2011届高考数学第一轮知识点总复习

第七单元平面向量知识体系■ETiftoStt-■ETiftoStt-Ms平會佝向■的址时｛实■场inattwi#1■的ittu»4■*.-•:A―It的迄则j4网同“半彳i•白齣紹1|—<t向■长rtt公大i4**公州f—•t・J央角公式］跆疆公式 第一节平面向量的概念及其线性运算基础梳理1•向走的有关概念及表示法£称定义表示法向童具有人小和方向的量；向童的大小叫做向童的长度(或撲)向皂理L?宋向童长度为g的向童，其方向是不确屯的记作0 .单位向量长度等于：L的向逹常用e表示平行向量方向相同或.相反的向量a与b共线可记为Mb.0与任意向童平行.共线向童aHb向童又叫做共线向童相等向童丧度相尊且方向帕同的向量曲b相等记作a二b・相反向量长度相鐸且方向相反的向芒与b为相反的向童•Wa=h(2)0的相反向老为°•

2•向童的线性运算向量运算定渋法则(或几何意狡)运算律加法求两个向量和的运算三砒法別£交换律：a+b=b+a.结合律:(a+b)+c=a+(b+c)平行四边形法启皿片U减法求a与b的和反向量・b的和的运算叫做8与b的差三角彫法則X数乘求实数入与向量a的积的运算1入al=1入11劄.当入＞0时，入a与a同方向当入＜0时・入a与a反方切当入=0或a・0时，入a=0_.X<pa►=(3；(X+u)a=入a+paX(a^b)-入a令入b3.平行向量星本屯理 u.非汆向童a与向量b共线的充要条件：存在唯一一个实数入.使匕=g典例分析题型一平面向量的有关概念【例】】给出下列五个命题：两个向量相等■则它们的起点相同，终点相同;若la|-|bL则a・b;_»_＞在白ABCD中，一定有DC@若01・％n-p,则m・p;若aIIb,bIIc,则8IIc.有向线段就是向量.向量就是有向线段;非容向量的单位向量是唯一的其中不正确的个数是( )A.2B.A.2B.3C.4D.5分析在正确理解冇关概念的基础上.注意特殊情况走解决本题的关忧.解选B.两个向量起点相同，终点相同，则两个向董相爭;但两个向量相等,不一定冇相同的起点和终点，故①不正确；la|-|b|,但m.b方向不确定■所以氣b不一定相等，故②不正确；CD.④正确；零向量与任一非零向量都平行.当b・0时“与c不一定平行，故⑤不正确•学&反思(1)着重理解向量以下几个方面：①向量的模:②向量的方向；③向量的几何表示；④向童的起点和终点.(2)判疋两个向童的关系时■特別注意以下两种特珠的悄况：①东向童与任何向量共线;②单位向量的长度为1,方向不因定.举一反三1.已知下列令題：如果非各向董a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与緘b中的一个方向相同； »»》在△A&C中卫必有AB+BC+CA=(>(2)^ab^c?ca^o.則A、B.C为一个三介形的三个顶点；④若3与b均为非零向量■则la+b|与lal+lbl-定相等.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析：①错误,a+b=O时,就不满足结论;②正确,•••A^BC+CACAC二qo)错误，A.B.C三点还可以共线;④错俣，只有a与b同向时才相等.答隶:B题型二 平面向量的线性运算【钢2】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：£F=1(Ah^/)C)•5 n 一t：分析根据所求证的爭式，将EF用仝7kI疋的和.差形式表示.充分运用加.减法的运算法则完成.证明方法一：在四边形CDEF中，eP*r^ci)^-o.①去四边玄ABFE中，^>FB^BA*AE«0.②3②，得冷历+必)冷历+必)(EF+EF)♦(FC+FB)+(CIHBA)*(DE+AE)-0.VE.F分别是AD.BC的中点,/.FC^FB-0,DE-^AE-0,A2EF—CD-BA-AB^DC,即EF=；AB^DC； •方法二：呱为起/的向量，应用三角形法則求证，如图.TE为AD的中点.••TIAE二—ADTF是BC爲中点,又AC学后反思平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合•求解此类问題应注意：结合图形，选择关系明确的一组不共线向童来表示其他向量，选择恰当的运算关系・ . 一"一八注意特殊点的应用•如F点是BC的中点，則用十用讣"•必；(其中A可以是任意一点)• 八 7在方法二中，向量的起点A可改取平面内的任意一点0.用同样的方法亦可证出•对于本題结论，要和梯形的中位线定理区分开.梯形的中位线定理只有在ABIICD时才成立，且得出的是长度关系：而本題结论对于任意平面四边形均成立.且得出的是向量关系•对于长度关系不一定成立(只有在雨与斎共线时成立)•凭瓷豆2AB中，延长BA到C,使AC外在OB上取点D,使諾屈be与OA交于E；i3Q4?atOB=b.试用a,b表示向量oc応向董DCa解析：TA是BC的中点,―——►AOA=y(OB-bOC),?POC^2OA<)B^2a-b.DC=OCOD=OC-~OB=2a-b-yb=2s-题型三向童的共钱问题【例3】设两非容向童a和b不共线，如果誦・a*b,苗・3(a-b),BC-2a+8b.求证：A、B、D三点共线.分析用向量法证明A、B.D三点共线，可以利用向量共线定理，得到环=入•范(或环=入“等).55II前说明直线BD和AB平行或窒合；因为有公共点B,所以只能重合，从而由向量共线推出三点共线.证明•••BC-2a*8btCD-3(a-b).•••BD-BC*CD-2a*8b*3a-3b-5(a*b),.・.丽=5.范由向童共线定理得而II貳又因为直线AB和BD有公共点乩所以A.B.D三点共线.学后反思(1)向量共线的充妥条件中■要注意当两向量共线时，通常只有非客向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问題■可用向童共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且冇公共点时.才能得出三点共线•解题中应强调"直线AB和BD有公共点B”这一步骤.举一反三3.设两个非空向量弓心不共线，已知心="严圮+迅““坷-门若A.B.D三点共线■试求k的值.谆析：BD=CD-CB=绍一6-©十3e:)-el-4cz若A.B.D三点共线，则.ABIIM从而存在唯一实数入，使砸=入丽,I?卩2^+畑2二兄(^_化)整理得(2-2比=-伙+42)©2-久=0・

k+4m

即当k—8时.A.B.D三点共线・題型四 向量知识的综合应用【例4】（12分）已知向量a二2C|—^Cyb二2C|+3e“c二2勺-9C]，

其申为两个非変不共线向量.问：是否存在这样的实釵入.M，使向?：d-Xa+mb与c共线？分析运用向量共线的条件，确定是否存在实数k,使得d・kc.解 d二加亠“二久（2«]-3cJ+“（2q+3eJTOC\o"1-5"\h\z即（2A+2p）勺・（3“-3刃©k（2et9eJ2ket-9ke2 8*vePe2不必&•••j2》十2“=2k・32+3//=-9k•••入—2p W故存在这样的实数入，p,满足入・-2»,能使d与c共线 12,学君反思设不共线.若和5]4心6k|C]-4-k2C,.则仔本题正是利用这一结论构造方程纽来求解的.4=k2举一反三4.已知△ABC的三个顶点A、B.C及平面内一点P,满足盲+两+05=0,若实数入满足苏克入疋求入的值.解析：•••违+疋■入AP；APB-PA+P^-PA-入A?.PPPB-^PC-2PA-入.4P.又•・•武+丽币&0,.••P5+P?—PA,/.-3PA-X.（?»-入PA,/._3—入，即入-3.易错警示【例】下列命題正M的是（）向量a与b共线，向董b与c共线，则向量a与c共线向量"与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线向童AB与CD是共线向量，则A、B.C、D四点一定共线向量a与b不共线、則8与1）都是非窣向量错解一因为向量3与b共线，所以a=Ab,又因为向童b与c共线，所以b=^c,fi]a=AAjc,向量a与c共线，故选A.错矗二因为向量a与b不共线，向量b与c不共线，根据传递性，向量a与c不共线，故选B.儁解三因为向量AB与CD是共线向量.所以A、B、C.D四点共线,所以应选C.错解分析错解一中对农向量的认识不到位，忽略了农向童与任意向量共线：错解二中错因是a与c有可能共线；错解三的错因是对向童与点共线在认知上的错位.正解解此类题需紧扣定义、条件进行排除，才能快速得到正确结论.选项A中用了非本向量共线的传递性，而条件中没有非本向量的条件.若"0,结论显然不成立.选项B中向量的不共线是无传递性的，故结论不成立.选项（:中向量AB与CD共线，克线AB与CD可能平行，故推不出A.B、C、D四点共线，结论不成立.由此正确选项是D.考点演练1僅已知直线“yw与0x'+y"4交于釈晒艮且|OA+56hl0A^0tfL推中0为坐标原点*则实數丹的值为.科打「：如图斫示*以GM冊为边柞平荷四边形0北艮则曲foX+5R|-|（JA-W闔OACB为矩钦慣丄血由图象得■直线尸-tr在y轴上的負距为至2答靈；±211.中国象棋中规定：马走日”字，象走田”字.如图所示，在中国象棋的半个棋盘（4=AA8个矩形中，每个小方格都是单位正方形）中，若12AA1、AA2马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量表示马走了一步”试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况•解析：如图，以点C为起点作向量（共8个），以点B为起点作向量（共3个）.12.一艘船以53km/h的速度向垂直于岸的方向行驶，而船的实际速度是10km/h