高二数学复习导数的应用人教实验版（B）

高二数学复习：导数的应用人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：高考复习：导数的应用二.教学目的：通过高考或模拟题实例探究导数在高考中的应用三.知识分析：【考点综述】有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明，而近几年高考试题的设计，特别是2022年试题更突出凡函数大题必与导数结合这一特征。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。【例题探究】【例1】（2022年烟台统考）已知函数f（x）＝x3＋3ax2＋3（a＋2）x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是。考查目的：考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力。解析：∵f′（x）＝3x2＋6ax＋3a＋6，令f′（x）＝0，则x2＋2ax＋a＋2＝0又∵f（x）既有极大值又有极小值∴f′（x）＝0必有两解，即△＝4a2－4a－8＞0解得a＜－1或a＞2。探究：本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略。【例2】设函数f（x）＝ax3－2bx2＋cx＋4d（a、b、c、d∈R）的图象关于原点对称，且x＝1时，f（x）取得极小值－。（1）求a、b、c、d的值；（2）当x∈[－1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若x1，x2∈[－1，1]时，求证：|f（x1）－f（x2）|≤。考查目的：本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力。解析：（1）∵函数f（x）的图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(－x)＝－f（x）．∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx2－cx－4d，即bx2－2d＝0恒成立。∴b＝0，d＝0，即f（x）＝ax3＋cx．∴f′（x）＝3ax2＋c。∵x＝1时，f（x）取得极小值－．∴f′（1）＝0且f（1）＝－，即3a＋c＝0且a＋c＝－．解得a＝，c＝－1．（2）证明：当x∈[－1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A（x1，y1）、B（x2，y2），使得过这两点的切线互相垂直，则由f′（x）＝x2－1，知两点处的切线斜率分别为k1＝x12－1，k2＝x22－1，且（x12－1）（x22－1）＝－1．（*）∵x1、x2∈[－1，1]，∴x12－1≤0，x22－1≤0∴（x12－1）（x22－1）≥0，这与（*）相矛盾，故假设不成立．（3）证明：∵f′（x）＝x2－1，由f′（x）＝0，得x＝±1．当x∈（－∞，－1）或（1，＋∞）时，f′（x）＞0;当x∈（－1，1）时，f′（x）＜0．∴f（x）在[－1，1]上是减函数，且fmax（x）＝f（－1）＝，fmin（x）＝f（1）＝－．∴在[－1，1]上，|f（x）|≤．于是x1，x2∈[－1，1]时，|f（x1）－f（x2）|≤|f（x1）|＋|f（x2）|≤＋＝．故x1，x2∈[－1，1]时，|f（x1）－f（x2）|≤．探究：①若x0点是y＝f（x）的极值点，则f′（x0）＝0，反之不一定成立；②在讨论存在性问题时常用反证法；③利用导数得到y＝f（x）在[－1，1]上递减是解第（3）问的关键．【例3】已知平面向量＝（，－1）．＝（，）．（1）证明⊥；（2）若存在不同时为零的实数k和t，使＝＋（t2－3），＝－k＋t，⊥，试求函数关系式k＝f（t）；（3）据（2）的结论，讨论关于t的方程f（t）－k＝0的解的情况．考查目的：本题考查向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方程根的个数间的关系以及综合应用能力。解析：（1）∵＝×＋（－1）×＝0∴⊥．（2）∵⊥，∴＝0即[＋（t2－3）]·（－k＋t）＝0．整理后得－k＋[t－k（t2－3）]＋（t2－3）·＝0∵＝0，＝4，＝1，∴上式化为－4k＋t（t2－3）＝0，即k＝t（t2－3）（3）讨论方程t（t2－3）－k＝0的解的情况，可以看作曲线f（t）＝t（t2－3）与直线y＝k的交点个数．于是f′（t）＝（t2－1）＝t（t＋1）（t－1）．令f′（t）＝0，解得t1＝－1，t2＝1．当t变化时，f′（t）、f（t）的变化情况如下表：t（－∞，－1）－1（－1，1）1（1，＋∞）f′（t）＋0－0＋f（t）↗极大值↘极小值↗当t＝－1时，f（t）有极大值，f（t）极大值＝．当t＝－1时，f（t）有极小值，f（t）极小值＝－．函数f（t）＝t（t2－3）的图象如下图所示，可观察出：（1）当k＞或k＜－时，方程f（t）－k＝0有且只有一解；（2）当k＝或k＝－时，方程f（t）－k＝0有两解；（3）当－＜k＜时，方程f（t）－k＝0有三解．探究：导数的应用为函数的作图提供了新途径。【例4】（2022·全国卷·22）已知函数f（x）＝ln（1＋x）－x，g（x）＝xlnx．（1）求函数f（x）的最大值；（2）设0＜a＜b，证明：0＜g（a）＋g（b）－2g（）＜（b－a）ln2．考查目的：本题主要考查导数的基本性质和应用，对数函数性质和平均值不等式知识以及综合推理论证的能力。解析：（1）函数f（x）的定义域为（－1，＋∞），f′（x）＝－1．令f′（x）＝0，解得x＝0．当－1＜x＜0时，f′（x）＞0;当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）＝0，故当且仅当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值为0．（2）证法一：g（a）＋g（b）－2g（）＝alna＋blnb－（a＋b）ln＝aln由（1）结论知ln（1＋x）－x＜0（x＞－1，且x≠0）由题设0＜a＜b，得因此，，．又，．综上．证法二：．设则当0＜x＜a时，，因此f(x)在内为减函数；当x＞a时，，因此f(x)在上为增函数．从而，当x＝a时，f（x）有极小值f（a）．即．设，则当x＞0时，，因此g(x)在上为减函数。即，综上，原不等式得证。【例5】设函数，其中。（I）当时，判断函数在定义域上的单调性；（II）求函数的极值点；（III）证明对任意的正整数，不等式都成立。解：（I）由题意知，f(x)的定义域为，设，其图象的对称轴为∴，当时，，即在上恒成立。∴当时，∴当时，函数在定义域上单调递增。（II）①由（I）得：当时，函数无极值点，②时，＝0有两个相同的解时，时，时，函数在上无极值点。③当时，有两个不同解，，。∵时，，，即∴时，随x的变化情况如下表：－0＋极小值由此表可知：时，f(x)有惟一极小值点；当时，∴此时，随x的变化情况如下表：＋0－0＋极大值极小值由此表可知：时，f(x)有一个极大值点和一个极小值点；综上所述，时，f(x)有惟一极小值点；时，f(x)有一个极大值点和一个极小值点；时，f(x)无极值点。（III）当时，函数令函数则∴当时，所以函数h(x)在上单调递增，又时，恒有即恒成立，故当时，有，对任意正整数，取则有，所以结论成立。【模拟试题】一、选择题1.函数，则等于（）A. B.C. D.2.设，则（0）为（）A.0 B.1 C.－1 D.不存在3.已知曲线，这三条曲线与x＝1的交点分别为A、B、C，又设k1、k2、k3分别为经过A、B、C且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则（）A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k2＜k1 C.k1＜k3＜k2D.k3＜k1＜k24.已知a＞0，函数在上是单调增函数，则a的最大值是（）A.0 B.1 C.2 D.35.已知（m为常数），在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为（）A.－37 B.－29 C.－5 D.－116.（2022年浙江高考）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）二、填空题7.曲线与曲线在交点处的切线的夹角为。8.已知且，则的取值范围是__________。三、解答题9.已知曲线，求与C1、C2均相切的直线l的方程。10.函数，过曲线上的点的切线方程为y＝3x＋1（1）若时有极值，求的表达式；（2）在（1）的条件下，求在[－3，1]上的最大值；（3）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求b的取值范围。11.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线。（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗疾病有效。①求服药一次治疗疾病有效的时间？②当t＝5时，第二次服药，问t时，药效是否持续？【试题答案】1、D2、B3、D4、D5、A6、C7、90° 8、（－∞，－1）9、解答：由得，由，得；设直线l与的切点为的切点为根据已知条件 ①＋②整理得由③得即，代入④与①联立可解得x1＝0或x1＝2当x1＝0时，x2＝2；当x1＝2时，x2＝0∴直线l过（0，0）、（2，0）两点，或直线过（2，4）、（0，－4）两点，因此所求直线方程为y＝0或y＝4x－4。10、解：（1）由求导数得过上点的切线方程为：，而过上，的切线方程为故即在x＝－2时有极值，故＝0③由①②③式联立解得，（2）－2＋0—0＋↗极大↘极小↗，，在[－3，1]上的最大值为13。（3）在区间[－2，1]上单调递增，又，由（1）知，依题意在[－2，1]上恒有在[－2，1]上恒成立。①当时，，②当时，，③当时，，∴0≤b≤6综合上述讨