倾斜角与斜率精讲（7大题型）

2.倾斜角与斜率重点：1、直线的倾斜角的概念；2、直线的斜率公式；难点：1、直线的倾斜角公式与斜率的变化关系；2、直线的斜率公式。一、直线的倾斜角1、定义：当直线与相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角。2、倾斜角的范围：。当时，表示直线与x轴平行或与x轴重合.【注意】1、定义中含有的三个条件①直线向上方向；②轴正向；③小于的角.2、从运动学观点看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.3、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.4、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.二、直线的斜率1、定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．【注意】（1）当直线与轴平行或重合时，，；（2）直线与轴垂直时，，不存在.由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率不一定存在.2、直线的倾斜角与斜率之间的关系由斜率的定义可知：图示倾斜角（范围）斜率（范围）不存在直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，在和内分别与倾斜角变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．4、斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.题型一求直线的斜率【例1】（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得直线l的斜率.故选：D【变式11】（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）经过、两点的直线的斜率为．【答案】【解析】因为、，所以.故答案为：【变式12】（2022秋·重庆北碚·高二重庆市兼善中学校考阶段练习）过两点和的直线的斜率为（）A．B．1C．D．【答案】D【解析】由，所以直线的斜率为：故选：D.【变式13】（2022秋·广东湛江·高三校考阶段练习）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为.【答案】【解析】因为直线经过两点所以直线的斜率为所以直线的倾斜角为又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，所以直线的倾斜角为，所以的斜率为题型二求直线的倾斜角【例2】（2023秋·高二课时练习）如图所示，直线与轴的夹角为，则的倾斜角为（）A．B．C．D．无法计算【答案】B【解析】根据倾斜角的定义知，的倾斜角为．故选：B．【变式21】（2023秋·高二课时练习）一束光线射到轴上并经轴反射．已知入射光线的倾斜角，则反射光线的倾斜角．【答案】【解析】作出入射光线和反射光线，如图．因为入射光线的倾斜角，所以入射角为．又反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为．【变式22】（2022秋·高二课时练习）（多选）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】当时，直线的倾斜角为（如直线AC旋转至直线AD）；当时，直线的倾斜角为（如直线AD旋转至直线AB）.故选：BC.【变式23】（2022秋·河北石家庄·高二校考开学考试）设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，，当时，则为钝角，且；当时，此时，.综上所述，直线的倾斜角的取值范围为.故选：D.题型三由倾斜角与斜率求参【例3】（2023春·河北张家口·高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习）已知，两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（）A．B．C．D．5【答案】D【解析】根据题意可得，解得.故选：D.【变式31】（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）设m为实数，过两点的直线l的倾斜角为．求m的值（）A．m＝﹣1或m＝﹣2B．m＝﹣2C．D．m＝﹣1【答案】B【解析】由题可知，整理得，解得或.经检验时，，是同一个点，不满足题意;时，，满足题意.故选:B.【变式32】（2023·全国·高一专题练习）过点P(2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为（）A．1或4B．4C．1或3D．1【答案】D【解析】因为直线过点P(2，m)，Q(m，4)，且斜率为1，所以，解得，故选：D【变式33】（2022秋·安徽六安·高二校考阶段练习）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线的斜率，又因为直线的倾斜角为锐角，所以，解得.故选：C题型四斜率与倾斜角的关系【例4】（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在下列四个命题中，正确的是（）A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率D．直线的倾斜角的取值范围是【答案】D【解析】对于A，直线的斜率为1，而，显然不是直线的倾斜角，A错误；对于B，直线的倾斜角为，而直线的斜率不存在，B错误；对于C，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x轴的直线没有斜率，C错误；对于D，直线的倾斜角的取值范围是，D正确.故选：D【变式41】（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）以下四个命题，正确的是（）A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°B．经过两点的直线的倾斜角为锐角C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应【答案】D【解析】A：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为，故A错误；B：过点A、B的直线的斜率为，即(为直线的倾斜角)，则为钝角，故B错误；C：当直线的倾斜角为时，该直线的斜率不存在，故C错误；D：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D正确.故选：D.【变式42】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大；B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；C．任何一条直线都有唯一的斜率；D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．【答案】D【解析】对于:直线的倾斜角,,所以错误；对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误；对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误；对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确.故选：.【变式43】（2022秋·四川成都·高二校考阶段练习）关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法：①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；②平行于x轴的直线的倾斜角为或；③若直线过点与，则该直线的斜率为．其中正确说法的个数为（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解析】若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在.所以①不正确；直角倾斜角的取值范围为[,)，所以平行于x轴的直线的倾斜角为不可能是.所以②不正确；当时，过点与的直线的斜率不存在；当时过点与的直线的斜率为.所以③不正确.故选：D.题型五图象中的斜率与倾斜角【例5】（2023秋·高二课时练习）如图，若直线的斜率分别为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解析

设直线的倾斜角分别为，则由图知，所以，即．故选：A【变式51】（2022·全国·高一假期作业）如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设直线，，的倾斜角分别为，由图象知：，所以，即，故选：A．【变式52】（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐八一中学校考阶段练习）如下图，设直线的斜率分别为，则用“＜”号将它们的斜率连接起来后，得到的结果为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线l1、l2的斜率都是正值，倾斜角都是锐角，在倾斜角都是锐角时倾斜角越大斜率越大，故k2>k1>0；直线l3、l4的斜率都是负值，倾斜角都是钝角，在倾斜角都是钝角时倾斜角越大，斜率越大，故k3<k4<0,故故选：D.【变式53】（2022·高二单元测试）已知平面直角坐标系中，四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA所在的直线分别为，，，，如图所示，它们的斜率分别为，，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，延长.直线的倾斜角是锐角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以；直线的倾斜角是钝角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以；所以，故选：C题型六由斜率解决三点共线问题【例6】（2023秋·高二课时练习）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（）A．2B．4C．8D．12【答案】D【解析】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得，解得．故选：D.【变式61】（2022秋·安徽六安·高二校考阶段练习）已知，，若在线段上，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为点在线段上，所以，且，即，所以，设，所以当时，.故选：D.【变式62】（2022·高二课时练习）（多选）若直线的斜率，且过点，则直线经过点（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】直线的斜率，且过点，对于A,计算，故A错误；对于B,计算，故B正确；对于C,计算，故C正确；对于D,计算，故D错误；故选：BC【变式63】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是.【答案】【解析】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线，显然直线的斜率存在，故，即，解得，故答案为：4题型七直线与线段有公共点问题【例7】（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A．B．或C．D．【答案】A【解析】由，则直线的斜率，由，则直线的斜率，由图可知，，解得.故选：A.【变式71】（2022秋·广东佛山·高二校联考期中）已知两点，过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，由题意可知.要使与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是.故选：C【变式72】（202