2022年中考数学真题汇编三角形类几何证明题

2022年中考数学真题汇编

三角形类几何证明题

1.（2022.江苏省南通市）如图，AC和BD相交于点。，OA=OC,OB=OD.

X

4^------------

（1）求证：乙4=4。；

（2）求证:AB//CD-

2.（2022・西藏）如图，己知4。平分4BAC,AB=4C.求证：△ACD.

A

Ba

3.（2022.湖南省益阳市）如图，在RM4BC中，NB=90°,CD//ABfDEIAC于点E,且=,求证：

△CED三AABC.

4.(2022•辽宁省大连市)如图，在AABC中,〃CB=90。,BC=4,点。在AC上,CD=3,连接。B,AO=DB,

点P是边4c上一动点(点P不与点4,D,C重合)，过点P作4c的垂线，与AB相交于点Q,连接。Q,设4P=%,

△PDQ与42BD重叠部分的面积为S.

(1)求4c的长；

(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.

(备用图)

5.(2022•黑龙江省牡丹江市)如图，△48。和4CEF,点E,F在直线8c上，AB=DF,NA=4。，Z.B=zF.

如图①，易证：BC+BE=BF.请解答下列问题：

(1)如图②，如图③，请猜想BC,BE,BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；

(2)请选择(1)中任意一种结论进行证明；

(3)若48=6,CE=2,4尸=60。，ShABC=12>/3，则BC=,BF=.

图①图②图③

6.（2022.广西壮族自治区柳州市）如图，点4D,C,F在同一条直线上，AB=DE,8C=EF.有下列三个

条件：①AC=DF,②乙ABC=乙DEF,③44cB=ADFE.

（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC=^DEF.

你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定AZBC三ADEF的依据是

（填“SSS”或“S4S”或“2S4”或UAAS"）；

⑵利用⑴的结论△ABgADEF.求证：AB//DE.

7.（2022•上海市）如图所示，在等腰三角形4BC中，48=4C,点E,F在线段BC上，点Q在线段4B上，且

CF=BE,AE2=AQ-AB.

求证：（1）“4E=4BAF；

（2）CF-FQ=AF-BQ.

A

8.(2022•广西壮族自治区河池市)如图，点4,F,C,。在同一直线上，AB=DE,AF=CD,BC=EF.

(1)求证：Z-ACB=/.DFE-,

(2)连接BF,CE,直接判断四边形BFEC的形状.

9.(2022.吉林省长春市)图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,其顶点

称为格点，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作

图痕迹.

(1)网格中4人⑶。的形状是；

(2)在图①中确定一点。，连结DB、DC,使ADBC与AaBC全等；

(3)在图②中的边BC上确定一点E,连结4E,使

(4)在图③中△ABC的边48上确定一点P,在边8C上确定一点Q,连结PQ,使△PBQ-AABC,且相似

比为1：2.

求作：点P,使点P在△ABC内部.S.PB=PC,/.PBC=45°.

12.（2022•贵州省铜仁市）如图，点C在上,ZB1BD,ED1BD,AC1CE,AB=CD.求证：△ABC^ACDE.

13.(2022.北京市)在△ABC中，乙4cB=90。,。为△ABC内一点，连接BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.

(1)如图1,延长BC到点凡使得CF=BC,连接4F,EF.若4FJ.EF,求证：BD1AF；

(2)连接4E,交BD的延长线于点“，连接C"，依题意补全图2.若AB?=4E2+BQ2,用等式表示线段

与CH的数量关系，并证明.

14.（2022•吉林省）如图，AB=AC,4BAD=N&W.求证：BD=CD.

15.（2022•广东省云浮市）如图，已知NAOC=ABOC,^P^.OC±.,PD1OA,PE1OB,垂足分别为D,E.求

证：△OPD=6,OPE.

A

16.(2022•黑龙江省鹤岗市)△ABC^\L4DE都是等边三角形.

(1)将AADE绕点4旋转到图①的位置时，连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点4重合)，有24+PB=

PC(或P4+PC=PB)成立(不需证明)；

(2)将AADE绕点4旋转到图②的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接P4猜想线段P4、PB、PC之

间有怎样的数量关系？并加以证明；

(3)将AADE绕点4旋转到图③的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接P4猜想线段P4PB、PC之

间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.

17.(2022•湖南省长沙市)如图，AC平分4B4D,CB1AB,CDVAD,垂足分别为B,D.

⑴求证：^ABC^^ADC；

(2)若4B=4,CD=3,求四边形ZBCD的面积.

A

18.(2022•内蒙古自治区赤峰市汝口图，已知RtAABC中，乙4cB=90。，AB=8,BC=5.

(1)作8c的垂直平分线，分别交48、BC于点。、H；

(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，连接CD,求△BCD的周长.

19.(2022.福建省)如图，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,NB=4E.求证："=4D.

A

20.（2022•广西壮族自治区玉林市）问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：

①45=2C；②=DC-,③=4a4D,若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等

式成立？

解决方案：探究AABD与△4CD全等.

问题解决：

（1）当选择①②作为已知条件时，△ABD与AACD全等吗？（填“全等”或“不全等”），理由是

（2）当任意选择两个等式作为已知条件时，住求△48。三△■CD的概率.

A

BC

21.（2022・四川省宜宾市）已知：如图,点4、0、C、F在同一直线上，AB//DE,NB=NE,BC=EF.求证：

AD=CF.

BE

ADCF

22.（2022•陕西省）如图,在△力BC中,点。在边BC上，CD=AB,DE//AB,NDCE=NA求证：DE=BC.

，

BDC

23.（2022•湖南省衡阳市）如图，在A4BC中，AB=AC,D、E是BC边上的点，且BD=CE.求证：AD=AE.

A

24.(2022.四川省乐山市)如图，B是线段4C的中点，AD//BE,BD〃CE,求证：△ABD三△BCE.

25.(2022•浙江省杭州市)如图，在Rt△ACB^,AACB=90°,点M为边48的中点，点E在线段4M上，EF1AC

于点尸,连接CM,CE.已知乙4=50。,Z.ACE=30°.

(1)求证：CE=CM.

(2)若48=4,求线段FC的长.

CB

参考答案

1.证明：(1)在△AOB和△C。。中,

OA=OC

Z.AOB=Z.COD,

.OB=OD

AOCOD^SAS')j

:.Z-A=Z-C；

(2)由(1)得乙4=〃C

:・AB"CD.

2.证明：・・・4。平分NB4C,

:.乙BAD=Z-CAD,

在^ABD^-WL4CD中，

AB=AC

乙BAD=Z.CAD,

AD=AD

•••△4B0*ZC0(S4S).

3,证明：・・・DE_L4C,ZF=90°,

・・・乙DEC=Z-B=90°,

•・•CD//AB,

:.Z-A=Z-DCE,

在△CEO和△48C中，

NDCE=乙4

CE=AB,

/.DEC=Z-B

・・・△CED^^ABC(ASA).

4魂军：(1)在/^△8C0中，8c=4,CD=3,

・・・BD=VFC2+CD2=5,

又AD=BD,

・•・AC=AD+CD=5+3=8；

(2)当点P在点。的左侧时，E|J0<%<5,如图1,此时阴影部分的面积就是的面积,

•・,PQ14C,BCLAC,

・・・PQ//BC,

图1

・•.△ABC^^AQPt

APAC8

・•・一=—=-=2n,

PQBC4

设4P=x,IjliJPQ=1x,PD=AD-AP=5-xf

11

5xX

,,,S阴影部分=S〉PQD=2(2

12i5

=―/+-x；

44

当点P在点D的右侧时，即5<x<8,如图2,

由(1)得，AP=x,PQ=\x,则PD=x—5,

•••PQ//BC,

•••△DPEs〉DCB,

.DP_DC_3

•・EP~BC~4’

.-.PE=i(x-5),

S阴影部分=S2PQD-5ADPE

答:S关于％的函数解析式为：当0v%v5时，S=-\x2当5VxV8时，S=-?%2一第

4412123

5.814或18

6.①SSS

7.证明：(1)vAB=AC,

••乙B=ZC,

•・•CF=BE,

CF-EF=BE-EF,

即=

在^ACE^WL.ABF^,

AC=AB

Z.C=Z-B，

CE=BF

ABEKAS},

・•・Z.CAE=Z.BAF；

(2)SACE王bABF,

・•・AE=AF,Z-CAE=乙BAF,

2

vAE=AQ-AB,AC=AB9

—AE二—AC,

AQAF

・•・△ACE^AFQ,

・•・乙AEC=乙4QF,

:.Z-AEF=乙BQF,

vAE=AF,

:.乙4EF=Z.AFE,

・•・乙BQF=Z.AFE,

v乙B—ZC,

.%△CAF^h.BFQ,

.CF_AF

•・BQ~FQ9

即CF•尸Q=/尸・8Q.

8.(1)证明：・・・/F=CD,

・•・AFCF=CD-VCF,

即4c=DF,

在△4BC和aDEF中，

715=DE

BC=EF,

AC=DF

/.△ABC=^DEF(SSS),

・•・Z.ACB=乙DFE；

(2)解：如图，四边形8FEC是平行四边形，理由如下:

由(1)可知，乙ACB=LDFE,

・・・BC//EF,

又・・.BC=EF,

・・・四边形BFEC是平行四边形.

9.直角三角形

10.证明：方法一：vDE//BC,

・•・Z-B=乙BAD,zC=Z.CAE,

v/.BAD+Z.BAC+Z-CAE=180°,

・・・(B+Z.BAC+ZC=180°；

方法二：延长BC,如图，

•・•CD“AB,

••Z.A=/-ACD,Z-B=乙DCE,

•・•Z.ACB+Z.ACD+乙DCE=180°,

・・・/.A+Z.ACD+=180°.

11.解：①先作出线段BC的垂直平分线EF；

②再作出乙4BC的角平分线BM,EF与8M的交点为P；

则P即为所求作的点.

12.证明："ABLBD,ED1BD,AC1CE,

•••4B=4D=/.ACE=90°,

•••乙DCE+乙DEC=90°,ABCA+乙DCE=90°,

・•・Z.BCA=(DEC,

在和△CDE中,

\LBCA=乙DEC

乙B=Z-D，

AB=CD

:・&ABCdCDE(AAS).

13.(1)证明：在△BCD和△&?£1中,

BC=CF

乙BCD=乙FCE,

CD=CE

BCD^LFCE(SAS),

:.Z-DBC=乙EFC,

・•.BD//EF,

vAFLEF,

・•・BD1AF；

(2)解：由题意补全图形如下：

CD=CH.

证明：延长BC到尸，使C尸=8C,连接4尸，EF,

•・・4C1B尸，BC=CF,

・••AB—AFy

由(1)可知BD〃EF,BD=EF,

vAB2=AE2+BD2,

AAF2=AE2+EF2,

・・・Z.AEF=90°,

:.AEJLEF,

・•・BD1AE,

・・・Z.DHE=90°,

又•・•CD=CE,

:.CH=CD=CE.

14.证明：在与△AC。中，

AB=AC

乙BAD=Z.CAD,

AD=AD

••・△4BDwZk/CD(S4S),

:.BD—CD.

15.证明：•:乙AOC=LBOC,PD1OA,PE上OB,

・•.PD=PE,

^RtLOPD^WRtLOPE^,

(OP=OP

[PD=PE

:.Rt△OPD=Rt△OPE(HL).

16.解：(2)PB=PA+PC,理由如下：

如图②，在BP上截取8F=PC,连接AF,

图②

•••△ABC、△4DE都是等边三角形，

.-.AB=AC,AD=AE,Z.BAC=^DAE=60°,

**•Z-BAC+/-CAD=Z.CAD+Z-DAE,

艮IJzDAB=Z.EAC,

•••△48。三△〃％&51),

:.Z.ABD=Z-ACE,

vAB=AC9BF=CP,

・・・△BAF^LC4P(S4S),

・・・4F=4P,/LBAF=/-CAP.

•••Z.BAC=Z.PAF=90°,

••・△4FP是等边三角形，

•••PF=PA,

:.PB=BF+PF=PC+PA；

(3)PC=PA+PB,理由如下：

如图③，在PC上截取CM=PB,连接AM,

同理得：LABD^LACE{SAS},

:.Z-ABD=Z-ACE,

•・,AB=ACfPB=CM,

•••△4MC为4P8(S/S),

・・・4M=AP,/BAP=4CAM,

・・・£.BAC=Z.PAM=60°,

•・・△4MP是等边三角形，

・•・PM=PA,

・・・PC=PM+CM=PA+PB.

17.(1)证明：・・・AC平分=BAD,

・•・Z-BAC=Z-DAC,

•・,CBLAB,CD1ADf

・•・乙B=90°=ZD,

在△ABC和△ADC中，

Z.B=ZD

Z-BAC=Z.DAC»

AC=AC

­.^ABC^^ADC(AAS)；

(2)解：由(1)知：△ABC三△ADC,

•*,BC=CD-3,S&ABC=S^ADC，

S«ABC="BBC=1x4x3=6,

=

SAADC6,

••・S四边形ABCD=S〉ABC+S—oc=12,

答：四边形4BCD的面积是12.

18.解：(1)如图，DH为所作；

(2)・.•DH垂直平分力B,

:.DC=DB,

・•・乙B=乙DCB,

v=90°,Z-DCB+^DCA=90°,

・•・Z.A=Z.DCAf

・•・DC=DA,

・•.△