【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 同步分层训练培优卷(冀教版)

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一、选择题

1．（2023九下·江岸月考）若m，n是方程的两根，如图，表示的值所对应的点落在（）

A．第①段B．第②段C．第③段D．第④段

【答案】B

【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，

∴m+n=-2，mn=-1，

∴=，

∴原式=-=-，位于②段.

故答案为：B.

【分析】根据根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-1，对待求式通分，然后化简可得-，代入求出相应的值，然后进行判断.

2．（2023·南开模拟）方程的根是，，则的值为（）

A．22B．C．D．26

【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】∵方程x2-2x-24=0的根是x1，x2，

∴x1，x2=-24，x1+x2=2，

则原式

=x1x2-(x1+x2)=-24-2=-26。

故答案选：C。

【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值。

3．（2023八下·拱墅期中）对于一元二次方程，下列说法：

若，则方程必有一根为；

若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；

若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；

若是一元二次方程的根，则．

其中正确的（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，

∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，

∴x=1是方程的一根，故①正确；

∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，

∴-4ac>0，

∴b2-4ac>0，

∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；

若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，

∴x1+x2=-，x1x2=，

∴-=，，

∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；

∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，

∴x0=，

∴±=2ax0+b，

∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.

故答案为：D.

【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，则-=，，据此判断③；根据求根公式可得x0=，进而可判断④.

4．（2023·三台模拟）若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为（）

A．11B．-1C．11或-1D．11或-1或1

【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】由根与系数的关系可得，，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得：k1=-1，k2=11，

故答案为：C.

【分析】利用根与系数的关系可得，，再结合，可得，再求出k的值即可。

5．（2023九上·呼和浩特期末）已知二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为（）

A．B．C．－1D．0

【答案】B

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：∵二次函数y=（a-2）x2-（a+2）x+1，

当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，

可知二次函数图象的对称轴为直线x=0，即y轴，

则：

解得：a=-2，

则关于x的一元二次方程（a-2）x2-（a+2）x+1=0为-4x2+1=0，

则两根之积为

故答案为：B．

【分析】由当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图象的对称轴为直线x=，据此求出a值，将a值代入方程中，利用根与系数的关系求出两根之积即可.

6．（2023八上·绍兴月考）已知，是实数，定义：．若是常数，则关于的方程：，下列说法正确的是（）

A．方程一定有实数根

B．当取某些值时，方程没有实数根

C．方程一定有两个实数根

D．方程一定有两个不相等的实数根

【答案】A

【知识点】一元二次方程的求根公式及应用

【解析】【解答】，

，

移项：，

当m=0时，x=-1，

当时，

方程一定有实数根.

故答案为：A.

【分析】根据题中定义化简解出答案即可.

7．（2022九上·利川月考）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；菱形的性质

【解析】【解答】解：

由直角三角形的三边关系可得：

又有根与系数的关系可得：

∴

整理得：

解得：m=3或5.

又∵，

∴解得

∴.

故答案为：A.

【分析】易得∠AOB=90°，由勾股定理及完全平方公式得AO2+BO2=（AO+BO）2-2AO·BO=25，利用一元二次方程根与系数的关系可表示出AO+BO和AO·BO，然后整体代入，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据其解集，可得到m的值.

8．（2022八下·温州期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系；三角形全等的判定；勾股定理

【解析】【解答】解：如图，EG交AC、AB、BC分别于点G、K、L，FH交AC于点H，EF与AC交于点O，分别连接AE，EC，

设AB=a，BC=1，

∵点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1，

∴KB=BL=EG=1，FH=FM=FN=1，∠AKE=∠AGE=∠ELC=∠EGC=90°，

∴△AKE≌△AGE（HL），△ELC≌△EGC（HL），

∴AK=AG=a-1，LC=GC=b-1，

∵AC=5，

∴a-1+b-1=5，即a+b=7①，

∴（a+b）2=a2+2ab+b2=49

∵矩形ABCD，

∴∠ABC=90°，

∴AC2=25=AB2+BC2=a2+b2，

∴25=49-2ab

∴ab=12②，

由①和②可知a，b为一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，

∴a=3，b=4或a=4，b=3（如图，AB＜BC，可舍去），

∴AB=3，BC=4，AG=2，

∴GO=AO-AG=，

∴EO===，

∵EG=FH，∠EGO=∠FHO=90°，∠GOE=∠HOF，

∴△EGO≌△FHO（AAS），

∴EO=FO，

∴EF=2EO=2×=.

故答案为：B.

【分析】如图，EG交AC、AB、BC分别于点G、K、L，FH交AC、AD、DC分别于点H，EF与AC交于点O，分别连接AE，EC，设AB=a，BC=1，由点E，F在对角线AC两侧，且到所在三角形三边距离都等于1，易证△AKE≌△AGE，△ELC≌△EGC，即得AK=AG=a-1，LC=GC=b-1，从而得a+b=7①，进而得（a+b）2=a2+2ab+b2=49，由勾股定理得AC2=25=AB2+BC2=a2+b2，进而推出ab=12②，再根据根与系数的关系可得a，b为一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，即得a=3，b=4或a=4，b=3（如图，AB＜BC，可舍去），从而求得AB=3，BC=4，AG=2，进而得到GO=AO-AG=，再证出△EGO≌△FHO，可得EO=FO，最后由EF=2EO即可求出EF的长.

二、填空题

9．（2023·明水模拟）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于．

【答案】2028

【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，

∴x1+x2=4，x12=4x1+2023，

∴原式=4x1+2023-2x1+2x2=2023+2（x1+x2）=2023+2×8=2028.

故答案为：2028

【分析】利用已知条件可表示出x1+x2和x12，将x12代入后可得到2023+2（x1+x2），再整体代入可求出结果.

10．（2023八下·姜堰期末）若和是一元二次方程的两个实数根，则．

【答案】8

【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵和是一元二次方程的两个实数根，

∴a2-3a-5=0，a+b=3，

∴a2-3a=5，

a2-3a+a+b=5+3=8；

故答案为：8.

【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系，可得a2-3a=5，a+b=3，再将原式变形为a2-3a+a+b，然后整体代入计算即可.

11．（2023八下·北京期中）阅读材料：

如果，是一元二次方程的两根，那么有.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题.例是方程的两根，求的值.

解法可以这样：

则.

请你根据以上解法解答下题：

已知是方程的两根，求：

（1）+=;

（2）=;

（3）=;

（4）=.

【答案】（1）4

（2）2

（3）2

（4）8

【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：（1）（2）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，

∴x1+x2=4；

故答案为：4（2）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，

∴x1x2=2；

故答案为：2；（3）==2；

故答案为：2；（4）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，

∴x1+x2=4，x1x2=2，

∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42-4×2=16-8=8．

故答案为：8

【分析】（1）根据根与系数的关系即可得出x1+x2的值；（2）根据根与系数的关系即可得出的值；（3）根据（1）（2），把要求的式子进行通分，然后代值计算即可；（2）把要求从的式子变形为（x1+x2）2-4x1x2，再把x1+x2=4，x1x2=2代入进行计算即可．

12．（2023八下·蜀山期中）已知实数，且满足，．请解决下列问题：

（1）当时，的值为；

（2）当时，的值为．

【答案】（1）

（2）2

【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：（1）∵，，

∴，

∵，

∴a和b为方程的两个根，

∴a+b=-3，

故答案为：-3；

（2）∵，，

∴，

∴，

∴a和b为方程的两个根，

∴a+b=-3，ab=-c，

∴，

∴，

故答案为：2

【分析】（1）先根据题意得到，进而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；

（2）先根据题意得到，进而得到，从而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，ab=-c，进而得到，然后结合题意代入即可求解。

13．（2022九上·晋江月考）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）

①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；

②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；

③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；

④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．

【答案】①④

【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，

∴x（x﹣4）＝0，

∴x1＝0，x2＝4，

则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

故①正确；

②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，

则x1＝﹣1，x2，

∵5m＝﹣n，

∴x2＝5，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；

当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，

故②错误；

③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝，

∵方程是2的等距方程，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，

∴x1＝x2或x1+x2＝4，

当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，

当x1+x2＝4时，即＝4，

∴b＝﹣4a，

故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；

④对于方程px2﹣x+＝0有两根满足x1＝3x2，

由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝，

∴x1x2＝×＝（x1+x2），

∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，

∴x2＝1或x2＝0（舍去），

∴x1＝3x2＝3，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

即px2﹣x+＝0是关于2的等距方程，故④正确，

故正确的有①④，

故答案为：①④．

【分析】①②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；

③根据方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，且b=-4a（a≠0）得到x1=x2或x1+x2=4，当x1=x2时，x1=x2=，不能判断a与b之间的关系；当x1+x2＝4时，即＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；

④根据韦达定理（，）和x1=3x2，得出3x22＝（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断.

三、解答题

14．（2023·凤县模拟）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

【答案】解：设AB=，AC=

∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，

∴＝2k+3，＝k2+3k+2．

∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，

∴＝52，

∵

∴

整理得k2+3k﹣10＝0，

解得：k1＝﹣5，k2＝2．

又∵AB+AC＞0，

∴2k+3＞0，

∴k＝2．

∴当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理

【解析】【分析】设AB=x1，AC=x2，由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==2k+3，x1x2==k2+3k+2，在直角三角形ABC中，由勾股定理可得x12+x22=52=（x1+x2）2-2x1x2，整体代换可得关于k的方程，解方程可求得k的值，然后根据三角形的边长为正可得AB+AC＞0，于是可得k=2.

15．（2022七上·长沙开学考）a是大于零的实数，已知存在唯一的实数，使得关于的二次方程的两个根均为质数求的值．

【答案】解：设方程的两个质数根为、由根与系数的关系，有

，①

，②

，得，

则

由知，、显然均不为2，所以必为奇数．

故和均为整数，且，

若为奇数，则必，从而，为合数，矛盾．

因此，必为偶数．同理，也为偶数．

所以，和均为整数，且．

不妨设，则或．

当时，，得，，均为质数．

当时，，得，，为合数，不合题意．

综上可知，，．

代入得

依题意，方程有唯一的实数解．

故．

解得．

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】设方程的两个质数根为p、q，由根与系数的关系可得p+q=-(k2+ak)，pq=1999+k2+ak，将两式相加可得(p+1)(q+1)=24×53，则和均为整数，且·=22×53，若为奇数，则p=2×5t-1为合数，矛盾，因此必为偶数，同理也为偶数，设p≤q，则=1或5，据此求出p、q的值，代入p+q=-(k2+ak)中并结合判别式为0可得a的值.

四、综合题

16．（2023八下·杭州期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．

（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．

（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（n﹣1）]2﹣4（n2﹣2n）＝4＞0，

∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，

∵第三边BC的长是10，

当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，

当x＝10时，100﹣20（n﹣1）+n2﹣2n＝0，

解得n＝12或10，

①当n＝12时，方程变为x2﹣22x+120＝0，

设等腰三角形的底为m，

根据根与系数的关系，m+10＝22，

∴m＝12，

∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；

②当n＝10时，方程变为x2﹣18x+80＝0，

设等腰三角形的底为n，

根据根与系数的关系，10+n＝18，

解得n＝8，

∴△ABC的周长为10+10+8＝28；

综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；

当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；

（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，

∴AB+AC＝2（n﹣1），ABAC＝n2﹣2n，

∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，

∴AB2+AC2＝BC2，

即4（n﹣1）2﹣2（n2﹣2n）＝100，

解得n＝8或﹣6，

当n＝8时，AB+AC＝2×（8﹣1）＝14，符合题意，

当n＝﹣6时，AB+AC＝2×（﹣6﹣1）＝﹣14，不合题意，

综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【分析】（1）算出方程根的判别式b2-4ac的值，由判断是的值大于0可得结论；

（2）根据（1）的结论及等腰三角形的定义可得x＝10为一元二次方程的一个根，从而将x=10代入可得关于字母n的方程，求解可得n的值为12或10；然后分①当n＝12时，②当n＝10时，两种情况，分别根据一元二次方程根与系数的关系求出等腰三角形的底边，最后根据三角形周长计算方法算出三角形的周长即可；

（3）根据一元二次方程根与系数的关系可得AB+AC＝2（n﹣1），ABAC＝n2﹣2n，然后根据勾股定理及完全平方公式建立出寡欲字母n的方程，求解再根据实际情况检验可得答案.

17．（2023八下·杭州月考）已知关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：

①若a－b＋c＝0则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．

其中正确的是．(填写序号)

【答案】①②③④

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：①若a-b+c=0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为1，又a≠0，则b2－4ac≥0正确；

②若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2，由根与系数的关系得1×2=，整理得2a=c，即2a-c=0，故正确；

③若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，所以b2-4ac＞0，所以方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根，故正确；

④若b＝2a＋c，则b2-4ac=（2a+c）2-4ac=4a2+c2，由于a≠0，故4a2+c2＞0，∴方程有两个不相等的实数根正确.

故答案为：①②③④.

【分析】①若a-b+c=0，说明原方程有一个根为1，又a≠0，说明原方程是一元二次方程，一元二次方程有根必有两个，故b2－4ac≥0；②已知方程的两根，用根与系数关系的式子变形即可得出结论；③判断方程根的情况，只需要看根的判别式b2－4ac的值的符号就可以了；④把b＝2a＋c代入b2-4ac就可以判断根的情况.

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一、选择题

1．（2023九下·江岸月考）若m，n是方程的两根，如图，表示的值所对应的点落在（）

A．第①段B．第②段C．第③段D．第④段

2．（2023·南开模拟）方程的根是，，则的值为（）

A．22B．C．D．26

3．（2023八下·拱墅期中）对于一元二次方程，下列说法：

若，则方程必有一根为；

若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；

若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；

若是一元二次方程的根，则．

其中正确的（）

A．B．C．D．

4．（2023·三台模拟）若关于的方程的两个实数根满足关系式，则的值为（）

A．11B．-1C．11或-1D．11或-1或1

5．（2023九上·呼和浩特期末）已知二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为（）

A．B．C．－1D．0

6．（2023八上·绍兴月考）已知，是实数，定义：．若是常数，则关于的方程：，下列说法正确的是（）

A．方程一定有实数根

B．当取某些值时，方程没有实数根

C．方程一定有两个实数根

D．方程一定有两个不相等的实数根

7．（2022九上·利川月考）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则m等于（）

A．B．C．D．

8．（2022八下·温州期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（）

A．B．C．D．

二、填空题

9．（2023·明水模拟）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于．

10．（2023八下·姜堰期末）若和是一元二次方程的两个实数根，则．

11．（2023八下·北京期中）阅读材料：

如果，是一元二次方程的两根，那么有.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题.例是方程的两根，求的值.

解法可以这样：

则.

请你根据以上解法解答下题：

已知是方程的两根，求：

（1）+=;

（2）=;

（3）=;

（4）=.

12．（2023八下·蜀山期中）已知实数，且满足，．请解决下列问题：

（1）当时，的值为；

（2）当时，的值为．

13．（2022九上·晋江月考）如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）

①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；

②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；

③若方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；

④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．

三、解答题

14．（2023·凤县模拟）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

15．（2022七上·长沙开学考）a是大于零的实数，已知存在唯一的实数，使得关于的二次方程的两个根均为质数求的值．

四、综合题

16．（2023八下·杭州期中）已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．

（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．

（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

17．（2023八下·杭州月考）已知关于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：

①若a－b＋c＝0则b2－4ac≥0；②若方程ax2＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax2＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．

其中正确的是．(填写序号)

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，

∴m+n=-2，mn=-1，

∴=，

∴原式=-=-，位于②段.

故答案为：B.

【分析】根据根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-1，对待求式通分，然后化简可得-，代入求出相应的值，然后进行判断.

2．【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】∵方程x2-2x-24=0的根是x1，x2，

∴x1，x2=-24，x1+x2=2，

则原式

=x1x2-(x1+x2)=-24-2=-26。

故答案选：C。

【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入原式计算即可求出值。

3．【答案】D

【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，

∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，

∴x=1是方程的一根，故①正确；

∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，

∴-4ac>0，

∴b2-4ac>0，

∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；

若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，

∴x1+x2=-，x1x2=，

∴-=，，

∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；

∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，

∴x0=，

∴±=2ax0+b，

∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.

故答案为：D.

【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，则-=，，据此判断③；根据求根公式可得x0=，进而可判断④.

4．【答案】C

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】由根与系数的关系可得，，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得：k1=-1，k2=11，

故答案为：C.

【分析】利用根与系数的关系可得，，再结合，可得，再求出k的值即可。

5．【答案】B

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【解答】解：∵二次函数y=（a-2）x2-（a+2）x+1，

当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，

可知二次函数图象的对称轴为直线x=0，即y轴，

则：

解得：a=-2，

则关于x的一元二次方程（a-2）x2-（a+2）x+1=0为-4x2+1=0，

则两根之积为

故答案为：B．

【分析】由当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图象的对称轴为直线x=，据此求出a值，将a值代入方程中，利用根与系数的关系求出两根之积即可.

6．【答案】A

【知识点】一元二次方程的求根公式及应用

【解析】【解答】，

，

移项：，

当m=0时，x=-1，

当时，

方程一定有实数根.

故答案为：A.

【分析】根据题中定义化简解出答案即可.

7．【答案】A

【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理；菱形的性质

【解析】【解答】解：

由直角三角形的三边关系可得：

又有根与系数的关系可得：

∴

整理得：

解得：m=3或5.

又∵，

∴解得

∴.

故答案为：A.

【分析】易得∠AOB=90°，由勾股定理及完全平方公式得AO2+BO2=（AO+BO）2-2AO·BO=25，利用一元二次方程根与系数的关系可表示出AO+BO和AO·BO，然后整体代入，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再根据b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，根据其解集，可得到m的值.

8．【答案】B

【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系；三角形全等的判定；勾股定理

【解析】【解答】解：如图，EG交AC、AB、BC分别于点G、K、L，FH交AC于点H，EF与AC交于点O，分别连接AE，EC，

设AB=a，BC=1，

∵点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1，

∴KB=BL=EG=1，FH=FM=FN=1，∠AKE=∠AGE=∠ELC=∠EGC=90°，

∴△AKE≌△AGE（HL），△ELC≌△EGC（HL），

∴AK=AG=a-1，LC=GC=b-1，

∵AC=5，

∴a-1+b-1=5，即a+b=7①，

∴（a+b）2=a2+2ab+b2=49

∵矩形ABCD，

∴∠ABC=90°，

∴AC2=25=AB2+BC2=a2+b2，

∴25=49-2ab

∴ab=12②，

由①和②可知a，b为一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，

∴a=3，b=4或a=4，b=3（如图，AB＜BC，可舍去），

∴AB=3，BC=4，AG=2，

∴GO=AO-AG=，

∴EO===，

∵EG=FH，∠EGO=∠FHO=90°，∠GOE=∠HOF，

∴△EGO≌△FHO（AAS），

∴EO=FO，

∴EF=2EO=2×=.

故答案为：B.

【分析】如图，EG交AC、AB、BC分别于点G、K、L，FH交AC、AD、DC分别于点H，EF与AC交于点O，分别连接AE，EC，设AB=a，BC=1，由点E，F在对角线AC两侧，且到所在三角形三边距离都等于1，易证△AKE≌△AGE，△ELC≌△EGC，即得AK=AG=a-1，LC=GC=b-1，从而得a+b=7①，进而得（a+b）2=a2+2ab+b2=49，由勾股定理得AC2=25=AB2+BC2=a2+b2，进而推出ab=12②，再根据根与系数的关系可得a，b为一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，即得a=3，b=4或a=4，b=3（如图，AB＜BC，可舍去），从而求得AB=3，BC=4，AG=2，进而得到GO=AO-AG=，再证出△EGO≌△FHO，可得EO=FO，最后由EF=2EO即可求出EF的长.

9．【答案】2028

【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，

∴x1+x2=4，x12=4x1+2023，

∴原式=4x1+2023-2x1+2x2=2023+2（x1+x2）=2023+2×8=2028.

故答案为：2028

【分析】利用已知条件可表示出x1+x2和x12，将x12代入后可得到2023+2（x1+x2），再整体代入可求出结果.

10．【答案】8

【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：∵和是一元二次方程的两个实数根，

∴a2-3a-5=0，a+b=3，

∴a2-3a=5，

a2-3a+a+b=5+3=8；

故答案为：8.

【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系，可得a2-3a=5，a+b=3，再将原式变形为a2-3a+a+b，然后整体代入计算即可.

11．【答案】（1）4

（2）2

（3）2

（4）8

【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：（1）（2）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，

∴x1+x2=4；

故答案为：4（2）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，

∴x1x2=2；

故答案为：2；（3）==2；

故答案为：2；（4）∵x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，

∴x1+x2=4，x1x2=2，

∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42-4×2=16-8=8．

故答案为：8

【分析】（1）根据根与系数的关系即可得出x1+x2的值；（2）根据根与系数的关系即可得出的值；（3）根据（1）（2），把要求的式子进行通分，然后代值计算即可；（2）把要求从的式子变形为（x1+x2）2-4x1x2，再把x1+x2=4，x1x2=2代入进行计算即可．

12．【答案】（1）

（2）2

【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：（1）∵，，

∴，

∵，

∴a和b为方程的两个根，

∴a+b=-3，

故答案为：-3；

（2）∵，，

∴，

∴，

∴a和b为方程的两个根，

∴a+b=-3，ab=-c，

∴，

∴，

故答案为：2

【分析】（1）先根据题意得到，进而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；

（2）先根据题意得到，进而得到，从而得到a和b为方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，ab=-c，进而得到，然后结合题意代入即可求解。

13．【答案】①④

【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，

∴x（x﹣4）＝0，

∴x1＝0，x2＝4，

则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

故①正确；

②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，

则x1＝﹣1，x2，

∵5m＝﹣n，

∴x2＝5，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，（x＋1）（mx＋n）＝0是关于2的等距方程；

当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，

故②错误；

③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2＝，

∵方程是2的等距方程，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，

∴x1＝x2或x1+x2＝4，

当x1＝x2时，x1＝x2＝，不能判断a与b之间的关系，

当x1+x2＝4时，即＝4，

∴b＝﹣4a，

故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；

④对于方程px2﹣x+＝0有两根满足x1＝3x2，

由韦达定理得：x1x2＝，x1+x2＝，

∴x1x2＝×＝（x1+x2），

∴3x22＝（3x2+x2）＝3x2，

∴x2＝1或x2＝0（舍去），

∴x1＝3x2＝3，

∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，

即px2﹣x+＝0是关于2的等距方程，故④正确，

故正确的有①④，

故答案为：①④．

【分析】①②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；

③根据方程ax2＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，且b=-4a（a≠0）得到x1=x2或x1+x2=4，当x1=x2时，x1=x2=，不能判断a与b之间的关系；当x1+x2＝4时，即＝4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；

④根据韦达定理（，）和x1=3x2，得出3x22＝（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断.

14．【答案】解：设AB=，AC=

∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，

∴＝2k+3，＝k2+3k+2．

∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，

∴＝52，

∵

∴

整理得k2+3k﹣10＝0，

解得：k1＝﹣5，k2＝2．

又∵AB+AC＞0，

∴2k+3＞0，

∴k＝2．

∴当k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理

【解析】【分析】设AB=x1，AC=x2，由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2==2k+3，x1x2==k2+3k+2，在直角三角形ABC中，由勾股定理可得x12+x22=52=（x1+x2）2-2x1x2，整体代换可得关于k的方程，解方程可求得k的值，然后根据三角形的边长为正可得AB+AC＞0，于是可得k=2.

15．【答案】解：设方程的两个质数根为、由根与系数的关系，有

，①

，②

，得，

则

由知，、显然均不为2，所以必为奇数．

故和均为整数，且，

若为奇数，则必，从而，为合数，矛盾．

因此，必为偶数．同理，也为偶数．

所以，和均为整数，且．

不妨设，则或．

当时，，得，，均为质数．

当时，，得，，为合数，不合题意．

综上可知，，．

代入