单纯形法-课件

1第二章单纯形法

2.1单纯形法原理1第二章单纯形法

2.1单纯形法原理2一、基础定理定理1若线性规划问题存在最优解，则问题的可行域是凸集。定理2线性规划问题的基本可行解对应线性规划问题可行域（凸集）的顶点。定理3若线性规划问题最优解存在，则最优解一定在可行域顶点处取得。由此可看出，最优解要在基本可行解（可行域顶点）中找。2一、基础定理定理1若线性规划问题存在最优解，则问题的可3

若LP问题有最优解的话，定在可行域的某顶点处达到，又，一个顶点对应一个基本可行解，一个自然的想法是：找出所有的基本可行解。因基本可行解的个数有限，通过“枚举法”，从理论上讲总能找出所有的基本可行解。而事实上随着m，n的增大，解的个数迅速增大，致使此路行不通。3若LP问题有最优解的话，定在可行域的某顶点处达4换一种思路：若从某一基本可行解（今后称之为初始基本可行解）出发，每次总是寻找比上一个更“好”的基本可行解，逐步改善，直至最优。这需要解决以下三个问题：1.如何找到一个初始的基本可行解。2.如何判别当前的基本可行解是否已达到了最优解。3.若当前解不是最优解，如何去寻找一个改善了的基本可行解。4换一种思路：若从某一基本可行解（今后称之为初始基本可行解）5定义：如何从一个可行基找另一个可行基？称基变换。定义：两个基本可行解称为相邻的，如果它们之间仅变换一个基变量。对应的基称为相邻可行基。例LP问题二、思路解析5定义：如何从一个可行基找另一个可行基？称基变换。定义：两个6当前可行基{}所对应的基本可行解显然不是最优。因为从经济意义上讲，意味着该厂不安排生产，因此没有利润。相应地，将代入目标函数得从数学角度看，若让非基变量取值从零增加，(对应可行域的)6当前可行基{}所7相应的目标函数值Z也将随之减少。因此有可能找到一个新的基本可行解，使其目标函数值有所改善。即进行基变换，换一个与它相邻的基。再注意到前的系数－2比

前的系数－1小，即每增加一个单位对Z的贡献比大。故应让从非基变量转为基变量，称为进基。又因为基变量只能有三个，因此必须从原有的基变量中选一个离开基转为非基变量，称为出基。谁出基？7相应的目标函数值Z也将随之减少。因此有可能找到一个新的基本8又因为仍留作非基变量，故仍有（2）式变为再让从零增加，能取得的最大值为此时，已经从24降到了0，达到了非基的取值，变成非基变量。从而得到新的可行基。由此得到一个新的基本可行解：8又因为仍留作非基变量，故仍有（2）式变为再让9目标函数值：从目标函数值明显看出，比明显地得到了改善。此基本可行解对应可行域的将（2）式（2）可行基留在左边，非基变量移到右边9目标函数值：从目标函数值明显看出，比明10（3）用代入法得：（4）10（3）用代入法得：（4）11代入目标函数得：这一过程用增广矩阵的行初等变换表示为：×1/6×（-1）×（2）按最小非负比值规则：主元素11代入目标函数得：这一过程用增广矩阵的行初等变换表示为：×12目标函数系数行按最小非负比值规则：12目标函数系数行按最小非负比值规则：13×3/2×（-5）×（-1/3）×（1/3）13×3/2×（-5）×（-1/3）×（1/3）14所对应的LP问题14所对应的LP问题15可行基令非基变量为0，得到最优解最优值：15可行基令非基变量为0，得到最优解最16总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能保证基可行解的非负性。最小比值能做到这一点。②主元素不能为0。因为行的初等变换不能把0变成1。③主元素不能为负数。因为用行的初等变换把负数变成1会把常数列中对应的常数变成负数。此基本可行解对应可行域的其结果与图解法一致。16总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能保证基此基17人工变量法（也称大M法）针对标准形约束条件的系数矩阵中不含单位矩阵的处理方法。例6用单纯形法求解LP问题

单纯形的进一步讨论17人工变量法（也称大M法）针对标准形约束条件的系数矩阵中不18解：先将其化为标准形式再强行加上人工变量，使其出现单位矩阵：18解：先将其化为标准形式再强行加上人工变量，使其出现单位矩19但这样处理后：①不易接受。因为是强行引进，称为人工变量。它们与不一样。称为松弛变量和剩余变量，是为了将不等式改写为等式而引进的，而改写前后两个约束是等价的。②人工变量的引入一般来说是前后不等价的。只有当最优解中，人工变量都取值零时（此时人工变量实质上就不存在了）才可认为它们是等价的。处理办法：把人工变量从基变量中赶出来使其变为非基变量。为此，发明者建议把目标函数作如下处理：19但这样处理后：①不易接受。因为是强行引进，称20其中M为任意大的实数，M称为罚因子。用意：只要人工变量取值大于零，目标函数就不可能实现最优。对此单纯形矩阵作初等行变换，有：20其中M为任意大的实数，M称为罚因子。用意：只要人工变量取21×－M×－M×（-1）×（-3）×（4M）×1/621×－M×－M×（-1）×（-3）×（4M）×1/622×3/2×（-1/3）×（3）22×3/2×（-1/3）×（3）23至此，检验行已没有负数，当前解即为最优解。最优值为：去掉人工变量，即得原LP问题的最优解：23至此，检验行已没有负数，当前解即为最优解。最优值为：去掉24⑴

最优解判别定理：所有检验数≥0；人工变量为0⑵

无穷多最优解判别定理：所有检验数≥

0；人工变量为0；存在某个非基变量的检验数为0⑶

无可行解判别：所有检验数≥

0；人工变量≠0(4)无界解判别定理：有一个非基变量的检验数＜0,但该数对应的列中没有正元素；人工变量为0解的判别定理：24⑴最优解判别定理：所有检验数≥0；人工变量为0⑵25单纯形法步骤一、构造初始可行基1、引入附加变量，化为标准型2、必要时引入人工变量3、目标函数中，附加变量系数为0，人工变量则为M二、求基本可行解1、用非基变量表示基变量和目标函数式2、求出一个基本可行解及相应Z值三、最优性检验依据:检验数及判别定理四、基变换1、换入基的确定：检验数负值中最小的2、换出基的确定：最小非负比值规则返回步骤二25单纯形法步骤一、构造初始可行基26例2解LP问题：对单纯形矩阵作初等行变换，有：按最小非负比值原则：确定主元素。×（-1）×（1）1、无穷多个解三、其他解的情况26例2解LP问题：对单纯形矩阵作初等行变换，有：按最小27至此，检验行已没有负数，当前解即为最优解。此时对应的LP问题为：027至此，检验行已没有负数，此时对应的LP问题为：028此时对应的LP问题为：028此时对应的LP问题为：029此时对应的LP问题为：0129此时对应的LP问题为：0130当时，不管取何值，均有目标函数取得最大值1。此时约束方程为：其中为基变量。用非基变量表示出基变量：其中，为自由变量。设为有:其中c是满足非负性的任意常数。30当时，不管取何值，均有目标函数取得最大值1。31再由的非负性，知：解出（其中）最优解为：最优值为：-131再由的非负性，知：解出（其中322、无最优解的两种情况：⑴无界解例3解LP问题：解：对单纯形矩阵作初等行变换，有：322、无最优解的两种情况：⑴无界解例3解LP问题33×1/2×（2）注意到－6所在的列无正元素，将基变量及目标函数用非基变量表示为33×1/2×（2）注意到－6所在的列无正元34从目标函数看，若令非基变量无限增大，Z也无限性，即该LP问题所追求的目标函数是无界的，即无最小值，于是该LP问题无最优解。减小，且没有影响的非负34从目标函数看，若令非基变量无限增大，Z也无限性，即该LP35⑵无可行解例4求解LP问题解：可行域为空集，无可行解。35⑵无可行解例4求解LP问题解：可行域为空集，无可36下面先把此LP问题化为标准型，然后用单纯形法大M求解。对单纯形矩阵作初等行变换，有：36下面先把此LP问题化为标准型，然后用单纯形法大M求解。对37从最后一个矩阵可看出，此LP问题无可行基，当然就无可行解。37从最后一个矩阵可看出，此LP问题无可行基，当然就无38LP当前解已是最优的四大特征：⑴存在一组(初始)可行基（其系数矩阵为单位阵）。⑵检验行的基变量系数=0。⑶检验行的非基变量系数≥0。全部〉0⇒唯一解。存在=0⇒无穷多个解。⑷常数列向量≥0。下面的问题是：所给LP的标准型中约束矩阵中没有现成的可行基怎么办？38LP当前解已是最优的四大特征：⑴存在一组(初始)可行392.2单纯形法的表格形式

书例2.1P18表格：P25392.2单纯形法的表格形式

书例2.1P40作业P791.3（2），1.7（1）40作业41大M法目标是尽快把人工变量从基变量中全部“赶”出去（如果能全部“赶”出去的话）。所用方法除了大M法外，还有下面的两阶段法。

两阶段法用大M法处理人工变量时，若用计算机处理，必须对M给出一个较大的具体数据，并视具体情况对M值作适当的调整。为了克服这一麻烦，下面的两阶段法将问题拆成两个LP问题分两个阶段来计算：2.3大M法和两阶段法41大M法目标是尽快把人工变量从基变量中全部“赶”出去（如果42两阶段法的第一阶段求解一个目标中只包含人工变量的LP问题，即令目标函数中其它变量的系数取零，人工变量的系数取某个正的常数（一般取1），在保持原问题约束不变的情况下求这个目标函数极小化的解。显然在第一阶段中，当人工变量取值为0时，目标函数值也为0。这时候的最优解就是原问题的一个基可行解。如果第一阶段求解结果最优解的目标函数值不为0，也即最优解的基变量中含有非零的人工变量，表明原LP问题无可行解。42两阶段法的第一阶段求解一个目标中只包含人工变量的LP问题43第二阶段：求解原线性规划问题的最优解。以第一阶段的最终单纯形表为基础，去掉人工变量，目标函数换为原问题的目标函数，得到第二阶段的初始表，继续迭代求解。43第二阶段：求解原线性规划问题的最优解。44⑴若求得的单纯形矩阵中，所有人工变量都处在非基变量的位置。即及。则从第1阶段去掉人工变量后，即为原问题的初始单纯形矩阵。并进入第2阶段。第一阶段求解第一个线性规划：44⑴若求得的单纯形矩阵中，所有人工变量都处在非基变量第45⑵若第一阶段所求得的单纯形中仍含有（解）非零的人工变量，则说明原问题无可行解。不再进入第2阶段。因此两阶段法的第1阶段求解有两个目的：一为判断原问题有无可行解。二，若有，则得原问题的一个初始可行基，再对原问题进行第2阶段的计算。45⑵若第一阶段所求得的单纯形中仍含有（解）非零的人工因46对单纯形矩阵作初等行变换，有：例：第1阶段：46对单纯形矩阵作初等行变换，有：例：第1阶段：47×（-1）×（-1）47×（-1）×（-1）48×（-3）×（4）×1/6×（-1）48×（-3）×（4）×1/6×（-1）49×（-3）×（6）×2转入第2阶段：3-1×（-3）49×（-3）×（6）×2转入第2阶段：3-1×（-3）50×3/2×（-1/3）×（3）50×3/2×（-1/3）×（3）51书例：表格形式大M法:P25表2.2.1两阶段法:P27表2.3.1；2.3.251书例：表格形式大M法:P25表2.2.152作业P801.8（1）52作业532.5