第9章扭转强度与刚度课件

1、实验：一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒轴的扭转,r0为平均半径）(壁厚实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。1、实验：一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒轴的扭转,12、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。3、切应变（角应变）：直角角度的改变量。2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕2认为切应力沿壁厚均匀分布（方向垂直于其半径方向）。3、切应变（角应变）：直角角度的改变量。4、定性分析横截面上的应力（1）（2）因为圆周上切应变相同，所以横截面上切应力沿圆周均匀分布。（3）认为切应力沿壁厚均匀分布（方向垂直于其半径方向）。35、切应力的计算公式：t

dA对圆心的矩→tdAr0

da薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力计算式5、切应力的计算公式：tdA对圆心的矩→tdAr04二、关于切应力的若干重要性质1、剪切虎克定律做薄壁圆筒的扭转试验可得T纵轴T——ττpτsτbγ横轴二、关于切应力的若干重要性质1、剪切虎克定律做薄壁圆筒的扭转5剪切虎克定律在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。τγτpτsτb剪切虎克定律在弹性范围内切应力τγτpτsτb6从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体——xyzabOcddxdydzt'ttt'自动满足存在t'得2、切应力互等定理Me

Me

从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体单元体——xyza7切应力互等定理单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。dabctt't'txyzabOcddxdydzt'ttt'在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。切应力互等定理单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应8一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。一）、几何关系：1、实验：圆轴扭转时横截面上的应力2、变形规律：圆周线—形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）几何关系：由实验找92、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小、间距不变，半径仍为直线。4、定性分析横截面上的应力（1）（2）因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕105、切应变的变化规律：取楔形体O1O2ABCD为研究对象DD’A5、切应变的变化规律：取楔形体O1O2ABCD为115、切应变的变化规律：取楔形体O1O2ABCD为研究对象微段扭转变形

djDD’AD’A点处的切应变a点处的切应变5、切应变的变化规律：取楔形体O1O2ABCD为研究对象微12二）物理关系：

弹性范围内→→方向垂直于半径。dj/

dx－扭转角变化率二）物理关系：→→方向垂直于半径。dj/dx－扭转角13

扭转切应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）→扭转切应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截14三）静力关系：dA

令代入物理关系式得：圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。TO扭转变形计算式三）静力关系：dA令代入物理关系式15横截面上——抗扭截面模量，整个圆轴上——等直杆：三、公式的使用条件：1、等直的圆轴，2、弹性范围内工作。Ip—截面的极惯性矩，单位：二、圆轴中τmax的确定单位：圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式:横截面上——抗扭截面模量，整个圆轴上——等直杆：三、公式的16四、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp实心圆截面：Odrrd四、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp实心圆截面：O17空心圆截面：DdrrOd四、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp空心圆截面：DdrrOd四、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截18注意：对于空心圆截面DdrrOd注意：对于空心圆截面DdrrOd19解：（1）计算外力偶矩、扭矩由截面法（2）计算极惯性矩,AC段和CB段横截面的极惯性矩分别为

（3）计算应力

，例

AB轴传递的功率为，转速。如图所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知。试计算AC以及CB段的最大切应力。解：（1）计算外力偶矩、扭矩由截面法（2）计算极惯性矩,201、强度条件：2、强度条件应用：1）校核强度:扭转变形扭转强度和刚度计算≤≥2）设计截面尺寸:3）确定外载荷:≤一、扭转强度计算等截面圆轴:变截面圆轴:1、强度条件：2、强度条件应用：扭转变形扭转强度和刚度计算21例

已知T=1.5kN

.

m，[t

]

=

50MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与

a

=

0.9

的空心圆轴。解：1.确定实心圆轴直径2.确定空心圆轴内、外径3.重量比较空心轴远比实心轴轻例已知T=1.5kN.m，[t]=50M22解：1.计算扭矩作扭矩图例

R0＝50mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为

d1=

5

mm，d2=

4

mm，m=

3500

N

.m/m，l

=

1

m，[t]=50

MPa，试校核圆管强度。解：1.计算扭矩作扭矩图例R0＝50mm的薄壁圆管，232.强度校核危险截面：截面

A与B圆管强度足够例

R0＝50mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为

d1=

5

mm，d2=

4

mm，m=

3500

N

.m/m，l

=

1

m，[t]=50

MPa，试校核圆管强度。解：1.计算扭矩作扭矩图2.强度校核危险截面：截面A与B圆管强度足够例R24BC段AB段2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度该轴满足强度条件。2214T图（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACB例

图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径

d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN•m，MB=36kN•m，MC=14kN•m。材料的许用切应力[t

]=80MPa，试校核该轴的强度。解：1、求内力，作出轴的扭矩图BC段AB段2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度该轴满足25例有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径分别为d1＝40㎜，d2＝70㎜，。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T1＝0.62kN•m，T2＝0.81kN•m，T3＝1.43kN•m。材料的许用切应力[τ]=60MPa，G＝8×104MPa，试校核该轴的强度。阶梯形圆轴

解（1）作出扭矩图（见图b）（2）强度校核由于AC段和BD段的直径不相同，横截面上的扭矩也不相同，因此，对于AC段轴和BD段轴的强度都要进行校核。0.62kN•m1.43kN•m例有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴26AC段

BD段

计算结果表明，轴的强度足够阶梯形圆轴

0.62kN•m1.43kN•m例有一阶梯形圆轴，轴的直径分别为d1＝40㎜，d2＝70㎜，。已知T1＝0.62kN•m，T2＝0.81kN•m，T3＝1.43kN•m。材料的许用切应力[τ]=60MPa，G＝8×104MPa，试校核该轴的强度。AC段BD段27一、扭转变形：（相对扭转角）扭转角单位：弧度（rad）

GIP——抗扭刚度。——单位长度的扭转角二、扭转杆的变形和刚度计算扭转变形与内力计算式扭矩不变的等直轴各段扭矩为不同值的阶梯轴一、扭转变形：（相对扭转角）扭转角单位：弧度（rad）——单28

#图示阶梯圆杆，如各段材料也不同，AB两截面的相对扭转角为：

#

图示等直圆杆受分布扭矩t

作用，t的单位为。T从中取dx段，dx段两相邻截面的扭转角为：TAB截面相对扭转角为：

T#图示阶梯圆杆，如各段材料也不同，AB两截面的相对扭29

从中取dx段，该段相邻两截面的扭转角为：

#图示为变截面圆杆，A、B两端直径分别为d1、d2。AB截面相对扭转角为：

从中取dx段，该段相邻两截#图示为变截面圆30——单位长度的扭转角圆轴受扭时，除满足强度条件外，还须满足一定的刚度要求。通常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许用值圆轴受扭时刚度条件可写作3、刚度条件应用：1)、校核刚度；≤3)、确定外载荷:2)、设计截面尺寸:三、扭转杆的刚度计算——单位长度的扭转角圆轴受扭时，除满足强度条件外，还31例

已知：MA=180N.m，MB=320N.m，MC=140N.m，Ip=3105mm4，l=2m，G=80GPa，[q]=0.5()/m。jAC=?校核轴的刚度解：1.内力、变形分析2.刚度校核轴的刚度足够例已知：MA=180N.m，MB=32032例

试计算图示圆锥形轴的总扭转角解：例试计算图示圆锥形轴的总扭转角解：33例

长L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[

]=30MPa，试设计杆的外径；若[

]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。解：1.作扭矩图L-x2.设计杆的外径例长L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用34例长L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[

]=30MPa，试设计杆的外径；若[

]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。L-x代入数值得：D

0.0226m。3.由扭转刚度条件校核刚度刚度足够例长L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的35例

长L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[

]=30MPa，试设计杆的外径；若[

]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。L-x4.右端面转角为：例长L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的36例

实心圆轴受力如图示，已知材料的试设计轴的直径D。

扭矩图解（一）绘制扭矩图如图。

（二）由强度条件设计D。解得：

（三）由刚度条件设计D。解得：

从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用D=102mm。例实心圆轴受力如图示，已知材料的扭矩图解（一）绘制扭矩37例有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径分别为d1＝40mm，d2＝70mm。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T1＝0.62kN•m，T2＝0.81kN•m，T3＝1.43kN•m。材料的许用切应力[t]=60MPa，G＝8×104MPa，轴的许用单位长度扭转角为[θ]＝2°/m，试校核该轴的强度和刚度。解（1）作出扭矩图

（2）强度校核由于AC段和BD段的直径不相同，横截面上的扭矩也不相同，因此，对于AC段轴和BD段轴的强度都要进行校核。0.62kN•m1.43kN•m例有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。38AC段BD段（3）刚度校核AC段BD段计算结果表明，轴的强度和刚度是足够的。0.62kN•m1.43kN•mAC段BD段（3）刚度校核AC39例：圆轴直径，长，左端固定，右端有一直径的鼓轮。轮上绕以钢绳，绳的端点悬挂重物，轴发生扭转变形。绳长，横截面面积，弹性模量。重量。轴的切变模量。求轴内最大扭转切应力和重物下降的距离。例：圆轴直径，长，左端固定，右端有一直径的鼓轮。轮上绕以钢绳40轴内最大扭转切应力、AB间相对转角重物下降的距离轴内最大扭转切应力、AB间相对转角重物下降的距离41如图所示小锥度薄壁圆锥形管收外力偶作用。已知管的长度为，两端直径分别为和，厚度为，材料的剪切模量为。求两端的相对扭转角。如图所示小锥度薄壁圆锥形管收外力偶作用。已知管的长度为，两端42取处微段研究，其端面受到扭矩为。微段可视为等值薄壁圆筒，则其应力为取处微段研究，其端面受到扭矩为。微段可视为等值薄壁圆筒，则其43例试求图示轴两端的反力偶矩解:受力分析,建立平衡方程未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一次超静定四、扭转超静定问题变形分析,列变形协调方程联立求解方程(a)与(b)建立补充方程代入上式例试求图示轴两端的反力偶矩解:受力分析,建立平衡方程44例长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求：固定端的反力偶。解：①杆的受力图②几何方程：③物理方程：例长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m45④由平衡方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。x平衡方程几何方程④由平衡方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。x平衡方程46圆轴扭转破坏分析低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45

的螺旋线断开。材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏(塑性材料）；圆轴扭转破坏分析低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：47tt´t´t

tasa

x分析方法——取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的）tt´t´ttasax分析方法——取单元体（单元体上的应48设：ef边的面积为dA则

t´t

tasaxntefbeb边的面积为dAcosabf边的面积为dAsinatt´设：ef边的面积为dA则t´ttasaxntefb49若材料抗拉压能力差，构件沿45斜截面发生破坏（脆性材料）。结论：若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；