特征值与特征向量(高等代数)

§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵特征值与特征向量(高等代数)一、特征值与特征向量二、特征值与特征向量的求法§7.4特征值与特征向量三、特征子空间四、特征多项式的有关性质7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是

一个对角矩阵?引入有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.

变换都可以用矩阵来表示.为了研究线性变换性质，7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)设是数域P上线性空间V的一个线性变换，

则称为的一个特征值，称为的属于特征值一、特征值与特征向量

定义：若对于P中的一个数存在一个V的非零向量使得的特征向量.

7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)①几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，注：相同或相反时②若是的属于特征值的特征向量，则也是的属于的特征向量.但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若且，则7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)设是V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为A.

下的坐标记为二、特征值与特征向量的求法

分析：设是的特征值，它的一个特征向量在基则在基下的坐标为7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)而的坐标是于是又从而

又即是线性方程组的解，∴有非零解.

所以它的系数行列式

7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)以上分析说明：若是的特征值，则反之，若满足则齐次线性方程组有非零解.

若是一个非零解，特征向量.则向量就是的属于的一个7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)设是一个文字，矩阵称为称为A的特征多项式.1.特征多项式的定义A的特征矩阵，它的行列式

（是数域P上的一个n次多项式）7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注：①若矩阵A是线性变换关于V的一组基的矩阵，而是的一个特征值，则是特征多项式的根，即的一个特征值.反之，若是A的特征多项式的根，则就是（所以，特征值也称特征根.）而相应的线性方程组的非零解也就称为A的属于这个特征值的特征向量.7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)

i)在V中任取一组基写出在这组基下就是的全部特征值.ii)求A的特征多项式在P上的全部根它们2.求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵A.iii)把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量在基下的坐标.)并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)

则就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量.

而（其中，不全为零）

就是的属于的全部特征向量.如果特征值对应方程组的基础解系为：7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)对皆有所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是故数乘法变换K的特征值只有数k，且7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)解：A的特征多项式

例2.设线性变换在基下的矩阵是求特征值与特征向量.故的特征值为：（二重）

7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)

把代入齐次方程组得

即

它的一个基础解系为：

因此，属于的两个线性无关的特征向量为而属于的全部特征向量为不全为零

7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)因此，属于5的一个线性无关的特征向量为

把代入齐次方程组得

解得它的一个基础解系为：

而属于5的全部特征向量为7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)三、特征子空间

定义：再添上零向量所成的集合，即设为n维线性空间V的线性变换，为的一个特征值，令为的属于的全部特征向量则是V的一个子空间,称之为的一个特征子空间.7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)注：的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于的若在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则即特征子空间的维数等于齐次线性方程组(*)全部线性无关的特征向量就是的一组基.7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)四、特征多项式的有关性质1.设则A的特征多项式由多项式根与系数的关系还可得

②A的全体特征值的积＝①A的全体特征值的和＝称之为A的迹,记作trA.7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)证:设则存在可逆矩阵X，使得2.(定理6)

相似矩阵具有相同的特征多项式.于是，7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)注：②有相同特征多项式的矩阵未必相似.成是矩阵A的特征值与特征向量.它们的特征多项式都是，但A、B不相似.多项式；而线性变换的特征值与特征向量有时也说因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换的特征①由定理6线性变换的特征值与基的选择无关.如

7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)设为A的特征多项式,则证:

设是的伴随矩阵，则3.哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理都是λ的多项式，且其次数不超过n－1.又的元素是的各个代数余子式，它们因此，可写成零矩阵7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)其中，都是的数字矩阵.再设则，①而②比较①、②两式，得7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)③以依次右乘③的第一式、第二式、…、第n式、第n＋1式，得④7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)把④的n＋1个式子加起来，即得4.设为有限维线性空间V的线性变换，是的特征多项式，则零变换7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)例3.设求解：A的特征多项式用去除得7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)7.4特征值与特征向量特征值与特征向量(高等代数)练习1：已知为A的一个特征值，则（1）必有一个特征值为

;（2）必有一个特征值为

;（3）A可逆时，必有一个特征值为

;（4）A可逆时，必有一个特征值为

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