2022年中考数学：四边形（一）

2022年中考数学专题：四边形（一）

1.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若

乙DCE=132°，则N4=()

2.如图，在SABCD中，AD=3,CD=2.连接AC,过点B作BE//AC,

交DC的延长线于点E,连接AE,交BC于点F.若^AFC=2zD,

则四边形ABEC的面积为（）

3.一个多边形的内角和为1800。，则这个多边形的边数为（）

A.10B.11C.12D.13

4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线,

则图中阴影部分的面积为（）

.3+7T

A.----B.TT—2C.1D.匕

22

5.如图,AABC是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且

乙DBE=30°,过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F,分别

交BC、AB于点H、G.现有以下结论:^AABC——;②当点D与点

C重合时，③AE+CD=V3DE;④当AE=CD时,四边形BHFG

为菱形，其中正确结论为（)

C.①②③④D.②③④

6.正多边形的一个外角等于60°,这个多边形的边数是（)

A.3B.6C.9D.12

7.如图1,回4BCD中，AD>AB,乙4BC为锐角.要在对角线BD上找点N,

M,使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案,

则正确的方案（）

取50中点O,作作£¥15。于N;作.4NCW分别平分

BN=NO,OM=MD：BADBCD

CM±BDTMI_Z____.____.Z___________

图2

A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是

C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

8.如图，矩形ABCD的对角线交于点。.已知=m,NB2C=",则下

列结论错误的是()

mm

A,乙BDC=LaB.BC=m-tanaC.AO=———D.BD=----

2sinacosa

9.如图，在正方形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且EF=2AE=

2CF,连接DE并延长交AB于点M,连接DF并延长交BC于点N,

连接MN,则产=()

321

A.-B.-C.1D.-

432

10.如图，F是线段CD上除端点外的一点，将AADF绕正方形ABCD的顶点

A顺时针旋转90。，得到AABE.连接EF交AB于点H.下列结论正确

A./.EAF=120°B.AE:EF=1:V3

C.AF2=EHEFD.EB-.AD=EH:HF

11.如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，尸是CB延

长线上一点，连接CE,EF,4F.若DE=DC,EF=EC,则ABAF的

度数为

12.如图，正方形4BCD的边长为2,分别以B,C为圆心，以正方形的边长为

半径的圆相交于点P,那么图中阴影部分的面积为

13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点。，BD=8,AC=6,

OE//AB,交BC于点E,则0E的长为.

14.如图.在边长为6的正方形ABCC中，点E,F分别在BC,CD上，BC=3BE

且BE=CF,AELBF,垂足为G,。是对角线BD的中点，连接0G、则0G

的长为

15.如图，在SABCD中，对角线BD=8c机，AE1BD，垂足为E,且AE=3cm,

BC=4cm,则AD与BC之间的距离为

16.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,E、F分别是边BC、CD

上一点，EFLAE,将AECF沿EF翻折得△EC'F,连接AC，,当BE=

时，AAEC是以AE为腰的等腰三角形.

17.如图，已知正方形ABCD边长为1,E为AB边上一点，以点D为中心,

将ADAE按逆时针方向旋转得ADCF,连接EF,分别交BD,CD于点

18.如图，在边长为4的正方形4BCD中，以为直径的半圆交对角线4C于点

E,以C为圆心、BC长为半径画弧交4C于点F,则图中阴影部分的面积

是

19.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点4在x轴正半轴上，顶

点、B,C在第一象限，顶点D的坐标(|,2).反比例函数y(常

数k>0,x>0)的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值

是

20.正九边形一个内角的度数为

21.已知：如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点。，480(7=120。,

AB=2.

(1)求矩形对角线的长;

E,连结BE.记/.ABE=a，求tana的值.

22.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M,QO经过点B,

C，交对角线BD于点E,且CE=BE，连接°E交BC于点F.

(1)试判断AB与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若BD=yV5,tan/CBD=；求。。的半径.

23.已知AB是。。的任意一条直径.

(1)用图1,求证：O0是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；

(2)已知。。的面积为47r,直线CD与。。相切于点C,过点B作

BDLCD,垂足为D,如图2.

求证：①涉2=2BD；

②改变图2中切点C的位置，使得线段ODA.BC时，0D=2企.

图1图2

24.【推理】

如图1,在正方形ABCD中，点E是C。上一动点，将正方形沿着BE折

叠，点C落在点F处，连结BE,CF,延长CF交AD于点G.

(1)求证：ABCE=ACDG.

【运用】

(2)如图2,在【推理】条件下，延长BF交4。于点H.若黑建，

CE=9,求线段DE的长.

【拓展】

(3)将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF,BF交

直线AD于G,H两点，若^=k,,气，求箓的值(用含k的

代数式表示).

25.在AABC中，AB=ACD是边BC上一动点，连接AD,将AD绕点

A逆时针旋转至AE的位置，使得^DAE+ABAC=180°.

(1)如图1,当NB4C=90。时，连接BE,交AC于点F.若BE平分

Z.ABC,BD=2,求4F的长;

(2)如图2,连接BE,取BE的中点G,连接AG.猜想4G与CD存

在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接DG,CE.若^BAC=120°，当BD>CD,

26.如图，在矩形4BCD中，点M在DC上，AM=AB,且BNLAM,垂足为N.

(1)求证：AABN=AMAD；

(2)若AD=2,4V=4,求四边形BCMN的面积.

27.如图，在2MBC中，^BAC=90°,点E在BC边上，过A,C,E三点的。。

交4B边于另一点F,且F是A?的中点，入。是。。的一条直径，连接DE并

延长交4B边于“点.

(1)求证：四边形CDMP为平行四边形；

(2)当CD=|AB时，求sin乙4c/的值.

(1)作对角线的垂直平分线，分别交4。，BC,BD于点E,F,。(尺

规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)连接BE,DF,求证：四边形BEDF为菱形.

29.如图，在RPABC中，点P为斜边BC上一动点，将AABP沿直线AP折

叠，使得点B的对应点为B',连接AB',CB',BB',PB'.

(1)如图①，若PB'1AC,证明：PB'=AB'.

(2)如图②，若=,8P=3PC,求cos^B'AC的值.

(3)如图③，若^ACB=30°,是否存在点P,使得AB=CB'.若存在,

求此时的值；若不存在，请说明理由.

30.如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且乙ADM=LCDN,

求证：BM=BN.

BD

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参考答案

1.B

[※解析※]

根据平行四边形的性质和邻补角的意义即可解决问题.

解：•••乙DCE=132°,

乙DCB=180°-4DCE=180°-132°=48°,

•.•四边形4BCD是平行四边形，

•••乙4=Z.DCB=48°,

2.B

[※解析※]

先证明四边形力龙。为矩形，再求出4C,即可求出四边形/应'。的面积.

解：•••四边形力比力是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD=2,除4y3,ZD=AABC,

'：BE11AC,

四边形/应r为平行四边形，

,/乙AFC=24D,

二NAFC=2NABC,

，ZAB/^ZBAF,

:.A庄BF,

：.2AI^2BF,

即BOAE,

，平行四边形力应1。是矩形，

.•.//伊90°,

AC=y/BC2-AB2=V32+22=V5,

矩形/龙。的面积为AB-AC=2V5.

3.C

[※解析※]

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根据〃边形的内角和是(n-2)x180°,根据多边形的内角和为1800°,就

得到一个关于〃的方程，从而求出边数.

解：根据题意得：

(n-2)180=1800,

解得：n=12.

4.D

[※解析※]

取8。的中点。，设4?与。。的相切的切点为凡连接gOE、OA,由题意可

得03=0俏OA=1,ZOFA=ZOF&90°,由切线长定理可得/左〃^2,C序CF,然

后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可.

解：取8c的中点0,设4?与。。的相切的切点为凡连接苏'、OE、OA,如图

所示：

:四边形4?缪是正方形，且边长为2,

：.BC=AB=2,/ABO/BCD=90°,

•••4E是以8c为直径的半圆的切线，

.•.仍=00幅1,4OFA=/OF&90°,

:.AB=Ae2,CB=CF,

'：OA=OA,

：.Rt/XABgRtAAFO〈HL),

同理可证△比匡△OFE,

：.AAOB=AAOF,ACOE=AFOE,

：.Z.AOB+乙COE=90°=乙AOB+乙BAO,

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乙COE=LBAO,

**.△ABOOCE,

・PC_CE

**~AB~~0B9

：.CE=^

5.B

[※解析※]

根据等边三角形的性质和已知条件逐个结论进行分析.

解：①过点4作4P1BC于点P,如图1:

•••/L4BC是边长为1的等边三角形，AP1BC,

：.BP=-BC=-,

22’

AP=5MB2-BP2=在，

2

••SAABC=x/IP=|x1x故①正确；

②当点。与点C重合时，H,D,C三点重合，如图2:

BC^,D)

图2

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VZ-DBE=30°,LABC=60°,

・・・BE是41BC的平分线，

•:AB=BC,

・•・AE=EC=-AC=

22

vCF//AB,

・•・Z,FCA=^A=60°,

・・•GF//BC,

:.Z.FEC=乙ACB=60°,

・•・乙FCE=AFEC=60°,

・•・Z.FCE=乙FEC=ZF=60°,

・・"E尸C为等边三角形，

・・.FC=EC=i,

即FH=故②正确；

③如图3,将4CBD绕点8逆时针旋转60°,得到AABN9连接NE,过点N

作NPLAC,交以的延长线于P,

图3

BD=BN,CD=AN,Z-BAN=ZC=60°,乙CBD=^ABN,

・・•乙DBE=30°,

・•・乙CBD+/.ABE=30°=Z,ABE+乙ABN=乙EBN,

・♦・乙EBN=乙DBE=30°,

又vNE=DE,BE=BE,

・・・4D8E会4N8E(S4S),

・•・DE=NE,

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V乙NAP=180°-^BAC-乙NAB=60°,

：.APAN,NP=y/3AP=—AN=—CD,

...Np2+pE2=NE2,

|CD2+(4E+3CD)2=DE2,

AE2+CD2+AE-CD=DE2,故③错误；

•・•/ABC是等边三角形，

-Z-A—Z-ABC—Z.C=60°,

•・•GF//BH,BG//HF,

.•・四边形BH”是平行四边形，

vGF//BH,BG//HF,

1•.Z.AGE=/LABC=60°,Z.DHC=A.ABC=60°,

■.AAGE,4DCH都是等边三角形，

■■■AG=AE,CH=CD,

•：AE=CD,

■■■AG=CH,

BH=BG,

二I3BHFG是菱形，故④正确，

6.B

[※解析※]

用外角和为360。除以60°,即可求出多边形的边数.

解：•••正多边形的外角和为360。，

•••此多边形的边数为：360。+60。=6.

7.A

[※解析※]

方案甲中，连接AC,如图所示：

•••四边形ABCD是平行四边形，。为BD的中点,

・•・OB=OD,OA=OC,

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,:BN=NO,0M=MD,

:・N0=0M,

・・.四边形4NCM为平行四边形，方案甲正确;

方案乙中：

••・四边形4BCZ)是平行四边形，

・・・4B=CD,AB11CD,

:.乙ABN=Z.CDM,

AN上B,CM1BD,

・•・AN//CM,Z-ANB=乙CMD,

NABN=乙CDM

在ZL48N和ACDM中，\z.ANB=Z.CMD,

AB=CD

AABN=ACDM^AAS),

•.AN=CM,

又-AN//CM,

・・・四边形4VCM为平行四边形，方案乙正确;

方案丙中：・••四边形A8CD是平行四边形，

・•・乙BAD=乙BCD,AB=CD,AB//CD,

:.乙ABN=乙CDM,

・・・4N平分/.BAD,CM平分乙BCD,

・•・乙BAN=Z.DCM,

在2L4BN和4CDM中，

NABN=乙CDM

AB=CD,

/BAN=乙DCM

・・・44BNw/CDMQ4S4),

・•・AN=CM,乙ANB=4CMD,

・♦・乙ANM=乙CMN,

:・ANI/CM,

・・.四边形4NCM为平行四边形，方案丙正确;

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D

8.C

[※解析※]

根据矩形的性质得出乙4BC=NDCB=90。，AC=BD,AO=CO,BO=DO,

AB=DC，再解直角三角形求出即可.

解：4、「四边形ABCD是矩形，

•••/.ABC=乙DCB=90°,AC=BD,AO=CO,BO=DO,

・•・AO=OB=CO=DO,

・•・Z-DBC=乙ACB,

•••由三角形内角和定理得：4BAC=4BDC=£a,故本选项不符合题意；

B、在RPABC中，tana吟，

即BC=m-tana,故本选项不符合题意；

C、在R^ABC中，4。=潦£，即4°=康，故本选项符合题意；

D、四边形ABCD是矩形，

・•・DC=AB=m,

•・•Z.BAC=Z.BDC=a,

•••在Rt^DCB中，BD=急,故本选项不符合题意；

故选：C.

本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键.

9.A

[※解析※]

设AB=AD=BC=CD=3a,

••・四边形48CD是正方形，

•••Z.DAE=乙DCF=45°,/.DAM=Z.DCN=90°,

在4D4E和4DCF中，

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(DA=DC

\^.DAE=乙DCF,

(AE=CF

・・・4ZME会4DCF(S4S),

・•・Z-ADE=乙CDF,

在/D4M和dDCN中，

乙4DM=Z.CDN

DA=DC,

Z.DAM=乙DCN

/.ADAM=ADCN(ASA),

・•・AM=CN,

-AB=BC,

・・・BM=BN,

•・•CN//AD,

•.C•N_CF_1,

ADAF3

・・•CN=AM=a,BM=BN=2a,

...S>4D4__3axa_3

**SAMN^BMBN2ax2a4’

10.D

[※解析※]

根据旋转的性质可以得到△刈尸是等腰直角三角形，然后根据相似三角形的

判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可作出判断.

根据旋转的性质知：NEA后90°,故/选项错误；

根据旋转的性质知：NEA氏90°,EA=AF,则△皮0是等腰直角三角形，

：.EF=42AE,即四：炉1：V2,故3选项错误；

若。选项正确,则AF2=AEZ=EH•EF,即黑=总，

crlCn

•:/AE六/HEA=45°,

：./\EAF〜△我，

：.£EAH=/EFA,

而/跖4=45°,AEAH*45°,

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J.ZEAH丰乙EFA,

，假设不成立，故。选项错误；

•••四边形力腼是正方形，

C.CD//AB,EPBH//CF,AD=BC,

：.EB-.BOEH：HF,即能AD=EH：HF,故〃选项正确;

11.22.5°

[※解析※]

连AE,根据SAS判定AADE=ACDE,得出AE=CE=EF,再证2L4EF为等

腰直角三角形，得出^AFB=67.5°,即可求出NB”的度数.

解：如右图，连接AE,

•••BD为正方形4BCD的对角线，

乙BDC=45°,

・・•DE=DC=AD,

180°—45°

:.乙DEC=Z.DCE='=67・5。,

•・・Z.DCB=90°,

:.乙BCE=90°-Z.DCE=90°-67.5°=22.5°,

vEF=EC,

・•・Z,FEC=180°-乙EFC-乙ECF=180°-22.5°-22.5°=135°,

・・•乙BEC=180°-Z-DEC=180°-67.5°=112.5°,

乙BEF=135°-112.5°=22.5°,

AD=DE,AADE=45°,

・••Z.AED=180-°-4-5-°=6L7C.5,

・•・乙BEF+Z.AED=22.5°+67.5°=90°,

・・・ZG4EF=180°-90°=90。，

在44DE和4£7元中，

AD=DE

Z-ADE=Z.EDC,

DE=DC

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・•・A4DE会4EDC(S4S),

・•・AE=EC,

・•・AE=EF,

即ZL4EF为等腰直角三角形,

・•・Z,AFE=45°,

・•・^AFB=Z.AFE+乙BFE=45°+22.5°=67.5°,

•••Z.ABF=90°,

・•・乙BAF=90°-Z.AFB=90°-67.5°=22.5°,

12.2V3-y

［※解析※］

连接PB、PC,过点P作PF1BC于F,根据等边三角形的性质得到乙PBC=

60°,解直角三角形求出BF、PF,根据扇形面积公式、三角形的面积公式进

行计算.

解：连接PB、PC,作PFJ.BC于F,

vPB=PC=BC,

："PBC为等边三角形,

•••乙PBC=60°,4PBA=30°,

...BF=PB-cos600=3PB=1,PF=PB-sin60°=遮，

则图中阴影部分的面积=［扇形ABP的面积-（扇形BPC的面积-/BPC的面

积）］X2

30-7TX2260-7TX221r刀、［r。727r

=Fr一一（ZFT-5x2x遮）］x2=2遮一行，

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13.1

[※解析※]

根据菱形的性质可得：A0=3,B0=4,AC1BD,用勾股定理求出AB=5,

再证明0E是ZL4BC的中位线即可求解.

解：•••菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点。，

OA=OC=^AC=3,OB=\BD=4,AC1BD,

•：OE//AB,

BE=CE,

.•・OE为44BC的中位线，

OE=^AB,

在Rt4ABO中，由勾股定理得：

AB—yj324-42=5,

OE=

2

14.65/5

5

[※解析※]

根据AE1BF,AO1BD,则4、B、。、G四点共圆，则可以得到NAGO=45。,

解直角三角形即可得结果.

如图，连接。4以为半径，4B的中点M作圆，过。作0N14G

•••4BCD是正方形，BD是对角线

Z.ABO=45°

•••AO_AO

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・•・乙4Go=Z.AB0=45°,

1

AN=NE=-AE

2

・••ABC。是正方形，BC=3BE

・•・AB=BC=6,

・•・BE=2

AE=y]AB2+BE2

—^624-22=2A/10

11

・・,-ABxBE=-AExBG

22

AB,BE6x237—

•••BG=———=——=-vlO

AE2VlO5

在中

BE21

tanz.EAB

AB=63

BG9「

-AG=-----——=-Vio

tanZ.GAB

vNG=AG-AN

1

=AG--AE

2

97—l

=-VlO-vlO

4「

=-7io

在Rt/kONG中

4VlO

NG-c-8「

OG=-------------=---=-V5

cosZ.NGOV25

T

15.6cm

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[※解析※]

设4B与CD之间的距离为九，根据条件可知13aBe。的面积是44BD的面积的

2倍，可求得团4BCD的面积，再S四边形ABCD=BOh，可求得h的长.

解:•••四边形ABCD为平行四边形，

・•・AB=CD,AD=BC,

在44BD和ABCD^P

AB=CD

BD=DB

AD=BC

AAABDWABCD(SSS),

vAE1.BD9AE—3cm,BD=8cm,

•••S^ABD=三BD-AE=x8x3=12(cm2),

S四边形ABCD=2SAABD=24cm2,

设4。与BC之间的距离为h,

•・,BC=4cm,

‘S四边形ABCD=BC'h=4h，

.-.4/i=24,

解得h=6cm,

16.《或g

[※解析※]

对AAEC，是以为腰的等腰三角形分类讨论，当4E=EC，时，设BE=x,

可得到EC=4-再根据折叠可得到EC=EC'=4-x,然后在RtZU旗中利

用勾股定理列方程计算即可；当4E=4C时，过/作4〃垂直于EC'于点、H,

然后根据折叠可得到乙C'EF=dEC,在结合EF1AE,利用互余性质可得到

^BEA=^AEH,然后证得△/庞必△/从；进而得到BE=HE,然后再利用等

腰三角形三线合一性质得到EH=C'H,然后在根据数量关系得到BE=

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解：当时，设BE=x,则EC=4-x,

,：zkECF沿EF翻折得△ELF,

EC=EC=4-x,

在RtZU应'中由勾股定理可得：AE2=BE2+AB2即（4-x）2=/+32,

解得:x4；

当月时，如图所示，过4作/〃垂直于EC，于点〃，

AHA.EC,AE=AC,

：.EH=CH,

•/EFLAE,

O

：./.CEF+AAEC=()Q,^BEA+zFfC=90°

■:AECF沿EF翻折得XECF,

...乙C'EF=LFEC,

：.Z.BEA=^AEH,

(NB=/.AHE

在△/庞和△/函中］^AEB=^AEH,

(AE=AE

：./\ABE^/\AHE(AAS),

，BE=HE,

：.BE=HE=HC,

：

.BE=-2EC

EC=EC',

：.BE=加,

14

・•・BE=+B」,

3-3

综上所述，BE=3或右

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故答案为：之或三

7.在

5

[※解析※]

NC_CF

作EG1BD于点G,设AE=2x,则DN=5x,易证AFNC-/FEB,得EB~BF'

求出x的值，进而得到AE,EB的值，根据勾股定理求出ED,在RVEBG中

求出EG,根据正弦的定义即可求解.

解：如图，过点E作EG1BD于点G,

设4E=2x,则DN=5x,

由旋转性质得：CF=AE=2x,ADCF==90°,

••・四边形4BCD是正方形，

•••乙DCB=90°,/.ABC=90°,4ABD=45°,

^DCB+Z.DCF=180°,4DCB=4ABC,

.•.点B,C,F在同一条直线上，

v/.DCB=/.ABC,4NFC=4EFB,

：.AFNC-AFEB,

.NC_CF

••EB-BF'

.1-5%_2%

•・l-2x-1+2%'

解得：与=一1(舍去)，％2=也

・•・AE=2x-=

63

ED=y/AE2+AD2=J(1)2+l2=半，

12

EB=AB-AE=l--3=-3’9

在Rt，EBG中,EG=BE-sin45°=|xy=y,

V2「

.，厂“A”EGVv5

：・smZ.EDM=—=/=——,

ED叵5

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18.37r—6

[※解析※]

连接BE,可得是等腰直角三角形，弓形缈的面积=兀-2,再根据阴

影部分的面积=弓形应"的面积+扇形物'的面积-aBCE的面积，即可求解.

解：连接BE,

・••AB为直径，

•••BE1AC,

AB=BC=4,/.ABC=90°,

・•・BE=AE—CE,

"S弓形AE=S弓形BE，

・•・图中阴影部分的面积=S半网-三3半圆-SAABE)-'ABC-S扇腕B)

1,11,111457rx42

22227v2360J

=3TT—6,

19.5或22.5

[※解析※]

作OMlx轴于M,BN1轴于N,过C点作x轴的平行线，交DM于E,交

BN于F,通过证得三角形全等表示出B、C的坐标，然后根据反比例函数系

数k=孙即可求得结果.

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解：作DM1%轴于M,BN1轴于N,过C点作久轴的平行线，交DM于E,

交BN于F,

正方形ABCD^,Z,BAD=90°,

・・・NZMM+4B4N=90。，

・・・4WM+miM=90。，

・•・Z,ADM=乙BAN,

在ZL4DM和484N中，

Z.ADM=乙BAN

/-AMD=乙BNA=90°,

AD=BA

・・・44DMM/BZN(44S),

・・・AM=BN,DM=AN9

•・・顶点。的坐标(|,2).

AOM=I，DM=2,

同理：AADM=ADCE,

・・・AM=gCE=DM,

:.AM=BN=DE,DM=AN=CE=2,

设AM=BN=DE=m,

・•・ON=-+m4-2=4.5+m,

2

・•・8(4.5+m),C(4.5,2+m),

当反比例函数y=：(常数k>o,”>o)的图象经过点以。时，则k=|x

2=5；

当反比例函数y=?常数k>0,x>0)的图象经过点B、C时，则k=(4.5+

m)-m=4.5•(24-m),

解得m=3(负数舍去)，

:.k=4.5x(2+3)=22.5,

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[※解析※]

先根据多边形内角和定理求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数.

解：该正九边形内角和=180。*(9-2)=1260。，

则每个内角的度数=竿=140。.

21.(1)4；

(2)tana=—

2

[※解析※]

(1)根据矩形的性质求出AC=2AO,根据等边三角形的判定得出2L4OB是

等边三角形，求出AB=AO=2,求出BD-

(2)根据勾股定理求出AD,然后根据等腰三角形的性质求得AE,然后解

直角三角形求得tana的值.

解：(1)NBOC=120。，

・•・Z-AOB=60°,

-泗边形/BCD是矩形，

/.2LBAD=90°,AC=BD,AO=OC9BO=DO,

・•・AO=BO,

・•・4/OB是等边三角形，

・•・AB—AO=BO,

♦:AB=2,

B0=2,

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・•・BD=280—4,

矩形对角线的长为4；

(2)由勾股定理得：AD=\lBD2-*AB2=V42-22=2>/3,

v0A=OD,0E14D于点E,

AE=DE=^AD=V3,

22.(1)AB是。。的切线，理由见解析；

(2)5

[※解析※]

(1)根据0E=0B,菱形ABCD得到AOEB=LOBE,AABD=^CBD,根据

CE=BE得到0E1BC,进而得到乙4BD+AOBE=90°,即可证得力B是。。的

切线；

⑵根据菱形的性质求得BM,再根据tan“BD=沫得CM,进而求得BC,

根据垂径定理求出BF,设。。的半径为r,根据勾股定理即可求得半径.

解:(1)4B是。。的切线，

理由如下：

连接OB,

vOE=OB,

:.乙OEB=Z.OBE,

••・四边形ABCD是菱形，AC、BD是其对角线，

:.Z.ABD=乙CBD,

vCE=BE9是。。的半径，

:.OE1BC,

・•・乙BFE=90°,

・・・4OE8+“BE=90。，

・・・/4BD+4OBE=90。,

••OBLAB9即48是。。的切线；

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(2)•••四边形4BC。是菱形，AC.8。是其对角线，BD=三疾,

：.BM=-BD=—,AC1BD,

25

,:tanZ-CBD=j,

万A”18遍

・・n，

•CM=2-BM=s——

・•・BC=y/BM24-CM2=8,

CE=BE,OE是。。的半径，

BF=^BC=4,

tanZ-CBD=OF1BC,

■■-EF=\BF=2,

设。。的半径为r,则OF的长为(r-2),

在Rt^OFB中，

OF2+BF2=OB2,即(r-2)2+42=r2,

解得：r=5,

••・。。的半径为5.

23.(1)见解析；

(2)①见解析；②见解析

[※解析※]

(1)作PP'LAB,交。。于点P',垂足为M,由垂径定理得出40Pp是等

腰三角形，由轴对称的性质可得出结论；

(2)①求出AB=4,判定44CBs/JCDB,根据相似三角形的性质得出笔=，,

nDDC

则可得出结论;

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②证明四边形BOC。是边长为2的正方形，由正方形的性质可得出结论.

（1）证明：如图，设P是。。上点48以外任意一点，

过点P作PP'IAB,交。。于点P',垂足为M,

若M与圆心。不重合，

连接OP,0P',

在AOPP'dP，

­•OP=OP',

.."OPP，是等腰三角形，

又PP'LAB,

：.PM=MP',

则AB是PP，的垂直平分线，

若M与圆心。重合，显然AB是PP，的垂直平分线，

这就是说，对于圆上任意一点P,在圆上都有关于直线AB的对称点P',因

此。。是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；

图1

(2)①证明：设。。半径为r,

由jrr2=4n■可得r—2,

・•・AB=4,

连接AC,则4BCA=90°,

图2

•••C是切点，连接0C,

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・•・0C1CD,

•・,BD1.CD,

:.OC//BD,

・•・乙OCB=(DBC,

而乙0CB=乙0BC,

:.乙DBE=乙OBC,

又vZ.BCA=Z.BDC=90°,

/.AACB〜ACDB,

・B•C・一=BD一,

ABBC

ABC*2=AB•BD=480,

­--BC2=2BD；

②证明：由①证明可知乙CBD=M)BC,与切点C的位置无关,

又。。1BC,

・•・BD=0B,

又「ZOCB是等腰三角形，

・•.BC与。。互相垂直平分，

又乙BDC=90°,

••・四边形BOCD是边长为2的正方形,

0D=2V2.

24.(1)见解析；

(2)3V10;

(3)隹或79k2+1.

3

[※解析※]

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(1)根据A4s证明三角形全等即可.

(2)如图2中，连接EH.根据HF2+FE2=DH2+DE2,求出DE即可解决

问题.

(3)如图3中，连接HE.由题意案nr=［o可以假设DH=4m,HG=5m,

设籍=%.分两种情形：①当点”在点。的左侧时，②当点”在点。的右侧

时，如图4中，分别根据勾股定理构建方程求解即可.

(1)证明：如图1中，

图1

•.YBFE是由48CE折叠得至IJ,

BE1CF,

；・LECF+LBEC=9。。,

•・•四边形4BCD是正方形,

・•・乙D=乙BCE=90°,

・•・乙ECF+乙CGD=90°,

・•・Z,BEC=乙CGD,

•・•BC=CD,

：.ABCE=^CDG{AAS}.

(2)如图2中，连接EH.

图2

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-ABCE=ACDGf

；・CE=DG=9,

由折叠可知BC=BF,CE=FE=9,

・•・乙BCF=Z-BFC,

♦.•四边形ABCD是正方形，

.-.AD//BC,

■­■乙BCG=乙HGF,

乙BFC=乙HFG,

乙HFG=乙HGF,

HF=HG,

HD=4,HF=HG=5,

•••4D=乙HFE=90°,

HF2+FE2=DH2+DE2,

.•.52+92=42+",

；.。£1=3国或-3m(舍弃)，

1•.DE=3V10.

(3)如图3中，连接HE.

图3

由题意器=《，可以假设DH=4m,HG=5m,设^=x.

①当点”在点。的左侧时，

•・•HF=HG,

・•・DG=9m,

由折叠可知BE1CF,

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・♦・乙ECF+乙BEC=90°,

乙D=90°,

・•・Z.ECF+Z-CGD=90°,

・•・Z-BEC=Z.CGD,

v乙BCE=Z,D=90°,

•••△CDG~ABCE,

:.——DG=一CD,

CEBC

CDAB.

v—=——=k,

BCBC

9mk

万=F

„9m

・•・CE=—=FE,

k

“L9mx

・•・DE=——

・••ZD=乙HFE=90°

•••HF2+FE2=DH2+DE2,

・•.（5m）2+（£）2=（4m）2+（等）2,

“=豆或一旦（舍弃），

33

.DE__迎2+9

**EC~3•

②当点H在点。的右侧时，如图4中,

:.DG=m,CE=弋=FE,

:.DE=—

k

■■HF2+FE2=DH2+DE2,

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(5m)2+(£)2=(4m)2+(£产，

:.x=79k2+1或-V9/c2+1(舍弃)，

•••黄=79k2+/.

综上所述，丝=华或V9FTT.

EC3

25.(1)V2；

(2)AG=1CD,证明见解析；

(3)BD-DG_\/6

CE-2•

[※解析※]

(1)连接CE,过点F作FH1BC,垂足为H.

•••BE平分/.ABC,/.BAC=90°,

•••FA=FH.

•：AB=AC,

/-ABC=乙ACB=45°,

FH=—2CF,

v/-BAC+^LDAE=180°,

:.^BAC=Z-DAE=90°,

・•・Z,BAD=乙CAE,

AB=AC

在△ABD和△ACE中，\^BAD=Z.CAE,

.AD=AE

/.△ABD三MCE(SAS),

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・・.BD=CE=2,乙ABD=Z.ACE=45°,

:.乙BCE=90°,

・・・BE平分Z.ABC,

・•・Z-ABF=乙CBF.

・•・Z.AFB=乙BEC,

•・•Z.AFB=Z-EFC,

・•・乙BEC=Z-EFC,

・•・Z.CEB=AEFC.

.-.AF=—2CF=y/2.

(2)AG=1CZ)

延长B4至点M,使AM=AB,连接EM.

•；