结构力学第十四章 结构动力学

第十四章结构动力学第十四章结构动力学§14—1概述

§14—2结构振动的自由度

§14—3单自由度结构的自由振动

§14—5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动

§14—4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动

§14—6多自由度结构的自由振动

§14—7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动一、动荷载及其分类1、动荷载的定义

大小、方向和作用点随时间变化，在其作用下，结构上的惯性力较大,与外荷载比为不可忽视的荷载。

自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷载比很小，分析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。2、动荷载的分类动荷载确定不确定（随机荷载）风载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载周期非周期简谐荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其它可确定变化规律的动荷载§14—1概述二、结构动力学的研究内容和任务

结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。

结构动力计算的最终目的在于确定动力荷载作用下结构的内力、位移等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。1、自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力的作用的振动。

2、强迫振动：在振动过程中不断受到外部干扰力的作用的振动。§14—2结构振动的自由度一、自由度的定义

确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。二、自由度的简化

实际结构都是无限自由度体系，如按无限自由度体系分析，不仅导致分析困难，而且从工程角度来说也没有必要。常用的简化方法有：1)集中质量法将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。2)广义坐标法

---广义坐标---基函数广义坐标个数即为自由度个数3)有限元法

和静力问题一样，可通过将实际结构离散化为有限个单元的集合，将无限自由度问题化为有限自由度来解决。三、

自由度的确定

结点位移个数即为自由度个数1)平面上的一个质点W=22)W=2弹性支座不减少动力自由度3)计轴变时W=2不计轴变时W=1为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。4)W=15)W=2自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。6)W=27)W=18)平面上的一个刚体W=39)弹性地面上的平面刚体W=310)W=2W=111)12)W=13自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系;自由度无限多的体系为无限自由度体系。四、体系的运动方程要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。运动方程惯性力m施力物体m形式上的平衡方程，实质上的运动方程一、柔度法mEIl=1l柔度系数柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。一、柔度法mEIl=1l柔度系数柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。二、刚度法mEIl1y刚度系数刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。三、列运动方程例题刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。例14-1.mEIlEIl=1l例14-2.=1lmEIlEIl/2l/2P(t)Pl/4例14-3.mEIlEIl1例14-4.mEIl/2EIl/21层间侧移刚度mEIlEIl1对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架),当两层之间发生相对单位水平位移时,两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度.EIllEIEIEI层间侧移刚度对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架),当两层之间发生相对单位水平位移时,两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度.EIllEIEIEIEIllEIEIEI三、列运动方程例题列运动方程时可不考虑重力影响例14-7.mEIl/2l/2W---P(t)引起的动位移---重力引起的位移质点的总位移为加速度为三、列运动方程例题例14-8.m1EIl/3l/3l/3m2=简记为位移向量柔度矩阵荷载向量质量矩阵加速度向量例14-9.m1m2刚度矩阵刚度法m1m2=+柔度法m1m2例14-10建立图示体系的运动方程m2mlllkAy(t)2y(t)3y(t)直接利用平衡方程llEIm例14-11建立图示体系的运动方程AB例14-12图示体系为质量均匀分布的刚性平板,试建立运动方程.

总质量为M,转动惯量为J.设水平位移为x

竖向位移为y

转角为2b2a1、结构动力学与结构静力学的主要区别2、结构动力学的动力特性和动力特性的反应3、一般情况下动荷载和静荷载是怎样区别的1、结构动力学与结构静力学的主要区别:

结构受静力荷载作用时，其内力和位移都不随时间的变化而变化。所谓静（力）荷载是指其大小、方向和作用位置不随时间的变化而变化的荷载；所谓动荷载是指大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。在动荷载作用下，结构将发生振动，除了产生内力和位移，还会产生速度和加速度，而且它们都是随时间而变化的。故两者的区别就在于是否考虑惯性力。2、结构动力学的动力特性和动力特性的反应:

由于动荷载作用使结构产生各种量值，如内力、位移、速度、加速度、应力和应变等，统称为动力反应。动力特性：自振频率、振型。3、一般情况下动荷载和静荷载是怎样区别的:区分静载荷与动载荷并不是单纯取决于荷载本身的性质，更主要的是看其对结构产生的影响。静与动以及荷载随时间变化的快与慢是相对的，它与结构的自振周期密切相关。实际上，划分静荷载和动荷载所采用的标准是：若载荷从零增至其最大值的加载时间远大于结构的自振周期，通常此加载时间为自振周期的五倍以上时，可以认为加载过程是缓慢的，此时可作为静荷载简化处理。反之要作为动荷载处理。§14—3单自由度结构的自由振动一、

不计阻尼自由振动自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作 用的振动。分析自由振动的目的---确定结构的动力特性：频率、周期。1.运动方程及其解令二阶线性齐次常微分方程刚度法:柔度法:其中：初始条件:EIl1.运动方程及其解mEIl令二阶线性齐次常微分方程其通解为由初始条件可得令其中2.振动分析:单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动。自振周期自振圆频率(自振频率)

A——振幅初相位角——3.自振频率和周期的计算1).计算方法(1)利用计算公式又称为系统的固有频率(3)利用振动规律位移与惯性力同频同步。1mEIl幅值方程2).算例(2)利用机械能守恒mEIlEIl解:F=1F=1ll/2l例14-13：求图示体系的自振频率和周期。由已知得：2).算例mEIlEIlF=1F=1llll(½)llF=1例14-14：求图示体系的自振频率和周期。=1解:ll例14-15：质点重W,求体系的频率和周期.解:EIklmEIllm/2EIEI例14-16：求图示体系的自振频率和周期.解:1.能量法2.列幅值方程Amlmmlllkk二、考虑阻尼作用时的自由振动1.阻尼与阻尼力

阻尼:起使振动衰减的作用.

阻尼产生的原因:材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等.c-----阻尼系数

阻尼力：在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。2.计阻尼的自由振动

1.运动方程及其解m令运动方程设特征方程根为令方程的通解为由初始条件不振动--临界阻尼系数---阻尼比不振动小阻尼情况临界阻尼情况超阻尼情况2.振动分析周期延长计算频率和周期可不计阻尼振动是衰减的对数衰减率

利用此式,通过实验可确定体系的阻尼比.上式也可写成：例14-17:对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由振动.经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求:1.阻尼比2.刚度系数3.无阻尼周期4.重量5.阻尼系数6.若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少2cm3.无阻尼周期4.重量5.阻尼系数6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比为多少解:1.阻尼比2.刚度系数§14.4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动一.运动方程及其解

二阶线性非齐次常微分方程受迫振动---动荷载引起的振动。mEIlP(t)P---荷载幅值---荷载频率运动方程或通解其中设代入方程,可得通解为二.纯受迫振动分析mEIlP(t)---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移---动力系数---稳态振幅---频比1111---共振增函数减函数为避开共振一般应大于1.25或小于0.75.1.250.75共振区若要使振幅降低,应采取何种措施?通过改变频比可增加或减小振幅.应使频比减小.增加结构自频.增加刚度、减小质量.应使频比增大.减小结构自频.减小刚度、增大质量.例1求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知三.动位移、动内力幅值计算计算步骤:1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力；2.计算动力系数；3.将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、动内力幅值。mEIEIlPl/4解.Pl/3动弯矩幅值图例2求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移已知:解.Ql/2l/2重力引起的弯矩重力引起的位移l/4振幅动弯矩幅值跨中最大弯矩跨中最大位移[动荷载不作用于质点时的计算]m=1=1令P仍是位移动力系数是内力动力系数吗?运动方程稳态解振幅[列幅值方程求内力幅值]解:例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知同频同步变化mEIl/2l/2PP=1P动弯矩幅值图解:例:求图示体系右端的质点振幅mlmkllAPo§14.5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动m将任意荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。一.瞬时冲量的反应1.t=0时作用瞬时冲量m2.

时刻作用瞬时冲量二.动荷载的位移反应---杜哈梅积分计阻尼时若t=0时体系有初位移、初速度例.求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。m解：§14.6多自由度结构的自由振动自由振动分析的目的是确定体系的动力特性。可不计阻尼。一.运动方程及其解或m1m2运动方程设方程的特解为：代入方程,得：---频率方程代入方程,得另一种表达形式：同样设其解为：用柔度形式表示：m1m2解频率方程得的两个根值小者记作称作第一频率也称作基本频率;值大者记作称为第二频率或高阶频率.将频率代入振型方程特解1特解2通解：二.频率与振型体系按特解振动时有如下特点1)各质点同频同步;2)任意时刻,各质点位移的比值保持不变定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称作体系的主振型。几点说明：1）按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比值相同。2）发生按振型的自由振动是有条件的.3）振型与频率是体系本身固有的属性,

与外界因素无关.4）N自由度体系有N个频率和N个振型频率方程解频率方程得,从小到大排列依次称作第一频率,第二频率...第一频率称作基本频率,其它为高阶频率.将频率代入振型方程得N个振型N个振型是线性无关的.5）若已知柔度矩阵时6）求振型、频率可列幅值方程.振型方程频率方程按振型振动时m1m2

振型可看作是体系按振型振动时，惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移。三.求频率、振型例题例一.求图示体系的频率、振型解令1111第一振型第二振型对称体系的振型分成两组:一组为对称振型一组为反对称振型按对称振型振动=1l/3按反对称振型振动=1l/9对称系的振型分成两组:一组为对称振型一组为反对称振型解:例二.求图示体系的频率、振型.

已知:m1m211.61810.618例3.求图示体系的频率、振型解:令例3.求图示体系的频率、振型解:令例3.求图示体系的频率、振型解:令§14.7多自由度结构在简谐载荷作用下的强迫振动运动方程设特解为解方程,得其中1.在平稳阶段,作简谐振动,振动频率与荷载同。2.当时3.当时4.当或时n自由度体系有n个共振区。5.求稳态振幅可列幅值方程---惯性力幅值6.内力幅值的计算例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。已知：解：不存在统一的动力系数利用对称性可简化计算对称荷载反对称荷载§14.8振型分解法一.振型正交性i振型i振型上的惯性力j振型i振型上的惯性力在j振型上作的虚功j振型上的惯性力在i振型上作的虚功由虚功互等定理振型对质量的正交性的物理意义i振型上的惯性力在j振型上作的虚功等于0振型对刚度的正交性:振型对刚度的正交性的物理意义i振型上的弹性力在j振型上作的虚功等于0振型正交性的应用1.检验求解出的振型的正确性。例:试验证振型的正确性2.对耦联运动微分方程组作解耦运算等等.例:已知图示体系的第一振型,

试求第二振型.解:例:已知图示体系在动荷载作用下的振幅为解:试从其中去掉第一振型分量.二.振型分解法(不计阻尼)运动方程设---j振型广义质量---j振型广义刚度---j振型广义荷载折算体系二.振型分解法(不计阻尼)运动方程设---j振型广义质量---j振型广义刚度---j振型广义荷载折算体系计算步骤:1.求振型、频率;2.求广义质量、广义荷载;3.求组合系数;4.按下式求位移;例一.求图示体系的稳态振幅.解:计算步骤:1.求振型、频率;2.求广义质量、广义荷载;3.求组合系数;4.按下式求组合系数;EI例一.求图示体系的稳态振幅.解:EI例一.求图示体系的稳态振幅.解:EI例一.求图示体系的稳态振幅.解:EI从结果看,低阶振型贡献大一般不需要用全部振型叠加,用前几个低阶振型叠加即可。例二.求图示体系在突加荷载作用下的位移反应.解:m1m2已知:加荷前静止。三.振型分解法(计阻尼)阻尼力--阻尼矩阵--当质点j有单位速度,其余质点速度为0时,质点i上的阻尼力.若下式成立则将称作正交阻尼矩阵,称作振型j的广义阻尼系数.运动方程设三.振型分解法(计阻尼)运动方程设令--第j振型阻尼比(由试验确定).计算步骤:1.求振型、频率;2.求广义质量、广义荷载;4.求组合系数;5.按下式求位移;3.确定振型阻尼比;正交阻尼矩阵的构成---比例阻尼(Rayleigh阻尼)已知两个阻尼比例.求图示体系的正交阻尼矩阵和阻尼比.mmm321已知:解:4.1能量法（瑞利法）能量法是计算体基本频率近似值的一种常用方法。设体系按i振型作自由振动。t时刻的位移为速度为动能为势能为§14.9计算频率的近视法动能为势能为最大动能为最大势能为由能量守恒，有最大动能为最大势能为由能量守恒，有选满足位移边界条件的，形状与振型相近的向量代入上式求频率的近似值。通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求基本频率的近似值。例.用能量法计算图示体系的基频.mm