二次根式与勾股定理综合精编练习

二次根式与勾股定理综合练习一•选择题（共10小题）（2003?杭州）对于以下四个命题： ①若直角三角形的两条边长为 3与4，则第三边的长是5;②（匚）2=a:③若点P（a,b）在第三象限，则点Q（-a,-b）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（ ）A.只有①错误，其他正确B.①②错误，③④正确C.①④错误，②③正确D.只有④错误，其他正确（2008?绍兴校级模拟）编织一个底面周长为a、高为b的圆柱形花架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图中的AiCiBi,A2C2B2,…，则每一根这样的竹条的长度最少是（）（2011?无锡校级一模）如图，长方体的底面边长分别为 1cm和3cm，高为6cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要（ ）cm.出/9+16/出/9+16/C.D.■（2012?鲤城区校级模拟）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯， 纸杯开口圆的直径EF长为8cm，母线OF长为8cm，在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为（ ）

（2014?乐山）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD丄AC于点D.则BD的长为（ ）A/Ab\C（2014?德阳）如图，四边形ABCD中，AB=AD,AD//BC,ZABC=60°/BCD=30°BC=6，那么△ACD的面积是（ ）A.V3B.翻C.2V3D.TJ（2014?钦州）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从TOC\o"1-5"\h\zA点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（ ）J BA.1种 B.2种 C.3种 D.4种&（2014?荆州）如图，已知圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）B.2近dm C.2祈dm D.^5dm（2014春？邗江区期末）△ABC中，AB=AC，/BAC=90°直角/EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：①AE=CF ②△EPF是等腰直角三角形③EF=AP ④S四边形aepf=Saabc2TOC\o"1-5"\h\z当/EPF在厶ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），则上述结论始终正确的有 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（2008?天津）在平面直角坐标系中，已知点 A（-4,0）,B（2,0），若点C在一次函数y-x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点 C有（）2A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二.填空题（共10小题）（2009?兴化市模拟）若实数a满足|a-8|+吐二-二=a，贝Ua= .（2010?澄海区校级模拟）化简[__：：+；：「 [:一[i-= .（2011?六合区一模）如图，在5>5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点 C共 个.A\1K\b'TOC\o"1-5"\h\z（2012?德阳）有下列计算：①（m2）3=m6, ②「厂；二订--③m6怖2=m3,④=才：=打⑤<-:--其中正确的运算有 .

（2012?山西模拟）若规定符号 “”的意义是a*b=ab-bl则2*（「•-1）的值是 .（2015?湖州模拟）已知a,b,c是直角三角形的三条边，且 avbvc,斜边上的高为h,则下列说法中正确的是 .（只填序号）①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2;②b4+c2h2=b2c2;③由十'；- 可以构成三角形；④直TOC\o"1-5"\h\z角三角形的面积的最大值是 匚2（2012?平阳县模拟）勾股定理是初等几何中的一个基本定理. 这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣， 我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法， 所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点， 再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理.在如图的弦图中，已知：正方形 EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上.若正方形ABCD的面积=16,AE=1;则正方形EFGH的面积= .18.（2012?黄冈模拟）一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩,则小孩至少离开这棵树 米才是安全的.19.（2013?庄浪县校级模拟）观察下列二次根式的化简:心矿匕十，丄二-心矿匕十，丄二-：,••从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算值.ITJ—' 一（2013?哈尔滨）在△ABC中，AB=2迈,BC=1，/ABC=45°以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使/ABD=90°连接CD，则线段CD的长为 .三.解答题（共10小题）（2005?台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了 三斜求积术”即已知三角形的三边长，求它的面积.用现代式子表示即为：/222~.丄-■ :- —-^-4——'〔…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）.

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：[-「 —一: ■-{…②(其中P=r•)(1)若已知三角形的三边长分别为 5,7,8,试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；(2)你能否由公式①推导出公式②？请试试.(2008?凉山州)阅读材料，解答下列问题.例：当a>0时，女口a=6则|a|=|6|=6,故此时a的绝对值是它本身；当a=0时，|a|=0,故此时a的绝对值是零；当av0时，女口a=-6则|a|=|-6|=-(-6)，故此时a的绝对值是它的相反数.G(a>0)•••综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 丨0(a=0) ,-a这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.问：(1)请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式 —7的各种展开的情况;(2)猜想 「与|a|的大小关系.23.（23.（1997?福州）1V3+V2（2- 「；）°+2cos45°-3tan30°24.(24.(2009?邵阳)阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如们还可以将其进一步化简：==；(一)/ 一样的式子，其实我-1）V3+1（-1）V3+1（V3+1）（馅-1）2（V3-1）（V3）2-12以上这种化简的步骤叫做分母有理化.一还可以用以下方法化简：V3+1-」一」：仁；’厂—卫厂：齐- （四）「 . •一 一 （四）（1）请用不同的方法化简2V5+V3①参照（三）式得②参照（四）式得（2）化简:（1）请用不同的方法化简2V5+V3①参照（三）式得②参照（四）式得（2）化简:-=（V5+V3-=（V5+V31）；V3+1Vs+VsV7+Vs"川2口+1+佃-125.（2011?广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为 6m、8m•现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m为直角边的直角三角形•求扩建后的等腰三角形花圃的周长.(2012?重庆模拟)已知：如图，在△ABC中，AD丄BC,/1=/B.求证：△ABC是直角三角形.222(2013?贵阳)在厶ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边，当a+b=c时，△ABC9 9 9 9 9 9是直角三角形；当a+b丸时，利用代数式a+b和c的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类).(1)当厶ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 三角形.猜想，当a2+b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 c2时，△ABC为钝角三角形.判断当a=2,b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围.(2012?东海县校级模拟)大家在学完勾股定理的证明后发现运用 同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法.学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC,其一腰上的高为h,M是底边BC上的任意一点,M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2.(1)请你结合图形来证明： h1+h2=h；当点M在BC延长线上时，hi、h2、h之间又有什么样的结论.请你画出图形，并直接写出结论不必证明；利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线 li：y=』x+3,I2：y=-3x+3,4若12上的一点M到11的距离是丨求点M的坐标.(2013?武汉模拟)已知△ABC中，AB=AC.如图1,在△ADE中，若AD=AE，且/DAE=/BAC，求证：CD=BE;如图2,在厶ADE中，若/DAE=/BAC=60°且CD垂直平分AE,AD=3,CD=4,求BD的长；如图3,在厶ADE中，当BD垂直平分AE于H,且/BAC=2/ADB时，试探究CD2,BD2,A