模糊数学的基础知识

模糊数学知识小结与模糊数学相关的问题＞模糊聚类分析一根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系＞模糊层次分析法一两两比较指标的确定＞模糊综合评判一综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果模糊数学基础Fuzzy数学诞生的背景1）一个古希腊问题：“多少粒种子算作一堆？”2）Fuzzy概念的广泛存在性，如“找人问题”3）何谓Fuzzy概念？，如何描述它？由集合论的要求，一个对象x,对于一个集合，要么属于A,要么不属于A,二者必居其一，且仅居其一，绝对不允许模棱两可。这种绝对的方法，是不能处理所有科学的问题，即现实生活中的一切事物一切现象都进行绝对的精确化时行不通的，从而产生模糊概念。模糊与精确的关系对立统一，相互依存，可互相转化。-精确的概念可表达模糊的意思：如“望庐山瀑布”“飞流直下三千尺，凝是银河落九天”-Fuzzy的概念也能表达精确的意思：模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西，而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用精确的数学方法去研究处理模糊现象。模糊性与随机性的区别事物分确定性现象与非确定性现象确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象。非确定性现象分随机现象与模糊现象随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义，只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性。模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模糊的。模糊数学的广泛应用性模糊技术是21世纪的核心技术模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域：1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等。2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析。3）工业过程控制方面：模糊控制技术是复杂系统控制的有效手段。4）家电彳丁业：模糊家电产品，提咼了机器的“IQ"。

)航空航天及军事领域：飞行器对接C3I指挥自动化系统，NASA。)人工智能与计算机高技术领域：模糊推理机、F专家系统、F数据库、F语言识别系统、F机器人等，F-prolog、F-C等。)其它：核反应控制、医疗诊断等。第1章模糊集的基本概念模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的.然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.尽管这里只提供了一个精确信息一一男人，而其他信息一一大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人。模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.处理显示对象的数学模型可分为：确定性数学模型随机性数学模型模糊性数学模型模糊理论的数学基础经典集合经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xwA),要么不属于集合(记作x^A)，二者必居其一。也就是说经典集合具有非此即彼的特点。互异性，确定性。模糊子集及其运算模糊子集与隶属函数设U是论域，称映射A(x)：UTO,1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.经典集合的隶属函数的值不是0就是1。A(x)三0，则A=0；A(x)三1，则A为全集。注：1：使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具有模糊性•隶属度为0.5的点是模糊性最高的点。2：当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.可定义为A（X）190-140也可用Zadeh表示法:例：设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(也可用Zadeh表示法:TOC\o"1-5"\h\z00.20.40.60.81A=+++++xxxxxx123456模糊集的运算(模糊集的运算都转化到了他的隶属函数上)相等：A=BoA(x)=B(x)；包含：AcBoA(x)WB(x)；并:AUB的隶属函数为(AuB)(x)=A(x)VB(x)；C隶属度取大)交：AnB的隶属函数为(AnB)(x)=A(x)AB(x)；(隶属度取小)余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).模糊集的并、交、余运算性质：幂等律：AUA=A，AnA=A；交换律：AUB=BUA，AnB=BnA；结合律：(AUB)UC=AU(BUC)，(AnB)nC=An(BnC)；吸收律：AU(AnB)=A，An(AUB)=A；分配律：(AUB)nC=(AnC)U(BnC)；(AnB)UC=(AUC)n(BUC)；0-1律：AUU=U，AnU=A；Au©=A,An©二©；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(AuB)c=AcnBc，(AnB)c=AcuBc；(注：模糊集不满足排中律)即不满足AuAc=UAnAc=0模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特.征模糊集的基本定理九-截集：(A)入二A厂{x|A(x)三九}。模糊集的九-截集A入是一个经典集合，由隶属度不小于九的成员构成.(九为置信水平)例：论域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95,A二“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则A(90分以上者)={u,u},0.956A(60分以上者)={u,uuuu}0.623,4,5,6A为模糊集合，但AA为经典集合.0.90.6定理1设A,Be3(U)(A,B是论域U的两个模糊子集)，九,pw[0,l]，于是有「截集的性质：AcBnA圧B入；九WpnA二A；入—u(AUB)广A)UB“(AnB)厂A)nB).九九九九九九定理2(分解定理)设Ae3(U)，VxeA，则

A(x)=V{X,w九[0,1],xwAJ定义(扩张原理)设映射f：XtY,定义f(A)(y)=V{A(x),f(x)=y}隶属函数的确定模糊数学的基本思想就是隶属函数的思想,应用模糊数学方法建立模型的关键是构造隶属函数。模糊统计方法：与概率统计类似,但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内,则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”。此法构造隶属函数的步骤：作模糊统计试验(如发放调查表)对获得的统计数据区间进行分组处理,并求组号,组中距,覆盖频率等。列统计表,并求各分组区间的覆盖频率或隶属频率。画隶属函数曲线图(即为所求的隶属函数的曲线)指派方法一种主观方法,一般给出隶属函数的解析表达式。择优比较法4,二元对比排序法(用于实际不容易量化的指标)5,利用Matlab中的模糊工具箱(《模糊数学及其应用》P7)第2章模糊聚类分析2.1模糊矩阵定义1设R=(r)，若0WrW1,则称R为模糊矩阵.当r只取0或1ijmxnijj时，称R为布尔(Boole)矩阵.(设X={x,x,„,x},Y={y,y,…,y},R为从X到Y的二元关系,12m12n记yjr二R(x,y),R二(r),ijijjmxn则R为布尔矩阵(Boole),称为R的关系矩阵.布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵)当模糊方阵R=(r)的对角线上的元素r都为1时，称R为模糊自反矩阵.ijnxnij定义2设A=(a),B=(b)都是模糊矩阵，ijmxnijmxn相等：A=Boa=b；ijij包含：AWBoaWb；ijij

并：AUB=(aVb)；ijijmxn余：Ac=(1-a.交：A交：AnB=(aAb)；ijijmxnijm&ij3，模糊矩阵的并、交、余运算性质幕等律：AuA=A,AnA=A；交换律：AuB=BuA,AnB=BnA；TOC\o"1-5"\h\z结合律：(AuB)uC=Au(BuC),吸收律：Au(AnB)=A,(AnB)nC=An(BnC)；An(AuB)=A；分配律：(AuB)nC=(AnC)u(BnC)；0-1律：AuO=A,AnO=O；(AnB)uC=(AuC)n(BuC)；AuE=E,AnE=A；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(AuB)c=AcnBc,(AnB)c=AcuBc模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂设A=(a),B=(b),定义模糊矩阵A与B的合成为：ikmxskjsxnA°B=(c)ijmxn其中c=V{(aAb)|lWkWs}.ijikkj模糊方阵的幂定义：若A为n阶方阵，定义A2=AA,A3=A2°A,…，Ak=Ak一i例如：'0.10.3]3_(例如：'0.10.3]3_(0.3、0.40.7丿[0.40.3](0.10.7J[0.40.3、(0.30.7J10.40.3、0.7丿模糊矩阵的九-截矩阵称A厂（a（九））为模糊矩阵A的九ijm称A厂（a（九））为模糊矩阵A的九ijmxnijmxn-截矩阵，其中当a鼻九时，a（九）=1；当aV九时，a（九）=0.ijijijij模糊关系与模糊子集是经典集合的推广一样,模糊关系是普通关系的推广.定义:设有论域X,Y,XxY的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系.模糊子集R的隶属函数为映射R:XxYt[0,1].并称隶属度R（x,y）为（x,y）关于模糊关系R的相关程度.特别地,当X=Y时,称之为X上各元素之间的模糊关系.模糊关系的运算由于模糊关系R就是XxY的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.设R,R,R均为从X到Y的模糊关系.12相等：R=RoR相等：R=RoR(x,121y)=R(x,y)；2包含：R匸RoR121(x,y)WR2并：RUR的隶属函数为12(RuR)(x,y)=R(x,y)VR(x,y)；1212交：RnR的隶属函数为12(RnR)(x,y)=R(x,y)AR(x,y)；1212余：Rc的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).(RUR)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R或者R”的相关程度，(Rn12121R)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R且R”的相关程度，Rc(x,y)表示(x,y)212对模糊关系“非R”的相关程度.模糊关系的矩阵表示对于有限论域X={x,x，…,x}和Y={y,y,…,y}，则X到Y模糊关12m12n系R可用mxn阶模糊矩阵表示，即R二(r)mXn，ij其中r=R(x,y)e[0,1]表示(x,y)关于模糊关系R的相关程度.ijijij又若R为布尔矩阵时，则关系R为普通关系，即x与y之间要么有关系(r=ijij1),要么没有关系(r=0).ij模糊关系的合成设R是X到Y的关系，R是Y至UZ的关系，则R与R的合成R•R是X121212到Z上的一个关系.(R°R)(x,z)=V{[R(x,y)AR(y,z)]|yeY}1212当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.设X={x,x,…，x},Y={y,y,…，y},Z二{zl,z2,…，zn}，12m12s且X到Y的模糊关系R二(a),Y到Z的模糊关系R二(b)，则X到Z的1ikmxs2kjsxn模糊关系可表示为模糊矩阵的合成：R°R二(c)12ijmxn其中c=V{(aAb)|lWkWs}.ijikkj模糊等价矩阵

1：模糊等价关系若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；⑵对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)传递性：R2cR,则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.当论域X={x,x，…,x}为有限时，X上的一个模糊等价关系R就是模糊等12n价矩阵，即R满足：R2WR(oV{(rAr)|1WkWn}Wr).ikkjij2：模糊等价矩阵的基本定理定理1若R具有自反性(IWR)和传递性(R2WR),则R2=R.定理2若R是模糊等价矩阵，则对任意Xe[0,1],R尢是等价的Boole矩阵.定理3若R是模糊等价矩阵，则对任意的0WXVyW1,Ry所决定的分类中的每一个类是R尢决定的分类中的某个类的子类.3：模糊相似关系若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：自反性：R(x,x)=1；对称性：R(x,y)=R(y,x)；

则称模糊关系R是X上的一个模糊相似关系.当论域X={x,x…x}为有限时，X上的一个模糊相似关系R就是模12n糊相似矩阵，即R满足：自反性：IWR(or=1)；ij对称性：RT=R(or=r).ijji模糊相似矩阵的性质定理1若R是模糊相似矩阵，则对任意的自然数k，Rk也是模糊相似矩阵.定理2若R是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数k(kWn)，对于一切大于k的自然数1,恒有Rl=Rk，即Rk是模糊等价矩阵(R2k=Rk).此时称Rk为R的传递闭包，记作t(R)=Rk.上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.平方法求传递闭包t(R):RtR2tR4tR8tR16t…§2.4模糊聚类分析数据标准化,n2,x)1m设论域X={x1,x2,…，xn}为被分类对象，每个对象又由m个指标表示其形状:xi={xi1,xi2,…,xim},i=1,n2,x)1mxxx2mx2mxx2122x丿nm.xxx丿nmn1n2

平移标准差变换x-x(i=1,2,...,n,j=1,2,...,m)平移标准差变换x-x(i=1,2,...,n,j=1,2,...,m)x:=ij/ijsj其中1=艺x,s=1艺(x-x)2jniji=1j、njji=i平移极差变换，X-minxI1<i<n}X=ijjjmaxXI1<i<n}-minXI1<i<n}ijij模糊相似矩阵建立方法相似系数法夹角余弦法r=ijikjk相似系数法相关系数法距离法rij=1一cd(xi,xj)其中c为适当选取的参数.海明距离md(x,x)=zIx一xIijikjkk=1欧氏距离d(x,x)=ij第3章模糊模型识别1模糊模型识别

模型识别已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别.模型识别在实际问题中是普遍存在的.例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别.模糊模型识别所谓模糊模型识别,是指在模型识别中,模型是模糊的.也就是说,标准模型库中提供的模型是模糊的.模型识别的原理为了能识别待判断的对象X=(x,x，…，x)T是属于已知类Al,A2,…，Am中12n的哪一类？事先必须要有一个一般规则，一旦知道了x的值，便能根据这个规则立即作出判断,称这样的一个规则为判别规则.判别规则往往通过的某个函数来表达，我们把它称为判别函数，记作W(i；x).一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否正确.3.2最大隶属原则模糊向量的内积与外积定义称向量a=(a,a,…，a)是模糊向量，其中0WaW1.若ai只取0或TOC\o"1-5"\h\zl2ni1，则称a=(a，a，…，a)是Boole向量.l2n设a=(a，a，…，a)，b=(b，b，…，bn)都是模糊向量，则定义12n12内积：a°b=V{(aAb)|lWkWn}；kk外积：a©b=A{(aVb)|lWkWn}.kk内积与外积的性质(a°b)c=ac©bc；(a©b)c=ac°be.最大隶属原则最大隶属原则I设论域X={x,x2，…，xj上有m个模糊子集Al，A2，…，Am(即m个模型)，构成了一个标准模型库，若对任一x0GX,有kw{l,2，„，m},使得A(x)=V{A(x),A(x)，…，Am(x)},k010200则认为x0相对隶属于A.k最大隶属原则II设论域X上有一个标准模型A,待识别的对象有n个：xl,x2,…，xGX,如果有某个x满足nkA(x)=V{A(x)，A(x)，…，A(x)}，kl2n则应优先录取x.k例1在论域X=[0,100]分数上建立三个表示学习成绩的模糊集A=“优”，B二“良”，C=“差”.当一位同学的成绩为88分时，这个成绩是属于哪一类？0,A(x)=<x-80100,A(x)=<x-80100<x<80,80<x<90,90<x<100.C(x)=<1,80-x1000<x<70,70<x<80,80<x<100.0,x-7010B(x)=<1,95-x100,0<x<70,70<x<80,80<x<85,85<x<95,95<x<100;A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.根据最大隶属原则I,88分这个成绩应隶属于A,即为“优”.择近原则设在论域X={x,x,…，x}上有m个模糊子集A1,A2,…，Am(即m个模型),12n构成了一个标准模型库.被识别的对象B也是X上一个模糊集，它与标准模型库中那一个模型最贴近？这是第二类模糊识别问题.先将模糊向量的内积与外积的概念扩充.设A(x),B(x)是论域X上两个模糊子集的隶属函数，定义内积：A°B=V{A(x)AB(x)|xGX}；外积：A©B=A{A(x)VB(x)|xwX}.内积与外积的性质(AB)c=Ac©Bc；(AOB)c=Ac°Be；A°AcWl/2；AOAc$1/2.下面我们用a(A,B)表示两个模糊集A,B之间的贴近程度(简称贴近度)，贴近度a(A,B)有一些不同的定义.a0(A,B)=[A°B+(1-AOB)]/2(格贴近度)a1(A,B)=(A°B)A(1-AOB)择近原则设在论域X={x1,x2,…，xn}上有m个模糊子集A1,A2,…,Am构成了一个标准模型库,B是待识别的模型•若有kw{l,2,…，m},使得a(Ak,B)=V{a(Ai,B)|1WiWm},则称B与Ak最贴近，或者说把B归于Ak类.这就是择近原则.多个特性的择近原则设在论域X={x1,x2,…,xn}上有n个模糊子集A1,A2,…,An构成了一个标准模型库,每个模型又由个特性来刻划：Ai=(Ai1,Ai2,…,Aim),i=1,2,„,n,待识别的模型B=(B1,B2,…,Bm).先求两个模糊向量集合族的贴近度：si=A{a(A,B)|1WjWm},i=1,2,„,n,ijj若有ku{l,2,…，n}，使得a(Ak,B)二V{siI1WiWn},则称B与Ak最贴近，或者说把B归于A类.这就是多个特性的择近原则.k贴近度的的改进格贴近度的不足之处是一般a0(A,A)H1.定义(公理化定义)若a(A,B)满足a(A,A)=1；a(A,B)=a(B,A)；若AWBWC,则a(A,C)Wa(A,B)Aa(B,C).则称a(A,B)为A与B的贴近度.显然,公理化定义显得自然、合理、直观,避免了格贴近度的不足之处,它具有理论价值.但是公理化定义并未提供一个计算贴近度的方法,不便于操作.于是,人们一方面尽管觉得格贴近度有缺陷,但还是乐意采用易于计算的格贴近度来解决一些实际问题；另一方面,在实际工作中又给出了许多具体定义.模糊综合评判决策在实际工作中,对一个事物的评价或评估,常常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一因素的情况去评价事物,这就是综合评判。模糊综合评判的基本思想是利用模糊线性变换原理和最大隶属度原则，考虑与被评价事物相关的各个因素，对其作出合理的综合评价模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法。经典综合评判决策评总分法加权评分法模糊综合评判决策的数学模型设U={u,u,…,u}为n种因素(或指标)，V二{v,v,…,v}为m种评判(或12n12m等级).由于各种因素所处地位不同，作用也不一样，可用权重A=(al,a2,…，an)来描述，它是因素集U的一个模糊子集•对于每一个因素ui,单独作出的一个评判f(u),可看作是U到V的一个模糊映射f,由f可诱导出U到V的一个模糊关系I，由R可诱导出U到V的一个模糊线性变换ffTR(A)=A°R=B,它是评判集V的一个模糊子集，即为综合评判.(U,V,R)构成模糊综合评判决策模型，U,V,R是此模型的三个要素.模糊综合评判决策的方法与步骤是：⑴建立因素集U={u,u,…,u}与决断集V二{vl,v2,…,v}.12nm⑵建立模糊综合评判矩阵.对于每一个因素u，先建立单因素评判：i(r,r,…,r)ili2im即rij(0WrW1)表示vj对因素ui所作的评判,这样就得到单因素评判矩阵Rij=(rij)nXm.⑶几种常见没模糊综合评判模型.根据各因素权重A=(a,a,…,a)综合评判：B二A㊉R=(b,b,…,l2nl2b)是V上的一个模糊子集，根据运算㊉的不同定义,可得到不同的模型.模型I：M(A,V)——主因素决定型bj=V{(aAr),1WiWn}(j=1,2,…,m).iij由于综合评判的结果bj的值仅由ai与r(i=1,2,…,n)中的某一个确定(先取小,后取大运算),着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.模型II：M(・，V)——主因素突出型b=V{(ai•r),1WiWn}(j=1,2,…,m).JM(・，V)与模型M(A,V)较接近，区别在于用airij代替了M(A,V)中的aiA^。在模型M(1J•,V)中,对rij乘以小于1的权重ai表明ai是在考虑多因素时rij的修正值，与主要因素有关，忽略了次要因素.模型血M(A,+)——主因素突出型

b=E（aAr）（j=1,2,…，m）.模型III也突出了主要因素.在实际应用中，如果主因素在综合评判中起主导作用，建议采纳I,II,III,当模型I失效时可采用11,111.模型W：M（・，+）——加权平均模型b=E（a•r）（j=1,2,…,m）.此模型对所有因素依权重大小均衡兼顾,适用于考虑）各因素起作用的情况.例1.服装评判因素集U=｛u1（花色），u2（式样），u3（耐穿程度），u4（价格）｝；评判集V=｛评判集V=｛vl（很欢迎），v2（较欢迎）,对各因素所作的评判如下：u1：（0.2，0.5，0.2，0.1）u2：（0.7，0.2，0.1，0）u3：（0，0.4，0.5，0.1）u4：（0.2，0.3，0.5，0）v3（不太欢迎），v4（不欢迎）｝.'0.20.70.50.20.20.10.1、0R二00.40.50.1、0.20.30.50丿对于给定各因素权重A=(0.1,0.2,0.3,0.4),分别用各种模型所作的评判如下：M(A,V)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(・，V)：B=(0.14,0.12,0