冀教版八年级数学上册 （线段的垂直平分线）课件(第1课时)

第十六章

轴对称和中心对称线段的垂直平分线第1课时

知识回顾1.什么叫做线段的垂直平分线？2.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线或者说中垂线.情景导入如图所示,木条l与AB钉在一起,l垂直平分AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现?获取新知知识点线段垂直平分线的性质1ABlP1P2P31.画出线段AB的中垂线l，垂足为C；在l上任取一点P1，连结P1A、P1B；量一量P1A、P1B的长，你能发现什么？在l上任取一点P2，P2A、P2B的长呢？在l上任取一点P3，P3A、P3B的长呢？2.沿直线l对折线段AB，使端点Ａ与端点Ｂ重合，再次观察上述线段的关系.①用对称的知识说明.如图,直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证：PA=PB.ABPCl②用全等的知识进行推理.证明：∵l⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°.又AC=CB,PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS).

∴PA=PB.线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.几何语言：∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上，∴PA=PB.BAOPMN温馨提示：这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法.归纳例1如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D，(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2)若BC＝4，求△BCD的周长．分析：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长．

例题讲解解：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周长为8，∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)∵BC＝4，∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.【名师点睛】本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，已知两个即可求得第三个．

解：AB=AC=CE;AB+BD=DE.理由如下：

∵AD⊥BC，BD=DC，

∴AD

是BC

的垂直平分线，

∴AB=AC．∵点C

在AE的垂直平分线上，

∴AB=CE．∴AB=AC=CE．∵BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE.变式练习1

如图，AD⊥BC，BD=DC，点C

在AE

的垂直平分线上，AB，AC，CE

的长度有什么关系？AB+BD与DE

有什么关系？ABCDE变式练习2如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.

解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出AB＝BF，再结合（1）即可解答．证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.知识点线段垂直平分线性质定理的应用2例2

已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试确定一点P，使得AP+BP最短.lAB解：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B,交直线l于点P，则AP+BP最短.A'PlABA'P由作图可知，l是AA'的中垂线理由如下：在l上另取一点M，连接MA,MB,MA'∴AP=A'P,AM=A'M（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）∴AP+BP=A'P+BP=A'BAM+BM=A'M+BM由“两点之间线段最短”可得A'B＜A'M+BM即AP+BP最短M变式练习3

如图，已知牧马人营地在M处，每天牧马人好先赶马群到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，试着设计出最短的的木马路线？营地M草地河M'M''（2）若A、B两点在直线的同侧，作其中一个点关于直线的对称点，化同侧为两侧，化折线段为一条直线段；求线段和最短问题的实质：（3）最后利用“两点之间线段最短”加以解决.（1）若A、B两点在直线两侧，直接连接A、B两点，直线段最短；随堂演练1.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(

)

A．AB＝ADB．CA平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DECC2.如图，线段AC的垂直平分线交线

段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(

)A．50°B．100°C．120°D．130°B2.如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是(

)A．AM>CMB．AM＝CMC．AM<CMD．无法确定B3.如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长是

.ABCDE10cm4.如图，在△ABC

中，BC=8，AB的中垂线交BC

于D，AC

的中垂线交BC

与E，则△ADE的周长等于_________．ABCDE8cm5.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，点A、B到河边的距离分别为AC、BD且AC=BD，点A、B到CD的中点的距离均为500m.牧童从A出把牛牵到河边饮水后再回家，请你设计出最短路线.BACDA'M'解：如图，最短路线是A--M′--B.6.已知：如图，D、E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E.求证：AC=ABACBDE证明：如图连结B，C.∵AD=BD，CD⊥AB∴AC=BC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∵AE=CE，BE⊥AC∴AB=BC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∴AC=AB课堂小结线段垂直平分线的性质内容见垂直平分线，得线段相等线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等应用第十六章

轴对称和中心对称线段的垂直平分线第2课时

知识回顾什么叫做线段的垂直平分线？线段垂直平分线的性质定理内容是什么？垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.几何语言：∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上，∴PA=PB.ABPCl情景导入动手操作：在练习本上以线段AB为底边做等腰△PAB.不确定可以作无数个△PAB的形状和大小是确定的吗？符合条件的△PAB能作几个？观察：你所画出的所有点P的位置，有什么特征？在一条直线上推测：这条直线与线段AB的关系这条直线是线段AB的中垂线ABP思考：当PA=PB时，点P一定在AB的中垂线上吗？折一折获取新知知识点线段垂直平分线性质定理的逆定理1PAB已知：如图，点P是线段AB外一点，且PA=PB．求证：点P

在线段AB

的垂直平分线上．一起探究1.线段垂直平分线性质定理的逆命题是什么？2.结合图形写出这个逆命题的已知和求证.3.猜想这个逆命题的真假，并试着说明理由.4.小组合作完成猜想的证明．证明：设线段AB的中点为O,连接PO并延长.在△POA和△POB中,∴△POA≌△POB(SSS)，∴∠POA=∠POB，∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°.∴直线PO是线段AB的垂直平分线，∴点P在线段AB的垂直平分线上.PAB0还可以怎么做辅助线？证明：作∠APB的角平分线PO,交PO于点O.在△POA和△POB

中，

PA=PB，∠APO=∠BPO，PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS）．∴∠POA=∠POBPABO∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°.∴直线PO是线段AB的垂直平分线，∴点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P

作AB

的垂线PO，垂足为点O．则∠POA=∠POB=90°．在Rt△P0A

和Rt△P0B

中，

PA=PB，PO=PO，∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）．∴AO=BO．又PO⊥AB，∴点P

在线段AB的垂直平分线上．PABO这个方法下一章将要学.到一条线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．几何语言：如图，∵PA=PB，∴点P

在AB

的垂直平分线上．PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.归纳线段垂直平分线性质定理的逆定理(2)若PA=PB,同时MA=MB,则直线PM是线段AB的中垂线吗？PABl不一定是.理由：经过一点的直线有无数条.思考：(1)若PA=PB,过点P作直线l,则l是线段AB的中垂线吗？是.理由：两点确定一条直线.M归纳几何语言：如图，∵AB=AC，MB=MC，∴点A、M均在线段BC的中垂线上∴AM垂直平分BCA

B

C

D

M用线段垂直平分性质定理的逆定理判定线段垂直平分线的条件：必须有两个点到这条线段的两端距离相等.判定线段垂直平分线的方法1.用线段垂直平分线的定义.2.用线段垂直平分线性质定理的逆定理，推出两个点都在线段的线段垂直平分线上，则过这两个点的直线就是这条线段的线段垂直平分线.总结例1

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分

∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线．分析：根据全等证CD＝DE，所以点D

在CE的垂直平分线上，只要再证点A也在CE的垂直平分线上，就能解决问题．证有两点在线段的垂直平分线上哦！例题讲解证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠DAE,∵DE⊥AB，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

在△ADC和△ADE中，

∠DAC=∠DAE,∠AED＝∠ACB，AD＝AD，

∴△ADC≌△ADE，

∴AC＝AE，CD＝ED，

∴点A、点D在CE的垂直平分线上，

∴直线AD是CE的垂直平分线．变式练习1

如图，四边形ABCD是一个“风筝”骨架，其中AB=AD,CB=CD.CBADE(1)小明认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD,垂足为E,并且BE=EB,你同意他的说法吗？解：同意，理由∵AB=AD,CB=CD，∴AC是BD的垂直平分线，∴AC⊥BD,BE=EB.CBADE(2)设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.知识点线段垂直平分线性质定理和逆定理的综合运用2例2已知：如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P

求证：点P在BC的垂直平分线上（1）由已知条件想到哪个定理？线段垂直平分线的性质定理（2）由结论想到哪个定理？线段垂直平分线的性质的逆定理ABPCDE证明：连接PA、PB、PC.∵点P在AB、AC的垂直平分线上（已知）∴PA＝PB，PA＝PC

（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等）∴PB＝PC（等量代换）∴点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)

你发现了什么结论？三角形的三边的中垂线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.归纳ABPCDE

变式练习2

如图，A,B,C表示三个居民小区，为丰富居民的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（

）A.AC,BC两边高线的交点处B.AC,BC两边中线的交点处C.AC,BC两边中垂线的交点处D.∠A,∠B两内角平分线的交点处CBAC1.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(

)

A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分AB

C．AB与