2023新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件教师用书新人教A版必修第一册

1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件1．理解充分条件、必要条件的概念．(重点、易混点)2．了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(重点)3．能通过充分性、必要性解决简单的问题．(难点)1．通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养．“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？(1)“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”(《人民日报》2014年8月4日)；(2)“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”(《中国青年报》2015年6月22日)．知识点充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpeq\o(⇒,/)q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件充分条件就是“有之必成立，无之未必成立”，必要条件就是“有之未必成立，无之必不成立．”1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)“两角相等”是“两角是对顶角”的必要条件． ()(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的． ()(3)若q不是p的必要条件，则“peq\o(⇒,/)q”成立． ()(4)“x>1”是“x>0”的充分条件． ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．下列表述形式与“p⇒q”是等价的有________．(填序号)①p是q的充分条件；②q的充分条件是p；③q是p的必要条件；④p的必要条件是q．[答案]①②③④类型1充分条件的判断【例1】(对接教材P18例题)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若a∈Q，则a∈R；(2)若x>1，则x>2；(3)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；(4)若△ABC中，若A>B，则BC>AC．[解](1)由于Q⊆R，所以p⇒q，所以p是q的充分条件．(2)法一：由x>1eq\o(⇒,/)x>2，所以p不是q的充分条件．法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此peq\o(⇒,/)q，所以p不是q的充分条件．(4)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC．因此p⇒q，所以p是q的充分条件．充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．[跟进训练]1．设x∈R，则使x>3成立的一个充分条件是()A．x>4 B．x>0C．x>2 D．x<2A[只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3．]类型2必要条件的判断【例2】(对接教材P19例题)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若a是1的平方根，则a＝1；(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，则m＝12；(3)若a是无理数，则a是无限小数；(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等．[解](1)1的平方根是±1，所以peq\o(⇒,/)q，所以q不是p的必要条件．(2)因为4x2－mx＋9＝(2x±3)2，所以m＝±12，所以peq\o(⇒,/)q，所以q不是p的必要条件．(3)因为无理数是无限不循环小数，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．[跟进训练]2．指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)在△ABC中，p：∠B>∠C；q：AC>AB；(2)p：x＜－2或x＞2；q：x>2．[解](1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以q是p的必要条件．(2)因为x＜－2或x＞2，所以peq\o(⇒,/)q，所以q不是p的必要条件．类型3充分条件与必要条件的应用【例3】(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分条件，求m的值；(2)已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．判断p与q的推出关系，由此思考采用什么方式建立待求参数的关系式．[解](1)x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，令A＝{2，－3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，∵q是p的充分条件，∴B⊆A．当－eq\f(1,m)＝2时，m＝－eq\f(1,2)；当－eq\f(1,m)＝－3时，m＝eq\f(1,3)．所以m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(1,3)．(2)因为N是M的必要条件，所以M⊆N．于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥－3，,a＋1≤8，))从而可得－2≤a≤7．故a的取值范围为－2≤a≤7．充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．[跟进训练]3．已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．[解]p：3a<x<a，a<0，即集合A＝{x|3a<x<a，a<0}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为p⇒q，所以A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0，))⇒－eq\f(2,3)≤a<0，所以a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤a<0))))．1．若p是q的充分条件，则q是p的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件B[因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．故选B．]2．若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是()A．0B．2C．4D．16B[由“x＝2”能得出“x2＝4”，选项B正确．]3．在平面内，下列是“四边形是矩形”的充分条件的是()A．四边形是平行四边形且对角线相等B．四边形的两组对边相等C．四边形的对角线互相平分D．四边形的对角线垂直A[四边形是平行四边形且对角线相等，则四边形是矩形，故选A．]4．用符号“⇒”与“eq\o(⇒,/)”填空：(1)x2＝1________x＝1；(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．(1)eq\o(⇒,/)(2)⇒[(1)命题“若x2＝1，则x＝1”是假命题，故x2＝1eq\o(⇒,/)x＝1．(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．]5．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．{a|a≤1}[因为x>1⇒x>a，所以a≤1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若“p⇒q”是真命题，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？[提示]p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”相同吗？[提示]不同．若p是q的充分条件，则p⇒q；若p的充分条件是q，则q⇒p．3．充分条件、必要条件的主要判断方法有哪些？[提示]定义法和集合关系法．自主招生中的充分条件与必要条件某大学2017年自主招生简章中规定，凡是高中阶段在全国中学生学科奥林匹克竞赛中获得省赛区竞赛一等奖(含)以上者(简记为“满足竞赛条件”，下同)，都可以报名参加该校的自主招生考试．根据这一信息，回答下列问题：(1)已知甲同学满足竞赛条件，那么甲能申请参加该大学2017年的自主招生考试吗？(2)已知乙同学已经成功申请到了参加该大学2017年自主招生考试的资格，那么乙同学一定满足竞赛条件吗？(3)已知丙同学不满足竞赛条件，那么丙同学一定不能申请参加