以直线为基准的高精度平行度误差值的求法

以直线为基准的高精度平行度误差值的求法

1基准直线方程在智能制造和检测领域，平行度误差是一项非常重要的技术水平。属于“位置误差”的“方向误差”范畴，用来解释三维物体与基准之间的平行度。本文把基准为空间直线的平行度误差问题,单列出来进行讨论。为讨论方便,设基准直线方程为1:x-x0a=y-y0b=z-z0cx−x0a=y−y0b=z−z0c;→Τ(a‚b‚c)为l的方向矢量,P0(x0,y0,z0)为l经过的点;被测对象上的测量点为Pk(xk,yk,zk)(k=1～m),因被测对象可以是直线,也可以是平面,故要解决的问题包括以下二个方面:1.1平行度误差值这时的平行度误差是指:在过基准直线l的平面族中,存在这样一个平面,使得被测平面各点到该平面的距离之最大值与最小值之差达到最小,该差值即为平行度误差值。换一种等价的说法:作一个以基准直线l的方向为法向的平面πl,如图一所示,令被测平面上的各点Pk(k=1～m)投影到πl,各投影点的直线度误差值(二维的)即为平行度误差之值。1.2平行度误差值这时的平行度误差是指:以基准直线l方向作一族小圆柱,使圆柱包容被测直线所有的测量点,则该族圆柱中直径最小者(即最小包容柱)直径之值即为平行度误差值。换一种说法:作一个以l方向为法向的平面πl,令被测直线上的各测量点Pk(k=1～m)向πl投影,则该平行度误差为平面πl上包容所有投影点的最小外包圆的直径之值。2使用高精度的“直线度误差”计算程序,求解“基准直线”基准直线1有给定与非给定两种情况,以下分别进行讨论:2.1如果l已给定,即→Τ(a‚b‚c)、P0(x0,y0,z0)已知,则上述的二个方面的内容就归结为如下二个方面的问题:1)对于“面对线”问题,很容易作平面πl⊥l,令被测平面上各点Pk(xk,yk,zk)(k=1～m)在πl上投影,投影点的直线度误差值正好可以用以描述解决“面对线”平行度误差。直线度误差(此时是二维的)属“形状误差”范畴,需要采用高精度的“直线度误差”计算程序加以解决,才能获得精准的基准直线;2)对于“线对线”问题,同样作平面πl,求被测直线上各点Pk(xk,yk,zk)(k=1～m)在πl上投影,再求投影点的最小外包圆直径,该直径值即“线对线”平行度误差值。求取“最小外包圆”,同样需要高精度计算程序加以解决。2.2如果基准直线不是给定的,只给出基准直线上测量点Qp(xp,yp,zp)(p=1～n),则必须先设法通过Qp(p=1～n)把基准确定下来,然后继续进行上述“面对线”或“线对线”的平行度误差计算。按文献规定,必须通过基准直线的“空间直线度误差”求取过程,以获得基准直线的各个参数(即直线l方程中之a、b、c、x0、y0、z0各值),而且“空间直线度误差”算法同样必须符合“最小区域”原则,求得的基准直线才是最精确的。直线度误差亦属于“形状误差”范畴,同样需要采用针对性的算法程序加以解决。3寻求或选择“直线度误差”三维计算方法基于以上所述,我们可以把解决平行度误差计算的关键技术,归纳为如下三个内容:3.1当基准直线l是由一系列测量点Qp(p=1～n)来描述,要通过Qp(p=1～n)来求取基准l,就必须寻求或选择一种符合“最小区域”概念与评定准则的“直线度误差”(三维)计算方法,在计算直线度误差过程给出直线l方程的各参数a、b、c、x0、y0、z0之值,以确立基准l;3.2在计算被测平面相对于基准直线l的平行度误差时,必须寻求或选择一种符合“最小区域”概念的“直线度误差”(二维)计算方法,所得到的直线度误差之值,就是我们所要求取的平行度误差值;3.3在计算被测直线相对于基准直线l的平行度误差过程中,要针对平面πl上的投影点,寻求一种能包容这些投影点的“最小外包圆”计算方法,该“最小外包圆”的直径就是我们所要求的平行度误差值;4数学模型的构建针对以上所列的三个技术关键内容,需要分别建立相应的数学模型,以便计算、分析:4.1直线度误差1p的基本概念基准直线上的测量点为Qp(xp,yp,zp)(p=1～n),设基准直线方程为l:x-x0a=y-y0b=z-z0c‚Qp到l的距离为:бp=√(xp-x′p)2(yp-y′p)2+(zp-z′p)2,(p=1~n);其中Q′p(x′p,y′p,zp)是Qp(xp,yp,zp)在直线l上的投影点,计算公式为:x′p=x0+atp,y′p=y0+btp,z′p=z0+ctp;这里tp=[a(xp-x0)+b(yp-y0)c(zp-z0)]/√a2+b2+c2;记直线度误差的目标函数:δ=max(бp)-min(бp),(p=1～n);令直线度误差f=min(δ)成立,就可求得基准直线l方程的各参数a、b、c、d及x0、y0、z0之值,由此得到符合“最小区域”准则的基准直线l。4.2gkxk,yk拟合的直线方程记被测平面上的点Pk(xk,yk,zk)(k=1～m)在某一平面上投影点为Gk(x″k,y″k),设将要通过Gk(x″k,y″k)拟合的直线方程为l2:y+ax+b=0,任一点Gk到l2的距离为:бk=(y″k+ax″k+b)/,√1+a2(k=1～m);记直线度误差的目标函数δ=max(бk)-min(бk),(k=1～m);令直线度误差f=min(δ)成立,即可求得符合“最小区域”准则的直线度误差值。4.3包日金gkk记被测直线上的点Pk(xk,yk,zk)(k=1～m)在二维平面上投影点为Gk(x″k,y″k)(k=1～m),设包容点集Gk(k=1～m)的圆方程为c:(x-x0)2+(y-y0)2=R2,显然,对于Gk,必须满足:(x″k-x0)2+(y″k-y0)2≤R2(k=1～m);令平行度误差的目标函数f=min(2R)成立,即可求得R、x0、y0各值,圆c即为符合“最小包容”准则的最小外包圆,圆c之直径即为平行度误差值。5算法的选择针对上述三个数学模型,以下分别寻求相应的算法。5.1直线l的距离算法思路:对于点集Pk(xk,yk,zk)(k=1～n),设基准直线为l:x-x0a=y-y0b=z-z0c,Pk(k=1～n)到l的距离之最大者δ,通过有目的变动直线l的位置,让δ值随之而降下来。“变动”可以分解“移动”和“转动”两项操作,以下讨论如何对直线l“移动”和“转动”:移动:即对于直线l,不改变a、b、c,只改变参数x0、y0、z0,以使δ下降。具体方法是:设Pk(k=1～n)在l上的投影点为Qk(k=1～n),记δ=|QvPv|=max(|QkPk|)(k=1～n)。沿QvPv取点Qv′,使|QvQv′|=ε1(ε1是一个很小的步长),过Qv′作直线l′//l,显然Pv到直线l′的距离小于Pv到直线l的距离,这就为直线l的移动带来可能。究竟能否“移动”,要由Pk(k=1～n)到直线l′的最大距离δ′来判断:如果δ′<δ成立,说明确实把δ值降下来了,这正是我们所期望的,以直线l’取代l;如果δ′<δ不成立,有2种可能:a)ε1取值不合适,可改变ε1的大小,重新移动直线l并作同样的判断;b)ε1值已经很小,达到了计算的控制精度,则停止对直线l移动,此时若以l为轴线、以δ为半径作圆柱,它就是包容Pk(k=1～n)的一个外包圆柱。转动:即尝试对l进行转动,视l转动后能否使δ下降,以决定是否实施转动。记Pk(k=1～n)中距直线l的两个最远点为Pi、Pj,其在l上投影分别为Qi、Qj,如图2示。沿着QiPi取点Qi′,使QiQi′=ε2(ε2为很小步长),沿QjPj取点Qj′,使QjQj′=ε2,连接Qi′、Qj′作直线l′,l′可能把δ值降下来。证明:设Pi在l′的投影为Pi′,则点Pi′、Qi、Qj、Pi落在由直线l、l′构成的平面上,见图2,△PiPi′Qi中,因PiPi′⊥l′,故∠PiPi′Qi为钝角,因钝角的任一邻边必小于对角边,故PiPi′<PiQi;同理,对于Pj也存在类似的一个钝角三角形,使得PjPj′<PjQj,故|PiPi′|+|PjPj′|<|PiQi|+|PjQj|成立,这表明δ值的下降是可能的。“可能”能否成为事实,同样要视点集Pk(k=1～n)至直线l′最大距离的变化情况来判断:若Pk(k=1～n)到l′的最大距离降了,则直线l′取代直线l,然后对l再进行“转动”并判断。否则的话,减小ε2之值,即减小转动幅度,重新转动l生成l′,重复上述的判断。计算终止的条件:当ε1、ε2值已经很小,不论“移动”还是“转动”直线l,都不能使δ值降下来,此时即可终止计算,δ值即为点集Pk(k=1～n)的空间直线度误差值。参考文献,各给出了一个算例,原文给出的空间直线度误差值分别是8.25μm、0.060mm、36.7μm、0.0328mm、0.024932mm;以本算法编程计算得出的结果分别为6.335μm、0.050916mm、25.992861μm、0.031485mm、0.009185mm,算例结果比较表明,本算法占据精度优势。5.2计算直线转校本算法参考文献所提供的算法,其主要思想为:设平面点集Wk(xk,yk)(k=1～v),先通过“最小二乘法”拟合得到的初始基准直线为l2:y=kx+b,点集Wk(k=1～v)到直线l2距离中最大值为δi、最小值为δj,对应的点为Wi、Wj。记Ai、Aj分为Wi、Wj在直线l2的投影点,即WiAi=δi,WjAj=δj,记δ=|δi|+|δj|。沿着AiWi方向取一个点Ai′,AiAi′=ε(很小的步长),沿着AjWj方向取一个点Aj′,AjAj′=ε;过Ai′、Aj′做一条新直线l′,l′与l的夹角很小,可以视l′为l作微小转动以后获得的。然后对Wk(k=1～v)与直线l之间的距离计算、δ值的比较判断、l的转动,方法类同前述“三维直线度”中“转动”的思想与方法,直至求出满足“最小区域”准则的直线度误差值与基准方程l。参考文献都各给出了一个算例,原文计算得出的平面直线度误差值分别是45μm、6.6μm、28.8μm、7.8μm、6.048μm(实为7.15μm);以本算法编程计算得出的结果分别为44.799μm,6.599881μm,28.2161μm、6.60μm、6.065μm,算例结果比较表明,本算法占据精度优势。5.3点集gkk本算法参考文献所提供的“最小外包圆”算法,其主要思想为:对于平面点集Gk(k=1～n),首先找出一条外包折线,折线对应的点集Gk′(k=1～n′),显然点集Gk′(k=1～n′)是个凸集,且点集Gk′(k=1～n′)点集Gk(k=1～n)。再从点集Gk′(k=1～n′)中剔除那些使得“三点成一线”的中间点,剩下的点记为点集Gk″(k=1～n″)点集Gk′(k=1～n′)。找出点集Gk″(k=1～n″)的所有外包圆,从中找出最小圆,就是我们所要的“最小外包圆”。需要指出的是,此“最小外包圆”圆周上可能有Gk(k=1～n)某两个点、某三个点,或更多个点。参考文献都各给出了一个算例,原文计算得出的最小外包圆半径分别是25.6532、50.001341、50.001357、14.71324、0.1134;以本算法编程计算得出的结果分别为25.50、50.00131、50.00131、14.7086、0.1005,算例结果比较表明,本算法占据精度优势。6程序框架图和算术示例分析6.1总结图6.1.1采用平面直方法计算平面位移误差6.1.2采用线条法计算平面差的误差6.2参考文献所带来的算法为了验证程序的正确性,我们收集了许多算例加以验算,结果表明本程序的开发是成功的,程序在计算精度上有一定的优势,达到预想的目的,以下各列出2个“面对线平行度误差”、“线对线平行度误差”算例加以说明。参考文献均给出了一个“面对线”算例,原文给出的平行度误差分别为10.0μm、10.678857μm;本程序计算得到的结果为6.66667μm和5.69515μm。参考文献也各给出了一个“线对线”算例,原文给出的平行度误差分别为0.740598μm(该值偏小是由于原文基准的计算结果精度低所致)、0.0372mm