2021.05.30-71个模型 模型30-32：3类角平分线模型 模型分析 经典例题 巩固提升尽有！（附word）

模型30和角平分线有关的辅助线问题【模型分析】由角平分线想到的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。（二）角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。（三）作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。（四）以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

【经典例题】例1．（2020·盐城市盐都区实验初中八年级月考）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④例

2．（2020·山东泰安市·七年级期末）如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_______．

例3．（2021·北京顺义区·八年级期末）已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．

【巩固提升】1．（2019·浙江杭州市·）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．

2．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级其他模拟）如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为_______．

3．（2018·浙江八年级月考）如图，BP平分∠ABC，，E、F分别是角两边上点，现有四个结论知其一定能得其余结论的有①；②；③；④，_____.

4．（2020·广西南宁市·八年级期末）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．

5．（2020·全国九年级课时练习）（特例感知）（1）如图（1），是的圆周角，BC为直径，BD平分交于点D，，，求点D到直线AB的距离．（类比迁移）（2）如图（2），是的圆周角，BC为的弦，BD平分交于点D，过点D作，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由．（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD为的内接四边形，，BD平分，，，求的内心与外心之间的距离．

模型31三角形角平分线交角模型问题【模型分析】

【经典例题】例1．（2020·孝感市孝南区教学研究室八年级期中）如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①和都是等腰三角形②；③；④若，则．其中正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4

例2．（2021·全国八年级）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得；；和的平分线交于点，则__．（用表示）

例3．（2020·利辛县启明中学八年级月考）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．（1）求证：；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数．

【巩固提升】1．（2020·河北邢台市·八年级月考）在中，，若的平分线交于点，则的度数是（）A． B． C． D．

2．（2020·四川成都市·成都实外七年级期中）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则________

3．（2020·湖北十堰市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．

4．（2020·安陆市涢东学校八年级月考）平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC．

5．（2020·辽宁葫芦岛市·八年级期中）如图1，点A、B分别在射线、上运动（不与点O重台），、分别是和的角平分线，延长线交于点G．（1）若，则________；（直接写出答案）（2）若，求出的度数；（用含n的代数式表示）（3）如图2．若，过点C作交于点F，求与数量关系．

模型32角平分线和高线的夹角模型问题【模型分析】

【经典例题】例1．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）中，边上的高相交于点F，的角平分线交于点G，若，则______．

例2．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·八年级期中）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，．求和度数．

例3．（2020淄博·七年级期中）中，是的角平分线，是的高．（1）如图1，若，请说明的度数；（2）如图2（），试说明的数量关系；（3）如图3，延长到点，和的角平分线交于点，请求出的度数．

【巩固提升】1．（2020·哈尔滨市第四十七中学七年级期中）如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则__________度．

2．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________.

3．（2020·山西晋城市·七年级期末）（1）如图1，的内角的平分线与外角的平分线相交于P点，请探究与的关系，并说明理由（2）如图②③，四边形ABCD中，设为四边形ABCD的内角与外角的平分线所在直线相交而形成锐角，请利用（1）中的结论完成下列问题：①如图②，若，求的度数（用的代数式表示，记得把图转化为图）②如图③，若，请在图③中画出，并直接写出=______（用的代数式表示）

4．（2018·山西晋城市·七年级期末）在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．①当α＝70°时，∠BDC度数＝度（直接写出结果）；②∠BDC的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠AC