八年级下册数学-平行四边形

第8讲平行四边形【板块一】平行四边形中边的关系运用♦方法技巧♦判定平行四边形时，应根据具体情况，选择五种判定中最趋近条件的一种方法.题型一平行四边形的判定【例1】点D,E分别是等边△ABC的边AB,BC上一点，且BD=CE。以AE为边作等边△AEF求证:四边形ECDF为平行四边形.［例2］如图，在四边形ABCD中，AB//CD,以AD,AC为边作口ACED,延长DC交EB于点F,求证:BF=EF.针对练习1.如图，在口ABCD中，AB=6,点E是BC边中点，点F为CD边上一点，DF=4.8,∠DFA=2∠BAE,则AF的长为（）A.4.8B.6C.7.2 D.10.8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC,交CD于点K,交BC于点E,点F是BE上一点且BF=CK,求证：FK〃AB..如图，点F是口ABCD内一点，且ED⊥CD,EB⊥CB,∠AED=135(1)求证：∠ADE=∠ABE；(2)求∠EAB的度数；(3)求证:EB=BC；(4)探究：AB—DE与AE的数量关系.【模块二】平行四边形中的面积转换◊方法技巧◊两平行线间的距离相等,同底(或等底)且同高(或等高)的三角形的面积相等．题型三平行线转换面积【例1】如图，四边形ABCD,ADFE均为平行四边形，边AE,DC相交于点P，边BC,EF在同一条直线上，当点P从点C出发向点D运动时(点P不与点C,D重合)，则4ACP的面积与^PEF的面积之差的变化情况是()A.先变小再变大 B∙先变大再变小C一直变小 D.一直不变【例2】(1)如图1,在口ABCD中，点E边AB上一点，点F在BC上，则S^ECDSʌFAD；(填＞、＜或=)(2)如图2,在口ABCD中，点O为BD中点，直线FE过O点分别交AD,BC于E,F两点，则S四边形ABOE一S四边形CDOF；(填＞、＜或=)⑶如图3,点E为口Abcd中任意一点，若S四边形ABCD=6,则S△ABE+S△DEC的值是 •A图1图2图3【例3】如图，在口ABCD中，点E为AD上一点，点F为AB上一点，且BE=DF,BE与DF交于点G,求证：GC平分∠BGD.针对练习2.如图，在口ABCD中，对角线BD⊥AB，点G为BD延长线上一点，且△CBG为等边三角形，∠BCD,∠ABD的角平分线相交于点E，连接CE，交BD于点F,连接GE.(1)若CG=8,求口ABCD的面积；(2)求证：CE=BE+GE..如图，在四边形ABCD中，请过点A作一直线，将这个四边形ABCD的面积平分，并说明理由..在△ABC中，AB=AC,点P是直线BC上一点，PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F.(1)如图1,求证：PD+PE=BF；(2)如图2,当点P在BC的延长线上时，探究PD,PE,BF之间的数量关系.【板块三】平行四边形中特殊角度,特定关系角的转换◊方法技巧◊平行四边形中45°角可用来构造等腰直角三角形，其中三边比有1：1：⑤关系；60°的角可用来构造等边三角形．题型四 平行四边形中45°角（或等腰直角三角形）的运用【例1】如图，在△ABC和^DAF中，AC=BC,AD=AF,∠ACB=∠DAF=90°,点D,A,C在一条直线上，过点D作DE⊥DF,且DE=√2AC,连接CF,BE,EF.（1）判断四边形ADEB的形状，并予以证明；（2）求CF的值.EF题型五平行四边形中60°角（或等边三角形）的运用【例2】分别以口ABCD的边BC,CD为边作等边△BCE和等边△CDF,求证：△AFE为等边三角形.【例3】在口ABCD中，∠ABC=120°,∠BAD的平分线交BC边于点E，交DC延长线于点F,过F作FG〃BC,且使FG=CE，连接DB,DG,求∠BDG的度数.针对练习3.如图，在口ABCD中，AD=2CD,点F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF,CF,则下列结论：①∠DCF=∠BCF:②EF=CF;③/DFE=3∠AEF；®S△BEC<2S△CEF.其中结论一定成立的是 .（请填序号）.如图，在口ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE,点F为DE的中点，且∠BAE=∠DEC,∠B=60°.⑴判断△AEF的形状并说明理由;(2)若AB=2,求DE的长..如图，在口ABCD中，点E为AD上一点，且AB=AE，连接BE，交AC于点儿过点A作AF⊥BC于点F,交BE于点G.(1)若∠D=50°,求∠EBC的度数；(2)若AC⊥CD，过点G作GM//BC交AC于点M，求证：AH=MC..在口ABCD中，点E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得∠EGB=∠EAB，连接AG.(1)如图1,当EF与AB相交时，若∠EAB=60°,求证：EG=AG+BG；(2)如图2,当EF与CD相交时，且∠EAB=90°,探究EG,AG,BG之间的数量关系，并证明你的结论.图1 图2【板块四】平行图边形中勾股定理的运用◊方法技巧◊平行四边形中有直角三角形,可综合“对边相等,对角线互相平分”,利用勾股定理探究边的关系或求边长．题型六平方关系线段运用勾股定理探求【例1】已知ABCD为平行四边形，∠ABC和∠DCB的角平分线分别交AD于点H和点G,且它们交于O点，若AB=5,AD=6,求OG2+OH2的值.CB【例2】⑴如图1,已知AB=√10,BC=5,∠ABC<90°,口ABCD的面积为15.①求AC,BD的长；②探究AC2+BD2和AB2+BC2之间有什么数量关系；(2)如图2,如果把(1)中的关系推广到任意口ABCD中去，并证明你的推广.图1 图2针对练习4.如图1,在4OAB中，∠OAB=90°,∠AOB=30°,0B=8,以OB为边，在△OAB外作等边4OBC,点D是OB的中点，连接AD并延长交OC于点E.(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为bG,求OG的长..如图1,在口ABCD中，AB=a,BC=b.(1)若∠BCD=120°,则对角线BD的长是.(用含a,b的式子表示)；(2)求证：AC2+BD2=2a2+2b2；(3)如图2,在(1)的条件下，若四边形BCEF也是平行四边形，连接AF并延长交BE于点P，恰有∠APB=120°,设BE=m,AF=n，若a=3,b=2,求m,n之间的数量关系式.图1 图2.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,∠C=90°,BC=CD,点E,F分别在边BC,CD上，且BF=DF=AD,AF与DE交于点G.(1)求证：AB=BF；(2)当AB=5√2，AD=2√5，求DG的长.【板块五】平行四边形中的多解问题◊方法技巧◊平行四边形的高可以在四边形内部，也可以在外部，从而产生多解．题型七高在平行四边形内部或外部产生的多解问题【例1】口ABCD的周长为52,过D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=5,DF=8,求BE+BF的长．题型八重叠方式不同产生多解【例2】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,点D是AB边上一点，点E是BC的中点，将△CDF沿DE翻折，得到△FDE，使△FDE与^BDE重叠部分的面积是△BDC的面积的1,若AB=4,AC=2,求BD4的长．针对练习5.在面积为6√21的口ABCD中，过A作AE⊥直线BC于点E，作AF⊥直线CD于F,若AB=3万,BC=2√7，贝UCE+CF的长为( )A.10+5√7B.2+K7 C.10+5<7或2+√7 D.10+5√7或5√7—10.在面积为15的口ABCD中，过点A作AE⊥直线BC于点E,作AF⊥直线CD于点F,若AB=5,BC=6,求CE+CF的长..□ABCD周长为44,过A作AE⊥直线BC于点E,作AF⊥直线CD于点F,若AE=5,AF=6,则CE+CF的长为【板块六】平行四边形中的动点与最值◊方法技巧◊平行四边形中匀速运动的点，可以设运动时间为t,然后用t表示各个变量求解；线段的最值常用两边之和大于第三边或垂线段最短求解．题型九平行四边形中的动点问题【例1】如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,AD=24Cm,BC=30Cm,点P从点A向点D以1cmIs的速度运动，到点D即停止，同时点Q从点C向点B以2CmIs的速度运动，到点B即停止，直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD,则当P,Q两点同时出发几秒时所截得两个四边形中,其中一个四边形为平行四边形？题型十平行四边形中的最值问题【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,点M为EF的中点，则线段AM的最小值为.针对练习6.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,∠BCA=30°,AC=20,点D在BC上，以AC为对角线的所有口ADCE中，线段DE的最小值是..如图，矩形ABCD中，点O是BD中点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于点Q.(1)求证：四边形PBQD为平行四边形；(2)若AB=3cm,AD=4cm,点P从点A出发，以1cm∕s的速度向点D匀速运动.设点P的运动时间为ts,问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；若不能，说明理由.【板块七】构造平行四边形方法技巧将线段进行平移，可构造平行四边形，借助构造的平行四边形可以得到相等的边、平行线，从而得到全等三角形．题型十一构造平行四边形同时构造等腰直角