最小二乘抛物曲线拟合

课程：数值方法班级：2009级数学与应用数学(师范)1班姓名：廖璐学号：200902114020最小二乘多项式拟合摘要本次实验通过利用最小二乘法的原理以及多项式讨论最小二乘抛物曲线拟合可以得到最小二乘多项式拟合，给出了实例的具体做法。关键词曲线拟合最小二乘法多项式抛物线正文一.最小二乘法原理设已知某过程y=f(x)的一组观测数据(x,y),k=1,2,...,Nkrk，555要求在某特定函数类寻找一个函数p(x)作为y=f(x)的近似函数，使其在xk上的误差e=p(x)-f(x),k=l,2,...,N按某种形式kkkk为最小这就是拟合问题。要求误差的平方和最小的拟合为曲线拟合的最小二乘法。也可以表示为均方根误差：E⑴=(丄£|f(x)-y|2)1/2的2Nkkk二1值最小。从几何意义上讲：就是数据点到曲线的垂直距离平方和的最小值。二.多项式拟合假设给定数据点(x,y),k=1,2,...,N，屮为所有次数不超过m(m<N)的多项式构成的函数类，现求一0k0k=1f(x)=ZcxkGV使得I二为[f(X)-y]2为最小。当拟合曲线为多项式时，nknkkk二0k二0称为多项式拟合，满足I的f(x)称为最小二乘拟合多项式。特别的n当n=1时,称为线性拟合或者直线拟合。本文具体探讨当n=2的情形，也就是抛物曲线拟合三.最小二乘抛物曲线拟合实验目的1.掌握拟合曲线的最小二乘法的原理和基本内容会利用最小二乘法求出抛物线实验要求1.了解最小二乘拟合曲线y二Ax2+Bx+C的原理和方法；根据具体点求解最小二乘抛物线系数绘制出曲线拟合图实验原理：由最小二乘抛物线y=f(x)=Ax2+Bx+C，通过使n(e⑴)=Z(aX2+Bx+c-y)2的值最小(即是令偏导数aE/aA,aE/a2kkkk二1B,aE/aC为零)得到的函数就是拟合函数(也称最小二乘解)实验基本步骤：.设｛(x,y小有N个点，横坐标是确定的。首先建kkki立最小二乘抛物线的系数表示为y二f(x)二Ax2+Bx+C。通过求表达式E(A,B,C)=Z(Ax2+Bx+c-y)2的最小值可得到A,B和C。kkkk二12.令偏导数aE/aA,aE/aB,aE/aC为零，可得dE(A,B,C)N0==2乙(Ax2+Bx+C一y)1(x2)kkkkk=1(Ax(Ax2+Bxkk+C一yk)1(xk)aE（A,B,C）N0==2乙（Ax2+Bx+C-y）i（l）kkkk二1利用加法分配律，可将上述中的A,B,C移到求和的外面，以得到正规方程NA+（NA+（乙x3）kk二1NB+（乙x2）kk二1NC=乙yx2kkk二1NA+（NA+（乙x2）kk二1NB+（乙x）kk二1厂KC=yxkkk二1（Kx2）kk二1NA+（（Kx2）kk二1NA+（乙x）kk二1左边二Kxkx2IkKxEkx2Ekx3x2]kx3kx4k丿1x1x211x2x221xx2A1111xx2x22Nx2N丿1xx2NN丿r11...1AfyA1右边二xx...xy212Nx2x2..・x2J12N丿yJN丿kw1B+NC=Kykk二1为了在matlab中实现可以表示成以下矩阵形式:x2N丿x2N丿；②接着令F等于个NX3的零矩阵用来存放1xx2111xx2221xx2NN因此，①首先建立一个3XN的零矩阵B(N=length(x)以存放xx12x2x2'12③然后给F赋值F(:,k)=x"(k-1)计算F和F'；rca④最后b=A-i*B<A丿实验程序：functionC=lspoly(X,Y,M)n=length(X);B=zeros(l:M+l);F=zeros(n,M+l);fork=1:M+1F(:,k)=X'.A(k-1);endA=F'*F;B=F'*Y';C=A\B;C=flipud(C);输入数据：X=[-3024]X=-3024>>Y=[3113]Y=3113>>M=2M=2输出结果：>>C=lspoly(X,YM)C=0.1785-0.19250.8505因止匕y=0.1785x2—0.1925x+0.8505结束语：通过实验可以更深刻的理解曲线拟合最小二乘法的基本原理，也更深刻的理解了数值方法应用的广泛性。本学期学习《数值方法》这门课，虽然在听课的时候很多东西都没有接触过感觉学习比较困难许多地方都不懂，但是我觉得自己还是有一些收获（比如