数学人教A版选修2-3学案第三章3.1回归分析的基本思想及其初步应用

3.1回归分析的基本思想及其初步应用学习目标重点、难点．2．会利用散点图分析两个变量是否存在相关关系．会用残差及R2来刻画线性回归模型的拟合效果．3．能记住建立回归模型的方法和步骤；能知道如何利用线性回归模型求非线性回归模型.重点：建立变量之间的线性回归方程，能根据散点图初步判断两个变量之间是否具有线性关系．．2．掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模型，特别是非线性回归模型.1．线性回归模型(1)函数关系是一种______关系，而相关关系是一种________关系．(2)回归分析是对具有____关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为__________________．其中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))称为________．(4)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中e称为________，a和b是模型的未知参数，自变量x称为________，因变量y称为________．预习交流1如果记录了x，y的几组数据分别为(0,1)，(1,4)，(2,7)，(3,10)，则y关于x的线性回归直线必过点()．A．(2,2)B．(,2) C．(1,2) D．(,)2．残差的概念对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝____，i＝1,2，…，n，其估计值为eq\o(e,\s\up6(^))i＝__________＝__________，i＝1,2，…，n，eq\o(e,\s\up6(^))i称为相应于点(xi，yi)的残差．3．回归模型拟合效果的刻画类别残差图法残差平方和法R2法特点残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高残差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的拟合效果越好R2＝__________表示________对于________变化的贡献率，R2越接近于__，表示回归的效果越好预习交流2怎么理解散点图和相关指数的关系？4．建立回归模型的基本步骤为：(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．(2)画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．(3)由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)))．(4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．预习交流3用回归方程求预报值应注意哪些问题？答案：1．(1)确定性非确定性(2)相关(3)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)样本点的中心(4)随机误差解释变量预报变量预习交流1：提示：D2．yi－bxi－ayi－eq\o(y,\s\up6(^))iyi－eq\o(b,\s\up6(^))xi－eq\o(a,\s\up6(^))3．1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)解释变量预报变量1预习交流2：提示：散点图可以说明变量间有无线性相关关系，只能粗略地说明两个变量之间关系的密切程度，而相关指数R2能精确地描述两个变量之间的密切程度．预习交流3：提示：(1)回归方程只适用于所研究的样本的总体．(2)所建立的回归方程一般都有时间性．(3)样本的取值范围会影响回归方程的适用范围．(4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．事实上，它是预报变量的可能取值的平均值．在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、求线性回归方程某工厂1～8月份某种产品的产量与成本的统计数据见下表：月份12345678产量(吨)成本(万元)130136143149157172183188以产量为x，成本为y.(1)画出散点图；(2)y与x是否具有线性相关关系？若有，求出其回归方程．思路分析：画出散点图，观察图形的形状得x与y是否具有线性相关关系．把数值代入回归系数公式求回归方程．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系：x35404550y56412811(1)y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程．(方程的斜率保留一个有效数字)(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．二、线性回归分析某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次数(x)3033353739444650成绩(y)3034373942464851(1)作出散点图；(2)求出线性回归方程；(3)作出残差图，并说明模型的拟合效果；(4)计算R2，并说明其含义．思路分析：先画出散点图，确定是否具有线性相关关系，求出回归方程，再求出残差，确定模型的拟合的效果和R2的含义．1．(2011山东高考，文8)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x/万元4235销售额y/万元49263954根据上表可得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()．A．B． C． D．2．在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量y件之间的一组数据为：x(元)1416182022y(件)1210753且知x与y具有线性相关关系，求出y对x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏．“相关指数R2、残差图”在回归分析中的作用：(1)相关指数R2是用来刻画回归效果的，由R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)可知R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好．(2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．三、非线性回归分析下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．思路分析：先由数值表作出散点图，然后根据散点的形状模拟出近似函数，进而转化为线性函数，由数值表求出回归函数．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x124y1612521试建立y与x之间的回归方程．非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．答案：活动与探究1：解：(1)由表画出散点图，如图所示．(2)从图上可看出，这些点基本上散布在一条直线附近，可以认为x和y线性相关关系显著，下面求其回归方程，首先列出下表.序号xiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi1130169002136184963143204494149222015157246491617229584171833348918188353441∑12582011128eq\x\to(x)＝6.85，eq\x\to(y)＝157.25.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\x\to(x)2)＝eq\f(8－8××,－8×2)≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－×≈，故线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋5.39.迁移与应用：解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．设回归直线为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，由题知eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝34，则求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,4,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(－370,125)≈－3.eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝34－(－3)×＝161.5.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－3x＋161.5.(2)依题意有P＝(－3x＋)(x－30)＝－3x2＋x－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(,6)))2＋eq\f(2,12)－4845.∴当x＝eq\f(,6)≈42时，P有最大值，约为426.即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．活动与探究2：解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)eq\x\to(x)＝39.25，eq\x\to(y)＝40.875，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝12656，eq\i\su(i＝1,8,y)eq\o\al(2,i)＝13731，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝13180，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\o\al(2,x))≈5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－875，∴线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝5x－875.(3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算得相关指数R2＝5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．迁移与应用：解析：∵eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)－×eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝，∴回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋9.1.令x＝6，得eq\o(y,\s\up6(^))＝×6＋＝(万元)．2．解：eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝122＋102＋72＋52＋32＝327，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(620－5×18×,1660－5×182)＝eq\f(－46,40)＝－1.15.∴eq\o(a,\s\up6(^))＝＋×18＝，∴回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－x＋28.1.列出残差表为：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i0yi－eq\x\to(y)∴eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝，R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2)≈0.994.故R2≈．活动与探究3：解：(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，a＝lnc1，b＝c2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为：x21232527293235z求得回归直线方程为eq\o(z,\s\up6(^))＝x－，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝ex.残差yi711212466115325eq\o(y,\s\up6(^))ieq\o(e,\s\up6(^))i(3)当x＝40时，y＝ex≈1131.迁移与应用：解：画出散点图如图所示．根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，则y＝kt，原数据变为：t421y1612521由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系．列表如下：序号tiyitiyiteq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)14166416256221224414431551254214511∑365430所以eq\x\to(t)＝，eq\x\to(y)＝7.2.所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t2))≈4，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)≈0.8.所以eq\o(y,\s\up6(^))＝4t＋0.8.所以y与x的回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(4,x)＋0.8.1．(2011江西高考，文8)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)175175176177177则y对x的线性回归方程为()．A．y＝x－1B．y＝x＋1 C．