第二章有心运动和两体问题

第二章有心运动和两体问题1第1页，课件共46页，创作于2023年2月基本特性1。3。有心力为保守力，机械能守恒。2。质点始终在垂直于的平面内运动——（1）——（2）——（3）动量矩守恒定律——（3‘）（二）运动微分方程第2页，课件共46页，创作于2023年2月（二）轨道微分方程——比耐公式令：已知力由公式得轨道方程已知轨道方程由公式得力例]质点受有心力作用而作的圆运动，为圆半径，求F=？第3页，课件共46页，创作于2023年2月§2-2平方反比引力下的质点运动反向与（一）轨道若万有引力:若静电场力:轨道方程A和θo为积分常数，由初始条件定：t=0θ=θo

第4页，课件共46页，创作于2023年2月圆锥曲线的标准方程补数学

定点为焦点动点的轨迹为圆锥曲线θ

r

p

p——半正焦弦长

e——偏心率

第5页，课件共46页，创作于2023年2月（1）椭圆近点B：第6页，课件共46页，创作于2023年2月（2）抛物线近点B：第7页，课件共46页，创作于2023年2月（3）双曲线近点B：第8页，课件共46页，创作于2023年2月得：与比较具体形状？力学上与初始条件有关数学上由e来决定第9页，课件共46页，创作于2023年2月（二）轨道特性势能近点B代入E的表达式可得：-----(1)*要用结果表明e(E，h)第10页，课件共46页，创作于2023年2月代入（1）式代入（1）式代入（1）式代入（1）式（1）椭圆e<1（2）抛物线e=1（3）双曲线e>1（4）圆e=0第11页，课件共46页，创作于2023年2月*E一定，椭圆的半长轴也确定h（角动量）越大，e（偏心率）越大∵e(E,h),∴h不同，则e不同。第12页，课件共46页，创作于2023年2月例1]结合宇宙速度看航天器随初始能量不同具有的不同轨道第一种情况圆轨道e=0E<0v=vI第一宇宙速度：vI——使航天器能绕地球作圆轨道的最小发射速度Re——地球半径Me——地球质量m——航天器质量h——航天器与地面的高度Re第13页，课件共46页，创作于2023年2月若vII>v>

vI椭圆∵能量越大，椭圆越扁，半长轴越长E=0e=1轨道为抛物线v=vII第二宇宙速度：vII——使航天器能脱离地球引力场所需的最小发射速度∴

v越大，椭圆越扁.第二种情况第三种情况第14页，课件共46页，创作于2023年2月E>0e>1轨道为双曲线v>vII第三宇宙速度：vIII——使航天器不仅能脱离地球引力而且要脱离太阳引力所需的最小发射速度Rs=1.494×1011mMs=1.989×1030kg——太阳质量不同轨道——地球绕太阳公转的轨道半径第四种情况第15页，课件共46页，创作于2023年2月例2]证明开普勒第二定律常数，等价为动量矩守恒开普勒第一定律：开普勒第二定律：开普勒第三定律：第16页，课件共46页，创作于2023年2月例3]改变轨道的卫星一个用火箭运载的卫星,按半径为ro的圆轨道运行.火箭发动机突然在它的运动方向增加了8%的火箭速度,求新轨道上远地点离地心的距离.第17页，课件共46页，创作于2023年2月*利用引力加速,实现到外星的航行第18页，课件共46页，创作于2023年2月例4]P52，例2]第19页，课件共46页，创作于2023年2月§2-3圆轨道的稳定性

在有心力势场中：设势能V（r）令：有效势能满足：为稳定平衡等效为质点在矢径方向作一维的运动，圆轨道稳定条件：若：则二维的圆运动，化为一维的静平衡.第20页，课件共46页，创作于2023年2月§2-4与平方反比的斥力作用——α粒子的散射

α粒子散射实验q

Qα粒子——带两个正电荷的氦离子第21页，课件共46页，创作于2023年2月原子的“葡萄干”模型第22页，课件共46页，创作于2023年2月α粒子的散射第23页，课件共46页，创作于2023年2月原子的“有核模型“第24页，课件共46页，创作于2023年2月第25页，课件共46页，创作于2023年2月α粒子电量：q=+2e某原子核序数为z，电量Q=+ze令得：与平方反比引力比较相差“-”用“-k2”代替“k2”（一）散射轨道散射角第26页，课件共46页，创作于2023年2月引力轨道方程斥力轨道方程仍令*为双曲线的另一支方程第27页，课件共46页，创作于2023年2月极轴斥力引力第28页，课件共46页，创作于2023年2月选极轴反向：令极轴则有：习惯：第29页，课件共46页，创作于2023年2月求α粒子受到原子核斥力作用远离原子核后的角度——散射角设α粒子从无穷远处以射向原子核为瞄准距离，并第30页，课件共46页，创作于2023年2月看一束α粒子的散射角瞄准距离在ρ和ρ+d

ρ之间的

α粒子散射后必向着和+d之间的角度散出。（二）散射截面卢瑟福散射公式——（1）式第31页，课件共46页，创作于2023年2月环面积——散射截面ρ由（1）式得：，再微分找出的关系，

——卢瑟福公式第32页，课件共46页，创作于2023年2月§2-5两体问题仅以一对内力和相互作用的两个质点构成的质点系的动力学问题。第33页，课件共46页，创作于2023年2月（一）二体的相对运动折合质量在惯性系相对于的运动微分方程看成不动变成折合质量才能用微分方程同理令——折合质量第34页，课件共46页，创作于2023年2月（二）行星与太阳运动问题的修正行星相对于太阳的微分方程与前：太阳看成不动的方程比较有相同的形式结论：（１）行星相对于太阳仍为椭圆运动第35页，课件共46页，创作于2023年2月（２）系统的质心Ｃ作惯性运动（３）行星相对于质心的轨迹，是以质心为焦点的椭圆，同理可得太阳相对于质心的轨迹也是椭圆．行星相对于质心的微分方程地球c太阳第36页，课件共46页，创作于2023年2月例］由轻弹簧和滑块组成的二体问题刚性系数为k的轻弹簧的两端分别系着和的两个滑块，它们静止于光滑的水面上，今使第一个滑块沿两滑块联线方向获得速度Ｖ，求这一体系的质心速度和体系的振动周期．xm2m1第37页，课件共46页，创作于2023年2月§2-６任意幂有心力问题的计算（一）与距离成任意幂的引力运动微分方程：可用计算机求解，Ｃ语言或ＭＡＴＡＢ语言引力：直角坐标：第38页，课件共46页，创作于2023年2月（二）微小扰动对轨道的影响水星太阳金星地球火星木星土星天王星海王星冥王星扰动力

很小第39页，课件共46页，创作于2023年2月扰动力的几种情况（1）宇宙尘的作用由建立模型法得：

ρ——宇宙尘的密度

扰动力：

m——质点的质量

第40页，课件共46页，创作于2023年2月（2）广义相对论的效应考虑到广义相对论对万的引力的修正：将代入上式得出的结果与实际更相符，如：水星的进动：第41页，课件共46页，创作于2023年2月（三）相轨迹和庞加莱面二维运动，相空间：四维空间若有约束，维数要减少。如：有心力相当于两个约束方程相轨迹为二维曲面用极坐标来表示：或用极坐标表示：四维空间第42页，课件共46页，创作于2