2021年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)理科数学

高考链接2021)=60°,|PF|=3|PF|{}∠FPF一、选择题一点，且，则C的离心率1212{}1为（）.，则|||≤x≤51.设集合M=x0<x<4,N=x3{}{}A.27B.132C.7D.13M⋂N=（）.116.在一个正方体中，过顶点A的三条|||0<x≤33≤x<4A.B.xx|{}{}|x0<x≤5E,F,G.该正方体截去三|x4≤x<5棱的中点分别为C.D.棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图视图如图1所示，则相应的侧视图2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年中，正收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整是（）.图1理得到如下频率分布直方图：A.C.B.D.{}列a7.等比数的公比为，qS前n项和为，设{}n乙：是递增数列，则（）nq>0S甲：，.根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是nA.甲是乙的充分条件，但不是必要条件（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率.B.甲是乙的必要条件，但不是充分条件C.甲是乙的充要条件估计为6%D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%8.2020年12月8日，中国和C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三万元D.估计该地有角高程测量法是珠峰高程测量一半以上的农户，其家庭年收入介方法之一.如图量法的一个示意图，现有A，B，C点三，且A，B，C在同一水平面2是三角高程测于4.5万元至8.5万元之间3.已知(1-i)2z=3+2i，则z=（）.上图2A.-1-23i3B.-1+2i3+iD.--i32C.-2的投影A′,B′,C′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况由C点测得100；由B点测得A点的仰角为45°，则可借助视力表测量.通常用五分L和小数B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为A,C两点到水记录法和小数记录法平面A′B′C′的高度差AA′-CC′约为（3≈1.732）记录表的同学视力的五分记（）记录视力数据，五分记录法的数据L=5+lgV.已知某.数据V的满足A.346B.373πC.446D.473数录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为cosα2-sinα，则tanα=（）学0,ö,tan2α=（）（1010≈1.259）.B.1.29.若α∈æ2.èø篇A.1.5C.0.8D.0.61555153A.B.C.3D.5.已知F1,F155512是双曲线C的两个焦点，P为C上高考链10.将4个1和2个0随机排成一行，则接2个0不相为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，邻的概率为（）.分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情1322345A.B.C.D.况统计如下表：511.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的一级品二级品50合计200150120270甲机床乙机床合计三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的80200400体积为（）.130A.122B.123243D.C.4（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率12.设函数()()fx的定义域为，fx+1为奇函R分别是多少?()[]2+b．fx+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax9数，（2）能否有99%的把握认为甲机产品质量有差异?n(ad-bc)床的产品质量与()()æö=乙机床的若f0+f3=6，则f2（）.èø2=附：K2A.-94B.-2374D.25C.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(≥k)0.0503.8410.0106.6350.001二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．PK22x-1()13.曲线10.828y=在点-1,-3处的切线方程为kx+2{}{}______．18.已知数列a的各项均为正数，记S为an()()a=3,1,b=1,0,c=a+kb.若a⊥c，的前n项和，明另外一个成立．nn14.已知向量从下面①②③中选取两个作为条件，证则k=______．,F{}{}①数列ay2是等差数=3a1．列：②数列S是等差数15.已知+=1的两个焦点，2xCF为椭圆：nn164C上关于坐标原点对称的两点，且FF，则四边形PFQF2的面积为______．12列；③a2注：若选择不同的组合分别解答，则答计分．fx=2cos(ωx+φ)的部分图象如图19.如图4,已知AABB||PQ=QP，为按第一个解||12116.已知函数()直三棱柱7π44πæöö3èøø÷æè-öæ3所示，则满足条件f(x)-fæöABC-A1B1CAB=BC=2，E，F分别为AC和的CCD为棱1中，侧面f(x)-f11èøøè为正方形，>0的最小正整数x为______．中点，1BF⊥AB1.1A1B上的点.1（1）证明：BF⊥DE；BD（2）当为何值时，面1BB1C1C与面DFE所成的二面图420.抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴角的正弦值最小？OP⊥OQ.已知直线l：x=1交C于P，两点，且Q上，()点M2,0，且⊙M与l相切．图3（1）求C，⊙M的方程；,A,A三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题（2）设A13是C上的三个点，AA，AA直线21213AA.判断直线与⊙M的位置关系，并均与⊙M相切说明理由．21.已知a>0且a≠1，函数f(x)=xa23数考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要学求作答．(x>0)．篇（一）必考题：共60分．17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分（1）当ax()a=2时，求fx的单调区间；52高考链接()18.解:选①②作条件证明③：y=fx与直线有且仅有两个交y=1（2）若曲线=an+b(a>0)，则S=(an+b)点，求a的取值范围．10分．请考生在第选一题作答.如果多做，则按所做的第4-4：坐标系与参数方程（]10分）S2，设n()n=S=a+b2（二）选考题：共22、23题中任当n=1时，a；)(11()=S-S=an+b-an-a+b2=a⋅当n≥2时，a2一题计分．[选修nnn-1(2an-a+2b)；22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x因为{a}+2b)，解得b=0；()=a(2a-a也是等差数列，所以a+b2轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程n为ρ=22cosθ．=a2(2n-1)，所以a=3a.所以a（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；21n选①③作条件证明②：(){}（2）设点A的直角坐标为1,0，M为C上的动=3a，1a因为a是等差数列，P满足AP=2AM，写出Р的轨迹C1的参数点，点2-na=2a，1所以公差d=aC方程，并判断C与是否有公共点．21()1=na+nn-1=an，1所以Snd=n2a，即Sn[选修4-5：不等式选讲（]10分）211||||||23.已知函数f(x)=x-2,g(x)=2x+3-2x-1．-S=a()因为Sn+1-an=a，11{}1n+1nS所以是等差数列.n选②③作条件证明①：()=an+b(a>0)，则S=an+b2设S，n()n=S=a+b2当n=1时，a；()()211=S-S=an+b-an-a+b当n≥2时，a=a2an-a+2b2()；nnn-1()()2，=3a，所以a3a+2b=3a+b因为a214a()()（1）画出y=fx和y=gx的图象；解得b=0或b=-3；()()（2）若fx+a≥gx，求a的取值范围．=a2,a=a2(2n-1)，当n≥2时，当b=0时，a1n{}a-a=2a2满足等差数列的定义，此时a为等差参考答案与解析nn-1n数列；当b=-3时，S=an+b=an-43a，S14a一、选择题1-12BCBCADBBACAD=-a3<0n不合题意，舍去.二、填空题{}综上可知a为等差数列.19.解:因为三13.5x-y+2=0;14.-103;15.8;16.2.n棱柱ABC-ABC是直三棱柱，所以⊥AB111⊥BB底面ABC，所以BB//AB三、解答题11AB因为，所以BF⊥AB，AB11又BB所以AB⊥平面BCCB．两两垂所以BA,BC,BB1，BF⊥（一）必考题产的产品中的一级品的频率1117.解（:1）甲机床生⋂BF=B，150为200=75%,111乙机床生产的产品中的一级品的频率为=60%.120200直．400150×80-120×50)(2=40039>10>6.635以B为坐标原点，分别数学篇,=以BA,BC,BB所在直线为（2）K2270×130×200×2001x,y,z轴建立空间直角坐标故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.系，如图5．53图5高考链接()()()()()3⋅y-3=3所以B0,0,0,A2,0,0,C0,2,0,B0,0,2,A2,0,2,与圆M相切的AA3直线为1A则过11()()()1C0,2,2，E1,1,0,F0,2,1．(x-3)，1()Da,0,2由题设（0≤a≤2）．-y-x=33,则y=0，又k+1y=13+y=y13=()()（1）因为BF=0,2,1,DE=1-a,1,-2，xy3A1A3()()13133BF∙DE=0×1-a+2×1+1×-2=0，=0,A(0,0),A所以关于x轴对称，xAAA，此时直线331323所以BF⊥DE．与圆M相切；AA所以直线,A,A()23m=x,y,z，斜率均存在，（2）设平面DFE的法向量为若直线A1AAA32132()()111EF=-1,1,1,DE=1-a,1,-2，则+y,k=+y,k=+y，=因为kyyy2-x+y+z=0,∙∙AA1A1A3AAìì223mEF=0,121331+y所以í即í()=方程为y-y1(x-x)，1-ax+y-2z=0,îmDE=0,îAA所以直线12y()1=3,1+a,2-a,12m+y)y+y=0y，令z=2-a，则整理得x-(y1212+y)y+y=0，的方程为x-(y()BA=2,0,0，的法向量为BCCB因为平面AAy13同理直线111313BCCB与平面DEF的二面角的平面角+y)y+y=0，的方程为设平面1AAx-(yy23直线12323|2+y|为θ，y2=1,所以||因为AA与圆M相切，1+(y+y)21∙|BA|=6312m||cosθ==.12则整理得(y2-1)y2+2y+3-y2=0，||∙2×2a2-2a+142a2-2a+14mBAy12121127与圆相切，同理(y-1)y2+2y+3-y2AA则13M-2a+4取最小值为y2当a=2时，此时cosθ取最大值为．2，2a213131=0,63,y(y-1)y+2yy+3-y2=0的两为方程y所以3222111根，633=31æö2()=1-BD=2y,y∙y=3-y2-11-11，所以sinθç÷，此时2．+y=-y则21èøminyy21322320.解（:1）依题意设抛物线2C:y=2px(p>0)，P(1,y1),|2+y|y=231+(y+y)20的距离为：Q(1,-y)，M到直线AA230=1-2p=0,23因为OP⊥OQ,所以OP∙OQ=1-y|y2+1|2+1=y120=1+1=1，y21(y2-1)2+4y2所以2p=1,C的方程为=x，11所以抛物线y与圆M相切；AA所以直线223,AM因为M(0,2),⊙M与x=1相切，所以半径为(x-2)2+y=1；⊙M的方程为1，与圆相切，则直线AAAAA直线综上若121323所以2M相切与圆.(x),A(x,y),A(x,y)，斜率不存在，则方程为x=1或Ay()（2）设121.解（:1）当a=2时，fx=2x2,11222333AAAA12若x12()2x⋅2-x⋅2ln2=x⋅2x2-xln2x=3，()f′x=2xx(2)2x,4(1,1)方程为x=1，根据对称性不妨设AAA1x若，12得x=ln2,当0<x<ln22时，2与圆M相切的另一条直线方程为()()Ay=1，则过fx=0fx>0,令′′1此时，不合题意；该直线与抛物线只有一个交点，即不存在2数()当x>ln2时，fx<0,′A学篇322方程为x=3，根据对称性不妨设A(3,3)，()æ0,ùé,+∞öAA若fx则函数在ln2上单调递增；在ln2èûëø12154A2(3,-3)，上单调递减；高考链接lnx=两边取对数可得x()xa=1可得a=x而3-22<2-2，∴两圆内含，∴曲线C与没有公共点（2）由fx=xaa.xC1lna,{[选修4-5：不等式选讲]a()lnx,2-x,x<2,||设函数gx=23.解（:1）可得f(x)=x-2=x-2,x≥2,画出图x1-lnx()g(),令gx=x=0，得x=e,则′′象如图6所示,x2()()()0,egx>0,gx单调递增；在内′()()()()()gx<0,gx单调递减；′∴gx=ge=1,e,+∞在上emax()()gxg1=0又，当0，x趋近于+∞时，趋近于()y=fxy=1所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线y=lnaa有两个交点的充分()y=gx图6图7lna1()()<,这即是0<ga<ge,ì-4,x<-23,0<必要条件是aeïï()().||4x+2,-23≤x<21，画出所以a的取值范围是1,e⋃e,+∞||g(x)=2x+3-2x-1=íï（二）选考题