人教版九年级数学下册 （相似三角形应用举例）教育教学课件

BYYUSHEN九年级数学下册相似三角形应用举例PROPERTIESOFSIMILARTRIANGLES第二十七章27.2.4

BYYUSHEN目录学习目标1、运用三角形相似的知识，解决实际问题（例：测量高度、河宽、盲区等不能直接测量长度或高度）。2、巩固相似三角形所学知识点。3、通过把实际问题转化为有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想。01重点运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度。02难点灵活运用三角形相似的知识解决实际问题。03BYYUSHEN1、运用三角形相似的知识，解决实际问题

（例：测量高度、河宽、盲区等不能直接测量长度或高度）。2、巩固相似三角形所学知识点。3、通过把实际问题转化为有关相似三角形的数学模型，

进一步了解数学建模的思想。学习目标LEARNINGOBJECTIVES01BYYUSHEN判定三角形相似条件知识点回顾01判定定理：1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。2.三边成比例的两个三角形相似。3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。4.两角分别相等的两个三角形相似。5.斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。BYYUSHEN情景引入01路灯下行走，影子会有时长有时短，你能根据影子的长度来计算路灯高度吗？BYYUSHEN情景引入01在阳光下，同一时刻，物体的高度与物体的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的影长就越长．在平行光线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例。在操场上几个人并排站立，此时影子的长度和什么有关呢？BYYUSHEN情景引入（高度问题）01据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，木杆长2m，木杆的影长为3m，测得金字塔底座中心到影子顶点的长为201m，求金字塔的高度．构建数学模型：32201？BYYUSHEN情景引入（高度问题）01据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，木杆长2m，木杆的影长为3m，测得金字塔底座中心到影子顶点的长为201m，求金字塔的高度．构建数学模型：32201？

BYYUSHEN情景引入（高度问题）01据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，木杆长2m，木杆的影长为3m，测得金字塔底座中心到影子顶点的长为201m，求金字塔的高度．构建数学模型(△BOA≌△HIA)32201？想一想还有其他方法可以求得金字塔高度吗？HIBYYUSHEN情景引入（河宽问题）01如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ．PQSRTba解题关键：构建相似三角形，利用对应边成比例，解决实际问题。

想一想还有其他方法可以求得河宽吗？BYYUSHEN情景引入（河宽问题）01如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ．PQRb解题关键：构建相似三角形，利用对应边成比例，解决实际问题。AB

BYYUSHEN情景引入（盲区问题）01如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距地面1.6m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？BDACOEF解题关键：构建相似三角形，找临界点，利用对应边成比例，解决实际问题。l

BYYUSHEN1、运用三角形相似的知识，解决实际问题（例：测量高度、河宽、盲区等不能直接测量长度或高度）。2、巩固相似三角形所学知识点。3、通过把实际问题转化为有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想。练一练HOMEWORKPRACTICE02BYYUSHEN练一练021．已知：如图，小华在打羽毛球时，扣球要使球恰好能打过网，而且落在离网前4米的位置处，则球拍击球的高度h应为（）A．1.55m B．3.1m C．3.55m D．4m

BYYUSHEN练一练022．（2019·奉化市溪口中学初三月考）如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．6m B．8.8m C．12m D．15m

BYYUSHEN练一练023．（2019·深圳市福田区外国语学校初三期中）要测量一棵树的高度，发现同一时刻一根1米长的竹竿在地面上的影长为0.4米，此刻树的影子不全落在地上，有一部分落在了教学楼第一级的台阶水平面上，测得台阶水平面上的影长为0.2米，一级台阶的垂直高度为0.3米，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高（

）A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米

BYYUSHEN课后回顾如何通过三角形相似解决高度问题01如何通过三角形相似解决宽度问题02如何通过三角形相似解决盲区问题03相似三角形应用举例

知识回顾问题探究课堂小结1.三角形相似的判定方法：（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；（3）判定定理1（边边边）：三边对应成比例，两三角形相似；（4）判定定理2（边角边）：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（5）判定定理3（角角）：两角对应相等，两三角形相似；（6）直角三角形相似的判定定理（HL）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。知识回顾问题探究课堂小结2.相似三角形的性质：（1）相似三角形对应角相等、对应边成比例。（2）相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.相似三角形对应线段之比等于相似比。（3）相似三角形的周长之比等于相似比。（4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方。知识回顾问题探究课堂小结探究利用三角形相似测量物高据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度。活动1探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？小组合作：自学课本第39页，例题4----测量金字塔高度问题。知识回顾问题探究课堂小结探究利用三角形相似测量物高例：如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO。活动1探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？问题：1、本题中是利用什么构造相似三角形的？2、本题的突破点在哪里？3、如何测量旗杆的高度？（设计出你的测量方案，画出图形与同伴交流）4、你发现了什么规律？

怎样测出OA的长？知识回顾问题探究课堂小结探究利用三角形相似测量物高例：如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO。活动1探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？解：太阳光是平行线，因此∠BAO=∠EDF

又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF∴，∴答：金字塔的高度BO为134m。

怎样测出OA的长？知识回顾问题探究课堂小结探究利用三角形相似测量物高你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？活动1探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？——利用平面镜也可测高△ABO∽△AEF知识回顾问题探究课堂小结探究利用三角形相似测量物高你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？活动1探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？——利用平面镜也可测高测高的方法：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。甲物高：乙物高=甲影长：乙影长知识回顾问题探究课堂小结探究利用三角形相似测量物高你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？活动1探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？——利用平面镜也可测高利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题一般图形：知识回顾问题探究课堂小结例题讲解活动2探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？例1：如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长。分析：先利用△BDC∽△FGE得到

，可计算出BC＝6m，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长。知识回顾问题探究课堂小结例题讲解活动2探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？例1：如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长。解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴

，即

，∴BC＝6m在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长AB是12m。点拨：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题。利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解。知识回顾问题探究课堂小结例题讲解活动2探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？例2：小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高l.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，因此BE=CD=1.2m，CE=BD=2.7m，由得AE=3所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2（m）

答：这棵树的高为4.2m

E知识回顾问题探究课堂小结探究利用三角形相似测量距离（或宽度）例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交R。如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ。活动1探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？1.本题中是如何构造相似三角形来解决问题的？2.你还可以用什么方法来测量河的宽度？知识回顾问题探究课堂小结探究利用三角形相似测量距离（或宽度）例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交R，如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ。活动1探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST，∴，即，∴PQ=90。答：河的宽度PQ为90m。知识回顾问题探究课堂小结探究利用三角形相似测量距离（或宽度）活动1探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？——利用三角形相似测宽△ABE∽△CDE知识回顾问题探究课堂小结探究利用三角形相似测量距离（或宽度）活动1探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？你想到了吗？还可以有其他方法测量吗？——利用三角形相似测宽测距的方法：测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解。解相似三角形实际问题的一般步骤：（1）审题；（2）构建图形；（3）利用相似解决问题。知识回顾问题探究课堂小结例题讲解活动2探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？例：如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA：OC=OB：OD=n，且量得CD=b，求厚度x。分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB，而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度。知识回顾问题探究课堂小结例题讲解活动2探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？例：如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA：OC=OB：OD=n，且量得CD=b，求厚度x。点拨：利用三角形相似求线段长是常用方法。解：∵OA：OC＝OB：OD＝n且∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD∵OA：OC＝AB：CD＝n，又∵CD＝b，∴AB=CD•n＝nb，∴

知识回顾问题探究课堂小结相关知识介绍视点：观察者眼睛的位置叫视点；视线：由视点出发的线叫视线；盲区：眼睛看不见的区域叫盲区。活动1探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如何应用的？知识回顾问题探究课堂小结相关知识介绍视角：视线与水平线的夹角。仰角：视线在水平线以上，视线与水平线的夹角。俯角：视线在水平线以下，视线与水平线的夹角。活动1探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如何应用的？知识回顾问题探究课堂小结例题讲解例：如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距地面1.6m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？活动2探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如何应用的？分析：如图，设观察者眼睛的位置（视点）为点F（EF近似为人的身高），画出观察者的水平视线FG，它交AB、CD于点H、K，视线FA、FG的夹角∠AFH是观察点A的仰角。能看到C点。类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内。再往前走就根本看不到C点了。知识回顾问题探究课堂小结例题讲解解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点F与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上。∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD∴△AFH∽△CFK∴

即解得FH=8（m）由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它。活动2探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如何应用的？点拨：解实际问题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型来解决问题。知识回顾问题探究课堂小结合作探究，相似三角形与函数的综合应用1.相似三角形与一次函数活动1探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式； （2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标。分析：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可； 知识回顾问题探究课堂小结合作探究，相似三角形与函数的综合应用活动1探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式； （2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标。分析：（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论。E’E解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（，），D（0，1）代入得：，解得： 故直线AD的解析式为：y=x+1； （2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），∴OB=2， ∵点D的坐标为（0，1），∴OD=1， ∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），∴OC=3，∴BC=5 ∵△BOD与△BCE相似，∴或，∴

或， ∴BE=2，CE=，或CE=，∴E（2，2），或（3，）。 知识回顾问题探究课堂小结合作探究，相似三角形与函数的综合应用活动1探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？点拨：本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键。 知识回顾问题探究课堂小结合作探究，相似三角形与函数的综合应用2.相似三角形与反比例函数活动1探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？例2：如图，已知反比例函数y=（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C（1）写出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM；（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式。知识回顾问题探究课堂小结合作探究，相似三角形与函数的综合应用活动1探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？分析：（1）把A点坐标代入y=可得k的值，进而得到函数解析式；（2）根据A、B两点坐标可得AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，则，再根据反比例函数解析式可得

，则

，而

，可得

，再由∠ACB=∠NOM=90°，可得△ACB∽△NOM；（3）根据△ACB与△NOM的相似比为2可得m﹣1=2，进而得到m的值，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出AB的解析式即可。知识回顾问题探究课堂小结合作探究，相似三角形与函数的综合应用活动1探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？解：（1）∵y=（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），∴k=4，∴反比例函数解析式为y=；（2）∵点A（1，4），点B（m，n），∴AC=4﹣n，BC=m﹣1，ON=n，OM=1，∴

，∵B（m，n）在y=上，∴

，∴

，而

，∴

，∵∠ACB=∠NOM=90°，∴△ACB∽△NOM；知识回顾问题探究课堂小结合作探究，相似三角形与函数的综合应用活动1探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？解：（3）∵△ACB与△NOM的相似比为2，∴m﹣1=2，m=3，∴B（3，），设AB所在直线解析式为y=kx+b，∴，解得，∴解析式为点拨：此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必然能使函数解析式左右相等。知识回顾问题探究课堂小结合作探究，相似三角形与函数的综合应用3.相似三角形与二次函数活动1探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？例3：如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B（1）写出点B的坐标___________；（2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点。若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，求点P的坐标。知识回顾问题探究课堂小结合作探究，相似三角形与函数的综合应用活动1探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？解：（1）∵抛物线y=-x2+3x的对称轴为∴当时，y=-2x=-3，即B点（，-3）；（2）设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，则OD=2a，OC=a，根据勾股定理可得：CD=。以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，①当∠CDP=90°时，若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=设P的横坐标是x，则P点纵坐标是-x2+3x，根据题意得