虚功原理讲解课件

第九章

虚功原理

和结构位移计算第九章虚功原理1§9.1位移计算概述1。位移计算的目的

验算结构的刚度（刚度条件、施工控制）计算超静定结构（力法）2。结构位移的分类

位移与变形（外因作用下）

刚体位移与形变位移

线位移：点沿直线移动；角位移：截面转动

广义力与广义位移§9.1位移计算概述1。位移计算的目的23。位移计算的原理与方法

积分法求挠曲线方程——实功原理求位移——能量法（功能原理）虚功原理——单位荷载法

线弹性体位移计算

应用条件（亦即叠加原理的应用条件）：

⑴

材料满足虎克定律

⑵

结构变形微小，不影响力的作用。（续）3。位移计算的原理与方法（续）3§9.2虚功和虚功原理●虚功的概念（虚功不虚！）

力P与经历的位移Δ独立无关（无因果关系！）“虚功”区别于“实功”，并非不存在。●虚功原理（包含虚位移原理和虚力原理）◆定义：外力所做的虚功等于外力产生的内力在微段上所做的虚功之和。◆虚功方程：外力虚功=内力虚功（）◆虚位移原理

位移状态：可能的位移；力状态：真实的平衡力系。§9.2虚功和虚功原理●虚功的概念（虚功不虚！）4（续）●虚力原理

位移状态：真实的位移（拟求）；

力状态：虚拟的平衡力系（加单位荷载）。●微元分析（计算变形体内力虚功）

广义力：N、Q、M；广义位移：dλ、dη、dθ

广义虚力：、、微元内力虚功：

（续）●虚力原理5§9.3单位荷载法及其位移计算公式

●

虚拟力——单位荷载（最简）

P=1或M=1或广义单位力（成对）●总外力虚功：

总内力虚功：●位移计算的一般公式：§9.3单位荷载法及其位移计算公式●虚拟力——单6§9.4荷载作用下的位移计算1。假设材料是线弹性的（满足虎克定律）轴向应变：平均切应变：弯曲应变：§9.4荷载作用下的位移计算1。假设材料是线弹性的（满足7（续）2。直杆在荷载作用下计算弹性位移一般公式：3。荷载作用下位移计算的步骤：

⑴沿拟求位移的位置和方向虚设相应的单位荷载；⑵由静力平衡条件，求出结构虚内力⑶由静力平衡条件，计算实际荷载下结构内力NQM⑷代入如上公式，计算Δ。

（续）2。直杆在荷载作用下计算弹性位移一般公式：8●

梁和刚架（仅取一项）

●

桁架●

组合结构●

拱●

微弯曲杆（同梁）4。各类结构的位移计算公式●梁和刚架95。荷载作用下位移计算举例（积分法）例1.求刚架（折杆）自由端A点的竖向位移（挠度）

ΔAY（E、I、A=常数）。llCABqxxCABxxP=1虚拟状态（力）实际状态（位移、变形）5。荷载作用下位移计算举例（积分法）例1.求刚架（折杆）101.逐杆建立坐标系，并分别写出实际状态的各杆内力方程。

AB段：

BC段：解：1.逐杆建立坐标系，并分别写出实际状态解：11（续）2.在A点加一竖向单位荷载作为虚拟状态，并写出该状态内力方程。AB段：

BC段：3.代入位移计算公式：（续）2.在A点加一竖向单位荷载作为虚拟状态，并12（续）（续）13其中，设h/l=1/10，取G=0.4E，k=1.2结论：⑴对于浅梁，轴力和剪力影响所占比重不大。⑵轴力项和剪力项通常可略去，仅取弯矩项。（续）其中，设h/l=1/10，取G=0.4E，k=114例2.计算图示桁架下弦中点C的挠度。已知各杆弹性模量，截面面积。例2.计算图示桁架下弦中点C的挠度。已知各杆弹性模量15求桁架如下位移：D点水平位移

DB间距改变

CD高差改变

CE杆转角

CD杆与CE杆相对转角（夹角DCE改变量）思考：虚拟状态（单位荷载）的选取求桁架如下位移：思考：虚拟状态（单位荷载）的选取16例3.图示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧AB的圆心角为α，半径为R。设沿水平线作用均布荷载q，求B点的竖向位移。并比较剪切变形和轴向变形对位移的影响。实际状态虚拟状态例3.图示为一等截面圆弧形曲杆AB，截面为矩形，圆弧AB17忽略小曲率杆的曲率影响，仍用直杆位移公式。实际荷载虚拟荷载

坐标变换：（续）忽略小曲率杆的曲率影响，仍用直杆位移公式。（续）18*例4.试求图示简支梁在中点C的竖向位移Δ，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响（梁的截面为矩形：b×h）。ql/2ABl/2CxP=1l/2ABl/2Cx实际位移状态虚拟力状态答案：*例4.试求图示简支梁在中点C的竖向位移Δ，并比较弯19§9.5图乘法（维利沙金,1925）一、图乘法的应用条件：●直杆●EI不变●至少有一个直线弯矩图（竖标应取自直线图）二、图乘法的计算公式公式推导示意图§9.5图乘法（维利沙金,1925）一、图乘法的应20三、图乘法公式的推导（同侧为正、异侧为负）三、图乘法公式的推导（同侧为正、异侧21四、图乘的分段和分块叠加常见图形的面积和形心

凸抛物线：凹抛物线：四、图乘的分段和分块叠加常见图形的面积和形心222.折线分段图乘与变截面分段图乘2.折线分段图乘与变截面分段图乘233.复杂图形分块图乘（面积和形心位置难确定）3.复杂图形分块图乘（面积和形心位置难确定）24五、图乘法计算位移举例求承受均布荷载的简支梁的跨中挠度。（思考：能否整块图乘？）五、图乘法计算位移举例求承受均布荷载的简支梁的跨中挠度。（思25

求悬臂梁自由端挠度（多种荷载分块）（错在哪?!）求悬臂梁自由端挠度（多种荷载分块）（错在哪?!）26

求伸臂梁悬臂端转角（跨内外分段、分块）求伸臂梁悬臂端转角（跨内外分段、分块）27

求三类刚架的位移与广义位移（相对位移）求三类刚架的位移与广义位移（相对位移）28

求在水压作用下刚架C、D两点相对水平位移，EI=常数。求在水压作用下刚架C、D两点相对水平位移，29

求三铰刚架铰C左、右两截面的相对转角，EI=常数。求三铰刚架铰C左、右两截面的相对转角，30

求组合结构位移（区分梁式杆与链杆公式）求组合结构位移（区分梁式杆与链杆公式）31§9.6温度变化时的位移计算●

静定结构温度变化时不引起内力，但结构产生变形和位移；●

应用单位荷载法的位移公式；●

内力虚功表达式（不产生剪切变形）：●

关键：求出由于温度变化引起的应变§9.6温度变化时的位移计算●静定结构温度变化时32●

温度变化时变形微元分析上下缘温差：平均温变：或（后式仅用于截面不对称于形心轴，即时）●温度变化时变形微元分析上下缘温差：33（续）当材料线膨胀系数为α，微段ds变形为：●计算温度变化引起的位移公式：（续）当材料线膨胀系数为α，微段ds变形为：●计算温度34●若沿各杆全长为常数，则公式为：●正负号规定：

轴力

以拉力为正，以温度升高为正；

弯矩

和温差引起同向弯曲为正，异向为负。（续）●若沿各杆全长为常数，则公式为：35算例●试求图示刚架C点的竖向位移。a=4m,α=0.00001,各杆截面为矩形，截面高度h=40cm.算例●试求图示刚架C点的竖向位移。a=4m,α36解：（续）解：（续）37§9.7支座移动时的位移计算●静定结构当支座有移动时，将发生刚体位移，不引起应变，也不引起内力。●刚体位移可用几何方法计算，也可用虚功原理求解。●单位荷载法的计算公式为：式中，c为实际的支座移动，是与P=1平衡的支座反力。§9.7支座移动时的位移计算●静定结构当支座有移38●计算支座移动引起位移的步骤:⑴沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载；⑵据平衡条件求相应于支座移动c方向的虚反力；⑶由公式计算位移Δ；（续）●计算支座移动引起位移的步骤:（续）39算例：求刚架由于支座下沉引起的位移刚架A支座下沉求B点水平位移求截面B转角算例：求刚架由于支座下沉引起的位移刚架A支座下沉求B点水平位40§9.8线性变形体系的互等定理●

功的互等定理

在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态位移上所作的虚功W12；等于第二状态的外力在第一状态位移上所作的虚功W21。外力虚功互等：1872年E.Betti(意大利）§9.8线性变形体系的互等定理●功的互等定理41证明：证明：42●位移互等定理由功的互等定理：故因有（续）

在任一线性变形体系中，由单位荷载P1=1引起的与荷载P2相应的位移在数值上等于由单位荷载P2=1引起的与荷载P1

相应的位移。（1864年J.C.Maxwell英国最早研究桁架位移时发现）●位移互等定理由功的互等定理：故因有（续）在任43●反力互等定理（续）由功的互等定理：有因故

在任一线性变形体系中，由单位支座位移c1=1所引起的与支座位移c2相应的支座反力，在数值上等于由单位支座位移c2=l所引起的与支座位移c1相应的支座反力。（1874年瑞利英国）●反力互等定理（续）由功的互等定理：有因故在任一44●反力位移互等定理：（量纲不同）●四个互等定理的应用范围：⑴线弹性结构（静定、超静定，满足虎克定律）；⑵结构变形（位移）微小（叠加原理成立）。结论：①功的互等定理最基本，可据之推导其它三个定理。变形体的虚功原理和线弹性体的互等定理是力学中的基本原理，是