2022年九年级中考数学训练-二次函数与线段周长问题附答案

2023中考专题训练——二次函数与线段周长问题

1.已知：如图，抛物线y=ax?+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)设P(x,y)(0<x<6)是抛物线上的动点，过点P作PQ〃y轴交直线BC于点Q.

①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少；

②是否存在这样的点P,使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请

说明理由.

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数尸%+〃?("?为常数)的图象与*轴交于点八(-3,

0),与y轴交于点C.以直线x=l为对称轴的抛物线y=o?+/7x+c(a,A,c为常数，且。加)经过

A,C两点，并与x轴的正半轴交于点B.

(1)求，”的值及抛物线的函数表达式；

(2)设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这

样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相

应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

(3)若P是抛物线对称轴上使AACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平

行的直线交抛物线于M(占，%),M式孙必)两点，试探究唳产是否为定值，并写出探究过

1V11ivi2

程.

3.如图,已知二次函数y=-x2+6x+c与x轴交于A、B两点,A在B左侧，点C是点A下方，且

AC_Lx轴.

(1)已知A(—3,O),B(-b0),AC=OA.

①求抛物线解析式和直线0C的解析式；

②点P从。出发,以每秒2个单位的速度沿X轴负半轴方向运动,Q从0出发，以每秒&个单位

的速度沿0C方向运动，运动时间为t.直线PQ与抛物线的一个交点记为M,当2PM=QM时，求t

的值(直接写出结果，不需要写过程)

(2)过C作直线EF与抛物线交于E、F两点(E、F在x轴下方)，过E作EG±x轴于G,连CG,BF,

求证：CG〃BF

4.如图1,直线1：y=；x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,-1),抛物线y=gx2+bx+c

经过点B,与直线1的另一个交点为C(4,n).

(1)求n的值和抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线上，DE〃y轴交直线l于点E,点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形

(如图2),设点D的横坐标为t(0VtV4),矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式

以及p的最大值；

(3)将^AOB绕平面内某点M旋转90。或180。，得到△AQiBi,点A、0、B的对应点分别

是点八|、01田1.若4AiOiBi的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，

请直接写出“落点”的个数和旋转180。时点A、的横坐标.

试卷第2页，共10页

5.如图1,抛物线(存0)的顶点为C(1,4),交无轴于A、B两点，交y轴于

(1)求抛物线的解析式；

⑵如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线

P。为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点“，使D、G、H、F

四点所围成的四边形周长最小；若存在，求出这个最小值及点G、”的坐标；若不存在，请说

明理由；

(3)如图3,在抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线，垂足为点M,过点M作MN//BD,

交线段AD于点N,连接MO,梗XDNMS^BMD.若存在，求出点T的坐标；若不存在，请

说明理由.

6.已知如图1,抛物线y=-]x+3与x轴交于A和3两点(点A在点8的左侧)，与y

o4

(1)如图2,若在直线AC上方的抛物线上有一点F,当△4£＞尸的面积最大时，有一线段

(点M在点N的左侧)在直线8。上移动，首尾顺次连接点A、M、N、尸构成四边形AMNF,

请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；

(2)如图3,将AOBC绕点。逆时针旋转a。(0VaY180。)，记旋转中的为△。Q。，若直

线9C与直线AC交于点P,直线夕C与直线0c交于点。，当ACP。是等腰三角形时，直接

写出CP的值.

7.如图，二次函数》=W2+版-1的图象与x轴与交于点A、点8(2,0),与y轴交于点C,

ZACB=90°.

(1)求二次函数解析式；

(2)直线/与轴平行，分别交线段AB、CB于点E、F,且与抛物线交于点P.

①求线段PF取得最大值时，0E的长；

②四边形ACPB的面积是否存在最大值？如果存在求出此最大值和点P的坐标;如果不存在,

说明理由.

=1_2

(3)不解方程组，直接写出'的解.

y=ax2+bx-\

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半

轴上，NAOC的平分线交AB于点D,E为BC的中点，已知A(0,4)、C(5,0),二次函

试卷第4页，共10页

(2)F、G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连结D、E、F、G构成四边形DEFG,求四边形

DEFG周长的最小值；

(3)抛物线上是否存在点P,使40DP的面积为12?若存在，求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

9.已知：如图，抛物线y=ax?+bx+2与x轴交于点A(4,0)、E(-2,0)两点，连结AB,过

点A作直线AKLAB,动点P从A点出发以每秒石个单位长度的速度沿射线AK运动，设运

动时间为t秒，过点P作PCLx轴，垂足为C,把AACP沿AP对折，使点C落在点D处.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点D在△ABP的内部时，△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S,求S与t之间的函

数关系式，并直接写出t的取值范围；

(3)若线段AC的长是线段BP长的g,请直接写出此时t的值；

(4)是否存在这样的时刻，使动点D到点O的距离最小？若存在请直接写出这个最小距离；

若不存在，说明理由.

10.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-gf+〃x+c(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三

角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.

(1)如图，若该抛物线过A,B两点，求b,c的值；

(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q.

①点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M,P,Q三点为顶点的三角

形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，求点M的坐标；

②取BC的中点N,连接NP,BQ.当取最大值时，点Q的坐标为_____________.

/Vr4-

11.如图，在平面直角坐标系wy中，直线y=-；x+2与X轴交于点8,与y轴交于点C,抛物

线y=ax?+/?x+c的对称轴是直线x=],与x轴的交点为点A,且经过点8、C两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点”为抛物线对称轴上一动点，当忸知-。0|的值最小时，请你求出点"的坐标；

(3)抛物线上是否存在点N,过点N作轴于点”，使得以点8、N、”为顶点的三角形与

相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

12.如图1,抛物线y=or2+(a+2)x+2(“0)与x轴交于点A(4,0)和点C,与>轴交于点8.

(1)求抛物线解析式和B点坐标；

(2)在x轴上有一动点尸(，%0),过点尸作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点〃.当点"

位于第一象限图象上，连接AM，BM，求面积的最大值及此时〃点的坐标；

(3)如图2,点8关于x轴的对称点为。，连接AD,BC.

①点尸是线段AC上一点(不与点A,C重合)，点。是线段AB上一点(不与点A8重合)，则两条

线段之和PQ+8P的最小值为；

②将AABC绕点A逆时针旋转。。(0<I<180),当点C的对应点。落在A4BD的边所在直线上时,

则此时点B的对应点用的坐标为.

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13.在平面直角坐标系中，平行四边形ABC。如图放置，其中AB=6,tanWC=2,点。的坐标

为（-2,0）,抛物线y=a?+6:+c经过点8、C、D.

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）连接8。，点P是8。下方抛物线上一动点，过点P作PELx轴交8。于点E,作PFLBD交

BD于点F，是否存在点尸使！PER的周长最大？若存在，求出！PEF周长的最大值及此时点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图，抛物线y=/_3“x+c与x轴交于A（-l,0）、B两点，与V轴交于点C（0,2）,P是线段

BC上的动点（点P不与B、C重合），连接AP并延长交抛物线于另一点Q,连接AC、CQ、

BQ.

（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；

（2）记ABC。的面积为S,求S关于x的函数表达式;

(3)点P在运动过程中，求黑的最大值及此时点Q的坐标.

15.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x+4与抛物线y=-/F+&+c(力，。是常数)交

于A、8两点，点A在x轴上，点8在y轴上.设抛物线与龙轴的另一个交点为点C

(1)求该抛物线的解析式；

(2)户是抛物线上一动点(不与点A、8重合)，

pn

①如图2,若点尸在直线上方，连接0P交A3于点。，求方的最大值；

②如图3,若点P在x轴的上方，连接PC,以PC为边作正方形CPEE,随着点P的运动，正

方形的大小、位置也随之改变.当顶点£或厂恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标.

16.己知，如图，二次函数y=-x?+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(3,0),点E为二次函

数第一象限内抛物线上一动点，EHLx轴于点H,交直线BC于点F,以EF为直径的圆OM

与BC交于点R.

(1)求这个二次函数关系式.

(2)当4EFR周长最大时.

①求此时点E点坐标及aEFR周长.

②点P为。M上一动点，连接BP,点Q为BP的中点，连接HQ,求HQ的最大值.

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17.如图抛物y=-光-竿x+6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交

于点C.C,D两点关于抛物线对称轴对称，连接BD交y轴于点E,抛物线对称轴交x轴于

点F.

(1)点P为线段BD上方抛物线上的一点，连接PD,PE.点M是y轴上一点，过点M作

MN，y轴交抛物线对称轴于点N.当APDE面积最大时，求PM+MN+等NF的最小值；

(2)如图2,在(1)中PM+MN+且NF取得最小值时，将△PME绕点P顺时针旋转120。后

2

得到△PME,点G是MN的中点，连接M-G交抛物线的对称轴于点H,过点H作直线1〃PM,

点R是直线1上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S,使以点M，，点G,点R,点S

为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由.

18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A,对称

轴x=-2交x轴于点C,直线1过点N(0,-2),且与x轴平行，过点P作PM11于点M,△AOB

的面积为2.

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)当NMPN=NBAC时，求P点坐标；

(3)①求证PM=PC；

②若点Q坐标为(0,2),直接写出PQ+PC的最小值.

19.如图1,抛物线yjzix2-3nix+n(〃?#))与x轴交于点C(-1,0)与y轴交于点B(0,3),

在线段。4上有一动点E(不与。、A重合)，过点E作x轴的垂线交直线于点N,交抛物

线于点P,过点P作PMLAB于点M.

(1)分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；

(2)设△PMN的面积为S/,AAEN的面积为S2,当兴盛时，求点P的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，将线段0E绕点。逆时针旋转的到09,旋转角为a((TVa

2

<90°),连接£A、E'B,求£A+§£8的最小值.

20.综合与研究

如图，抛物线尸-x2-2x+3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C点D(m,

0)为线段OA上一个动点(与点A,。不重合)，过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P,

与抛物线交于点Q,连接BP,与y轴交于点E.

(1)求A,B,C三点的坐标；

(2)当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；

(3)在点D运动的过程中，探究下列问题：

①是否存在一点D,使得PQ+qPC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说

明理由；

②连接CQ,当线段PE=CQ时，直接写出m的值.

备用图

试卷第10页，共10页

参考答案:

1.(1)y=#-x+2；(2)6=3,1；②P(3,0)或尸(|()或产(茅袅.

【分析】(1)已知了A,B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式.

(2)①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在(1)中已经求出，而

一次函数可根据B,C的坐标，用待定系数法求出.那么让一次函数的解析式减去二次函数

的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ

的最大值以及相对应的x的取值.

②分三种情况进行讨论：

当/QOA=90。时，Q与C重合，显然不合题意.因此这种情况不成立；

当NOAQ=90。时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；

当/OQA=90。时，如果设QP与x轴的交点为D,那么根据射影定理可得出DQ2=OD«DA.由

此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标.

【解析】解：(1):抛物线过A(3,0),B(6,0),

.俨+36+2=0

,•j36a+66+2=0'

解得：,9,

b=-\

所求抛物线的函数表达式是y=|x2-x+2.

(2)①:当x=0时,y=2,

・••点C的坐标为(0,2).

设直线BC的函数表达式是y=kx+h.

6k+h=0

则有

h=2

k=--

解得：，3.

h=2

.,.直线BC的函数表达式是y=-；x+2.

：0Vx<6,点P、Q的横坐标相同,

PQ=YQ-yp=(-；x+2)-(^x2-x+2)

--1x2+-2x

93

=--(x-3)2+1

9

••・当x=3时，线段PQ的长度取得最大值.最大值是1.

②解：当NOAQ，=90。时，点P与点A重合，

AP(3,0)

当/Q，OA=90。时，点P与点C重合，

/.x=0(不合题意)

当/OQ，A=90。时，

设PQ与x轴交于点D.

NOQD+/AOQ，=90。，/QAD+NAQA90。，

NOQ，D=NQ，AD.

又,?ZODQ,=ZQ,DA=90°,

-•.△ODQ^AQ^A.

.DQDA,。八

・・—=-r,即nrDQ'2=OD・DA.

ODDQ”

(--x+2)2=x(3-x),

3

10x2-39x+36=0,

312

••X1=-,X2=—,

1/3-3c3

yi=—x(­)2----+2=—；

,9224

y2=l(工)2上+2=3

,95525

._.33..126、

N或”名)•

.••所求的点P的坐标是P(3,0)或尸((，》或「葭袅・

【点评】本题考查二次函数综合及相似三角形的判定与性质.

151.1151515r-15

2a

2.(1)m=—,y=--x+-x+—；(2)E(2,—),SACEF=—;(V31---),S口ACFE二

4424424

15技+吗⑶定值।

4

【分析】(1)首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、

B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；

(2)存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.过点E作EG，x轴于

点G,构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形

的面积.注意：符合要求的E点有两个，不要漏解；

(3)本问较为复杂，分几个步骤解决：

第1步：确定何时4ACP的周长最小.利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；

第2步：确定P点坐标P(l,3),从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3-k；

第3步：利用根与系数关系求得Mi>M2两点坐标间的关系，得至Uxi+X2=2-4k,xiX2=-4k-3.这

一步是为了后续的复杂计算做准备；

第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、MIP和M2P的长度，相互比较即可

得到结论：乂鼠2P=1为定值.这一步涉及大量的运算’注意不要出错'否则难以得出最

后的结论

【解析】解：(1)：y=：x+m经过点(-3,0),

.'.0=-—+m,解得m=身，

44

直线解析式为y=gx+?,C(0,

444

•••抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=l,且与x轴交于A(-3,0),

・♦.另一交点为B(5,0),

设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-5),

•.•抛物线经过C(0,二)，

4

—=a*3(-5),解得a=-!，

44

抛物线解析式为y=-[x2+；x+；；

424

(2)假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形,

则AC〃EF且AC=EF.如答图1,

(i)当点E在点E位置时，过点E作EG_Lx轴于点G,

VAC//EF,AZCAO=ZEFG,

ZEGF=ZCOA=90

又,：乙GFE=4OAC,

EF=AC

/.△CAO^AEFG,

EG=CO=—,即VE=—，

44

j

v=-7Xe2+TXe+解得XE=2(XE=0与C点重合，舍去),

4424

・口”15、Q15

・・E(2,—),S°ACEF=—;

42

(ii)当点E在点E位置时，过点E作EGJ_x轴于点G，，

同理可求得日(67+1,-岸)，S°ACF-E-=15^-105.

44

(3)要使AACP的周长最小，只需AP+CP最小即可.

如答图2,连接BC交x=l于P点，因为点A、B关于x=l对称，根据轴对称性质以及两点

之间线段最短，可知此时AP+CP最小(AP+CP最小值为线段BC的长度).

VB(5,0),C(0,—),

4

・・・直线BC解析式为产-33x+15:，

44

Vxp=LAyp=3,即P(1,3).

令经过点P(L3)的直线为丫=1^+1),贝ljk+b=3,即b=3・k,

则直线的解析式是：y=kx+3-k,

y=kx+3-k,y=-:x2+,

联立化简得：x2+(4k-2)x-4k-3=0,

xi+x2=2-4k,x।X2=-4k-3.

*.*yi=kxi+3-k,y2=kxz+3-k,

*'•yi-y2=k(X1-X2).

根据两点间距离公式得到：

M|M2=+("-%/=J(X|_*2)2+A(X|-X2)2=J1+1]J(X|一与1

••MIM2=+k~—%)~—4X|X,=Jl+K(2-4k)--4(-4%-3)=4(1+K)

又MF=7(^-1)2+(>>-3)2=7(X,-1)2+(^,+3-^-3)2=1尸；

22

同理M2P=\J1+k.^/(%2-I)

22222

；.MIP.M2P=(1+k)•7(x1-l)(x,-l)=(1+k)•^[x,x2-(xl+x2)+l]

=(1+k2)•J[-4I_3_(2_4Z)+11=4(1+k2).

.,.M|P«M2P=M|M2,

【点评】本题是难度很大的中考压轴题，综合考查了初中数学的诸多重要知识点:代数方面，

考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程根与系数的关系以及二次

根式的运算等；儿何方面，考查了平行四边形、全等三角形、两点间的距离公式、轴对称-

最短路线问题等.本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高

的要求.

3.(1)①产一/一4%一3；尸x；②t="土历或63±3府；(2)证明见解析.

1850

【分析】(1)把A(—3,0),B(-l.0)代入二次函数解析式即可求出；由AC=OA知C点坐标

为G3,-3),故可求出直线OC的解析式；②由题意得O/2f,P(—230),过。作QHLx轴于

H,

PGPM]

得OH=”Q=f,可得2(—r,-f),直线P。为y=-X—2Z,过用作轴于G由=7==7=彳，

则2PG=GH,由2kp=昆—七/|,得2kp-=年历~XQ\,于是2卜2/—xj=即+0,

解得乙=-3r或%=-1r,从而求出M(—3⑴或M),再分情况计算即可；(2)过

F作切，x轴于“，想办法证得tan/CAG=tanNFBH,即/CAG=/FB”，即得证.

【解析】y=-x2+bx+c

fO=—9—3b+c[Z?=—4

解：(1)①把A(—3,O),B(-1,0)代入二次函数解析式得八,,解得：

[0=-l-/?+c[c=-3

.,.产一A2-4x—3；

由AC=OA知C点坐标为(-3,-3),；.直线OC的解析式尸；

②OP=2f,P(-2f,0),过。作QH_Lx轴于”，

'：Q0=y[2t,'-0H=HQ=t,

Q(-t,­t),.\PQ：y=­x—26

过M作MGLx轴于G,

•_P_G___P__M___1

GH~QM~2f

：.2PG=GH

—

,•2|xP—|=\xG|,即2'一如|=kw,

2卜2,-x/M=匕+1\,

•**XM=_3f或%=一丁，

当M(—3")时:r=-9r+12/-3,

.11±5^3

••t=----------

18

当M)时：-=一"

33393

.63±3714?

••t=-------------

50

综上：,=但叵或一但画

1850

(2)设A(m,0)、B(n,0),

，加、〃为方程X2一版一C=0的两根,

/•m+n=h,mn=­c,

・\y=-x2+(ni+n>)x—mn=—(x—tn)(x—n),

VE>F在抛物线上，设E(x，-再2+(m+〃)氏—〃2")、F(X,-X2+(,

22m+n)x2-nm),

设EF：y=kx+b,

.\yE=kxE+h

・•丹—»=%(%£—4)

...1=2^=Tj+占2+W+")(X1f)=,"+…

xE-xFx}-x2

AXXX

F\y=^tn+n-xx-2)(-1)-(1-ni)^-ri),令％=加

yc=(^m+n—xl—x2)(7?2-x1)—(xj-阳)(％-n)

—(加一％)(，%+〃一％-H)=(m-Xj)(/??-x2)

又<

AG=XA-xE=m-x^

AC

tanNCAG-......=x—tn,

AG?2

另一方面：过/作/轴于”,

FH=(w-z??)(x2-ri),BH=x2-nf

FH

/.tanZFB//=-----=x-m

BH2-

tanZCAG=tanZFBH

：.ZCAG=ZFBH

：.CG//BF

【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质及

正确作出辅助线进行求解.

]5728

4.(1)n=2；y=yx2-^-x-1；(2)p=--/2/；当t=2时，p有最大值1~；(3)6个，

—7-成4一.

123,

【分析】(1)把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即

可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；

(2)令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，

然后根据两直线平行，内错角相等可得NABO=NDEF,再解直角三角形用DE表示出EF、

DF,根据矩形的周长公式表示出p,利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得

到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；

(3)根据逆时针旋转角为90。可得AQi〃y轴时,BQi〃x轴，旋转角是180。判断出AQi〃x

轴时，BIAI〃AB,根据图3、图4两种情形即可解决.

【解析】解：

3.

(1),直线1：y=4x+m经过点B(0,-1),

m=-1，

_3

直线1的解析式为y=Ix-1,

3.

,直线1：y=4x-l经过点C(4,n),

3.

n=4x4-1=2,

•.,抛物线y=2x2+bx+c经过点C(4,2)和点B(0,-1),

12

yX4+4;b+c=O

c=-l

解得lc=-l,

[5.

•••抛物线的解析式为y=Ex2-Wx-l；」

3.

(2)令y=0,则4x-1=0,

1

解得x=3,

.•.点A的坐标为(3,0),

4_

OA=3,

在RtZiOAB中，OB=1,

2

AB^OA^OB^^)2+12=t,

：DE〃y轴，

/.ZABO=ZDEF,

OB2

在矩形DFEG中，EF=DE«cosZDEF=DE«AB=5DE,

0A_4

DF=DE・sin/DEF=DE・AB=5DE,

13.14

：.p=2(DF+EF)=2(5+5)DE=5DE,

•••点D的横坐标为t(0Vt<4),

15.3.

AD(t,2t2-4t-1),E(t,4t-1),

3.15.1_

DE=(4t-1)-(2t2-4t-l)=-2t2+2t>

141_7_28

；.p=5x(-2t2+2t)=-5t2+5t,

7_287.

Vp=-5(t-2)2+5,且-5<o,

28

.•.当t=2时，p有最大值5.

(3)“落点”的个数有6个，如图1,图2中各有2个，图3,图4各有一个所

_4

如图3中，设,Ai的横坐标为m,则Oi的横坐标为m+3,

1_5.14.5,1

2m2-4m-1=2(m+3)2-4(m+3)-1,

7

解得m=12,

4.

如图4中，设Ai的横坐标为m,则BI的横坐标为m+3,B］的纵坐标比例A1的纵坐标大1,

15.L111

/.2m2-4m-1+1=2(m+3)2-4(m+3)-1,

4.

解得m=3,

74_

...旋转180。时点Al的横坐标为12或3

【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法

求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难

点在于(3)根据旋转角是90。判断出A|Oi〃y轴时,BQ|〃X轴，旋转角是180。判断出AQ|〃X

轴时，BiAiZ/AB,解题时注意要分情况讨论.

5.(l)y=-(x-1)2+4；

(2)四边形。FHG的周长最小为2+26，G(I,1),W(1,0)；

315

⑶点7的坐标为(5,7

【分析】(1)设抛物线的解析式为：y=a(x-l)2+4,然后将点B的坐标代入函数解析式即

可求得此抛物线的解析式；

(2)作F关于龙轴的对称点k(0,-1),连接所，交x轴于“，交对称轴x=l于G,四边形

)HG的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点G、，的坐标；

(3)首先设”的坐标为(。,0),求得8。与的长，由平行线分线段成比例定理，求得MN

的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得加2=E>/犯，则可得到关于。的一元二

次方程，解方程即可求得答案.

(1)

解：设所求抛物线的解析式为：y=o(x-l)2+4,依题意，将点8(3,0)代入，得：

+4=0,

解得：a——\,

所求抛物线的解析式为：y=-(x-l『+4；

(2)

解：存在.如图，

图2

抛物线的对称轴方程为：x=\,

:点E的横坐标为2,

二)=-4+4+3=3,

.•.点E(2,3),

•••设直线AE的解析式为：y=kx+b,

\-k+b=O

[2k+h=3'

仅=1

,[b=\'

・・・直线AE的解析式为：产x+1,

・・.点尸(0,1)，

•・・。(0,3),

・・・。与E关于对称，

作尸关于x轴的对称点F(0-l),

连接E尸交x轴于"，交对称轴ml于G,

四边形DFHG的周长即为最小，

设直线£尸的解析式为：y=nu+n,

彳一，

2m+〃=3

m=2

解得:

n=-\

・・・直线E9的解析式为：）=2-1,

・••当）=0时，2x7=0,得x=；,

即呜，。）,

当x=l时，y=l,

G（l,1）,

•••OF=2,FH=F'H=O+f泻,DG=用下=芯,

.♦.使O,G,H,尸四点所围成的四边形周长最小值为：

DF+FH+GH+DG=2+—+—+^5=2+2^

22

解：存在，理由如下;

D

NI

/OM\X

图3

•.-BD=>/32+32=3>/2,

设M(c,0),

MN||BD,

.MN_AM

MN=*(l+c),DM=A/32+C2,

要使ADNMSABMD,

DMMN

DM2=BDMN,

BDDM

可得：9+c2=30x3立(1+c),

3

解得：c=-或c=3(舍去).

存在，点T的坐标为色，1)

【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题,相似三角形的判定与性质，

以及平行线分线段成比例定理等知识.此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的

应用.

2

6.(1)N点的横坐标为：-

恬小1025后4病—2410713^8765.

(2)CP的值为：----—或4-二一或一-」一或二一-4.

33913513

3

【分析】U)先求出点48坐标,用待定系数法求出直线AO解析式；再建立SAAOQ-z

225

(〃，+])2+7，进而求出尸点的坐标，再确定出点M的位置，进而求出点4,A2坐标，

即可确定出A2F的解析式为尸・丁107片]9①，和直线3。解析式为尸1；x-1②，联立方程组即

1682

可确定出结论；

(2)分四种情况讨论计算，利用锐角三角函数和勾股定理表示出线段，用相似三角形的性

质即可求出尸。的值.

(1)

33

解：♦.•抛物线广丁1+3与x轴交于4和B两点，

84

.'.x=2或％=-4,

，A(-4,0),B(2,0),

a：D(0,-1),

；•直线A。解析式为尸

如图1,过点尸作FHLc轴，交AD于H,

FH=--m2-—m+3-(--小-1)=--tn2-—

84482

・・・S^ADF=S^AFH+S^DFH=JFHx\xD-xA\=2FH

3]

=2(--w2-—ZH+4)

82

3

=--m2-m+S

4

32、，25

="-（z加+―）2+—，

433

2

当tn=--时，S^ADF最大,

・尸（210

如图2,作点A关于直线BD的对称点"把4沿平行直线BD方向平移到4,且4也=6,

连接上下，交直线8。于点N,把点N沿直线BO向左平移不得点此时四边形AMN尸

的周长最小.

tanZO^D=—,

2

,.,A8=6,

・・.AK二述，

5

44GA“12A/5

・AA/=2/4K=----

5

〜》1224

在mZkABK中，AH=《,A/H=y,

Q

・♦・OH=OA-AH=-,

AA/（-1,-y）,

过42作A2P_LA2”，

・・・ZA!A2P=ZABK,

A1A2—f

・"2P=2,AiP=\,

107o

.,.A2F的解析式为尸•上①，

loo

•・・B(2,0),D(0,-1),

直线B。解析式为尸;x-1②，

2

联立①②得，户-［不，

2

，N点的横坐标为：-yjg;

(2)

解:VC(0,3),B(2,0),D(0,-1),

：.CD=4,BC=y/l3,0B=2,

BC边上的高为£>H,

根据等面积法得，；BCxDH=；CDxOB,

...。/0挚=%=通

BC71313

VA(-4,0),C(0,3),

：.0A=4f003,

・•八°A4

・・tanZACD=----=—,

0C3

①当PGPQ时，简图如图1,

4

VtanZACD=—,

3

・••设CG=3〃，贝ijQG=3mPG=4mPQ=PC=5a,

：.DQ=CD-CQ=4-6a9

•：APGQS&DHQ,

.PGPQ

^~DH~'DQ'

4〃5a

8V134-6。，

13

."二_亚

339

."C=5a=W-2^1

339

过点P作PGLCD,

4

*tanZAC£>=—,

3

・••设CG=3小则PG=4m

CQ=PC=5a,

：.QG=CQ-CG=2a,

:,PQ=2ma,

：.DQ=CD-CQ=4-5a,

■:APGQsRDHQ,

同①的方法得出，尸。=4-勺叵;

13

过点Q作QGJ_PC,过点C作CNLPQ,

设CG=3a,IJliJQG=4a,PQ=CQ=5a,

：.PG=3a,

PC=6a,

：.DQ=CD-CQ=4-5af

利用等面积法得，CNxPQ:PCxQG,

*'•ON—,

■:XCQ^SRDQH,

同①的方法得出PC=3-M3

513

④当PC=C。时，简图如图4,

设CG=3a,则PG=4a,CQ=PC=5a,

：.QD=4+5a,PQ=4y/5,

♦：AQPGs丛QDH,

同①方法得出.CP=5叵-4,

13

综上所述，PC的值为：&史恒或4-岖或生㈣1或返-4.

3391351313

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，面积公式及计算方法，等腰三角

形的性质，相似三角形的判定和性质，分情况讨论计算是解本题的关键，构造出相似三角形

是解本题的难点.计算量较大.

x=1,

30

7.（1）丫=/_尸_［（）①1；当机=1时，如边形田£面积最大=7⑶%3

224V=

2

【解析】分析：（1）由AAOCSACOB得：OA=1，则点A0）,把A、B代入联立

方程组，即可求解；（2）①由题意得到直线BC的解析式为：y=；x-l,分别设出点E、F、

P的坐标，用含m的式子表示，从而求出线段PF取得最大值时，OE的长；

②利用S四边形AeE=SAABc+SAc,+S—,得到关于m的二次函数，配成顶点式，即可求解；

（4）根据函数图象可得出结果.

本题解析：

（1）NAC8=90°,OCJLAB,=——=—

OCOB2

•••OA=g,.♦.点A的坐标为（-；,0

八11入ia=1,

()=一。——P-1,

：.\42/.3

h-----

0=4。+28—12

(2)①设直线BC的解析式为y=H-l,由图象得:

0=2J

直线BC的解析式为：y=；x-L

如图，设：E(m,0),则Fpf/w,/n2-1w-l

=-m~+2m=一("'+1(0<tn<2)

・••当m=l时，产七大二1

.".OE=1

②如图：

四边形ACPB的面积存在最大值，

=

S四边形ACP5S4ABe+SQF+S*PF=耳AB-OC+—FP-CM+—FP-BE

111o9

=-(24--)xl+-(-m2+2w)x2=-(/n-l)92+-(0<7?i<2),

,9

当加=IH'J,S四边形AW面积最大=

3

・・・P(L

(3)由图可知:

8.⑴H-4c+岳⑶PJ9+呵77+啊或p(29-河,

■55888

77-5丽)或p(29+a-18+标)或p(29-a-18-历)

--88--88-

【分析】(1)二次函数的图象经过A、C两点，把A、C的坐标代入即可得到二次函数的表

达式为；

(2)先求出D,E的坐标，计算出DE的长，再作D关于y轴对称点D，(—4,4),E关

于x轴的对称点E，(5,-2),连结E，D，交x轴于点F,交y轴于点G,连结DG,EF,则

四边形DEFG的周长最小，而DE+GF+BF=ED=3g,从而得到四边形DEFG的周长的最

小值；

(3)设p(x,y),分P在x轴上方和P在x轴下方二种情况讨论，如图1,

S^ODP=S梯形PONM—SAPMD-SAOPN=2y—2x=12,得至U