定积分知识总结

..定积分知识总结一、根本概念和性质〔1〕定义二、微积分根本公式1、积分上限函数及其导数定义：设函数在区间上连续，对于任意，在区间上也连续，所以函数在上也可积.显然对于上的每一个的取值，都有唯一对应的定积分和对应，因此是定义在上的函数.记为，.称叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.定理1：如果函数在区间上连续，那么在上可导，且定理2、3：如果在区间上连续，那么它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为.2、牛顿——莱布尼茨公式定理4〔微积分根本公式〕如果函数在区间上连续，且是的任意一个原函数，那么.证由定理5.2知，是在区间的一个原函数，那么与相差一个常数C，即.又因为，所以.于是有.所以成立.为方便起见，通常把简记为或，所以公式可改写为三、定积分的积分法1、定积分的换元积分法定理1设函数在区间上连续，并且满足以下条件：〔1〕，且，；〔2〕在区间上单调且有连续的导数；〔3〕当从变到时，从单调地变到.那么有上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：=1\*GB3①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用把原积分变量换成新变量，积分限也必须由原来的积分限和相应地换为新变量的积分限和，而不必代回原来的变量，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.=2\*GB3②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法〔即凑微分法〕.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值.2、定积分的分部积分法设函数和在区间上有连续的导数，那么有.上述公式称为定积分的分部积分公式.选取的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.四、定积分的应用1、定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回忆求曲边梯形面积A的方法和步骤：(1)将区间分成个小区间，相应得到个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为；(2)计算的近似值，即〔其中〕；(3)求和得的近似值，即；(4)对和取极限得.下面对上述四个步骤进展具体分析：第(1)步指明了所求量〔面积〕具有的特性：即在区间上具有可分割性和可加性.第(2)步是关键，这一步确定的是被积表达式的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对省略下标，得，用表示的任一小区间，并取小区间的左端点为，那么的近似值就是以为底，为高的小矩形的面积〔如图5.7阴影局部〕，即.通常称为面积元素，记为.将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在上"无限累加〞，就得到面积.即.一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进展：〔1〕确定积分变量，并求出相应的积分区间；〔2〕在区间上任取一个小区间，并在小区间上找出所求量的微元；〔3〕写出所求量的积分表达式，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法.注能够用微元法求出结果的量一般应满足以下两个条件：=1\*GB3①是与变量的变化围有关的量；=2\*GB3②对于具有可加性，即如果把区间分成假设干个局部区间，那么相应地分成假设干个分量.2、定积分求平面图形的面积〔1〕直角坐标系下面积的计算(1)由曲线和直线所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再表达.(2)求由两条曲线，及直线所围成平面的面积〔如图5.8所示〕.下面用微元法求面积.=1\*GB3①取为积分变量，.=2\*GB3②在区间上任取一小区间，该区间上小曲边梯形的面积可以用高，底边为的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素.=3\*GB3③写出积分表达式，即.=3\*GB2⑶求由两条曲线，及直线所围成平面图形〔如图5.9〕的面积.这里取为积分变量，，用类似(2)的方法可以推出：.〔2〕极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程与射线所围成〔如图5.13所示〕.下面用微元法求它的面积A.以极角为积分变量，它的变化区间是，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为，中心角为的圆扇形的面积，从而得面积微元为于是，所求曲边扇形的面积为.3．定积分求体积(1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成〔如图5.15〕.取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，相应薄片的体积近似于以为底面圆半径，为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为，于是，所求旋转体体积为.(2)平行截面面积为的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，那么该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为轴，那么在处的截面面积是的连续函数，求该物体介于和之间的体积〔如图5.19〕.取为积分变量，它的变化区间为，在微小区间上近似不变，即把上的立体薄片近似看作为底，为高的柱片，从而得到体积元素.于是该物体的体积为.类似地，由曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成〔如图5.16〕，所得旋转体的体积为.4、平面曲线的弧长分类公式直角坐标设为光滑曲线，那么在弧段上弧长为：参数方程假设光滑曲线由参数方程给出，那么曲线弧弧长为：极坐标假设曲线弧由极坐标方程给出，且上具有连续导数，那么曲线弧弧长为：5、定积分在物理学上的应用分类公式变力沿直线作功假设积分变量为，变力的函数表达式为，那么变力沿直线所作的功为：水压力假设将由曲线及直线所围成的平面薄板铅直放入水中，水的比重为，取轴铅直向下，液面为轴，那么平面薄板一侧所