】（2022秋·广东广州·高二校联考期中）直线l的方向向量为2,3，直线m过点1,1且与l垂直，则直线m的方程为（

）A．2x+3