第一章空间向量与立体几何（知识清单典型例题）高二数学讲义（人教A版2019选择性）

第一章空间向量与立体几何（知识清单+典型例题）【知识导图】【知识清单】考点一：空间向量的有关概念1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b【例1】(1)给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量eq\o(AA′,\s\up8(→))相等的向量有________；与向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④(2)eq\o(BB′,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))，eq\o(DD′,\s\up8(→))eq\o(B′A′,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(C′D′,\s\up8(→))[(1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量eq\o(AA′,\s\up8(→))相等的向量有eq\o(BB′,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))，eq\o(DD′,\s\up8(→)).与向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))相反的向量有eq\o(B′A′,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(C′D′,\s\up8(→)).]【规律方法】解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量.考点二：空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【例2】(1)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量eq\o(AC1,\s\up8(→))的有()①(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))；②(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))；③(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))；④(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→)).A．1个B．2个C．3个D．4个(2)已知正四棱锥P­ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．①eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))＋zeq\o(PA,\s\up8(→))；②eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→)).[思路探究](1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如eq\o(AC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)).(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解．(1)D[对于①，(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→))；对于②，(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AD1,\s\up8(→))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→))；对于③，(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AB1,\s\up8(→))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→))；对于④，(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AB1,\s\up8(→))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→)).](2)[解]①如图，∵eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PO,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up8(→))，∴y＝z＝－eq\f(1,2).②∵O为AC的中点，Q为CD的中点，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))，eq\o(PC,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→))＝2eq\o(PQ,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))－eq\o(PC,\s\up8(→))，eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PD,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))－2eq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→))，∴x＝2，y＝－2.【规律方法】1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．考点三：共线问题(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.【例3】(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up8(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up8(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断eq\o(CE,\s\up8(→))与eq\o(MN,\s\up8(→))是否共线．[思路探究](1)根据向量共线的充要条件求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，把eq\o(MN,\s\up8(→))表示成λeq\o(CE,\s\up8(→))的形式，再根据向量共线的充要条件求解．(1)1[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.设eq\o(AD,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝7,λk＝k＋6))，解得k＝1.](2)[解]法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→))＋eq\o(FN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up8(→)).又因为eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＋eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(BN,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))－eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up8(→))，以上两式相加得eq\o(CE,\s\up8(→))＝2eq\o(MN,\s\up8(→))，所以eq\o(CE,\s\up8(→))∥eq\o(MN,\s\up8(→))，即eq\o(CE,\s\up8(→))与eq\o(MN,\s\up8(→))共线．法二：因为四边形ABEF为平行四边形，所以连接AE时，AE必过点N.∴eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AN,\s\up8(→))－2eq\o(AM,\s\up8(→))＝2(eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AM,\s\up8(→)))＝2eq\o(MN,\s\up8(→)).所以eq\o(CE,\s\up8(→))∥eq\o(MN,\s\up8(→))，即eq\o(CE,\s\up8(→))与eq\o(MN,\s\up8(→))共线．【规律方法】证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up8(→))＝λeq\o(PB,\s\up8(→))成立．(2)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))(t∈R)．(3)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))(x＋y＝1)．考点四：向量共面问题(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).【例4】已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)).(1)判断eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))三个向量是否共面；(2)判断M是否在平面ABC内．[思路探究](1)根据向量共面的充要条件，即判断是否eq\o(MA,\s\up8(→))＝xeq\o(MB,\s\up8(→))＋yeq\o(MC,\s\up8(→))；(2)根据(1)的结论，也可以利用eq\o(OM,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))中x＋y＋z是否等于1.[解](1)∵eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝3eq\o(OM,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＋(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))，∴eq\o(MA,\s\up8(→))＝eq\o(BM,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\o(MB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．【规律方法】解决向量共面的策略1若已知点P在平面ABC内，则有EQ\o(AP,\s\up8(→))＝xEQ\o(AB,\s\up8(→))＋yEQ\o(AC,\s\up8(→))或EQ\o(OP,\s\up8(→))＝xEQ\o(OA,\s\up8(→))＋yEQ\o(OB,\s\up8(→))＋zEQ\o(OC,\s\up8(→))x＋y＋z＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.2证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.考点五：空间向量的数量积运算1．空间向量的夹角(1)夹角的定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，两向量垂直，记作a⊥b.2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c3．投影向量(1)投影向量在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉eq\f(a,|a|).(2)向量a在平面β上的投影向量向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))，则向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up8(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．[提醒](1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；(2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律，即a·b＝a·c⇒b＝c，a·b＝k⇒b＝eq\f(k,a)，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．【例5】(1)如图，三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))等于()A．－2B．2C．－2eq\r(3)D．2eq\r(3)(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，求eq\o(OG,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))的值．(1)A[∵eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0－2×2×cos60°＝－2.](2)[解]eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))]＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→)).∴eq\o(OG,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OB,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(OA,\s\up8(→))))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))2＝eq\f(1,3)×22＋eq\f(1,3)×32＋eq\f(1,3)×12＝eq\f(14,3).【规律方法】在几何体中求空间向量的数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.考点六：利用数量积证明空间垂直关系【例6】已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.[思路探究]首先把向量eq\o(OG,\s\up8(→))和eq\o(BC,\s\up8(→))均用eq\o(OA,\s\up8(→))、eq\o(OB,\s\up8(→))、eq\o(OC,\s\up8(→))表示出来，通过证明eq\o(OG,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0来证得OG⊥BC.[证明]连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|.又eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\o(ON,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up8(→))＋\o(OC,\s\up8(→))))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝c－b.∴eq\o(OG,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b)＝eq\f(1,4)(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝eq\f(1,4)(|a|2·cosθ－|a|2·cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.∴eq\o(OG,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，即OG⊥BC.【规律方法】用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．考点7：夹角问题【例7】(1)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为()A．30° B．45°C．60° D．以上都不对(2)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值．[思路探究](1)根据题意，构造△ABC，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，根据△ABC三边之长，利用余弦定理求出向量a与b之间的夹角即可．(2)求异面直线OA与BC所成的角，首先来求eq\o(OA,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．(1)D[∵a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，∴以这三个向量首尾相连组成△ABC；令eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，则△ABC三边之长分别为BC＝2，CA＝3，AB＝4；由余弦定理，得：cos∠BCA＝eq\f(BC2＋CA2－AB2,2BC·CA)＝eq\f(22＋32－42,2×2×3)＝－eq\f(1,4)，又向量eq\o(BC,\s\up8(→))和eq\o(CA,\s\up8(→))是首尾相连，∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,4)，即向量a与b之间的夹角〈a，b〉不是特殊角．](2)[解]∵eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝|eq\o(OA,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉－|eq\o(OA,\s\up8(→))|·|eq\o(AB,\s\up8(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2).∴cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(OA,\s\up8(→))·\o(BC,\s\up8(→)),|\o(OA,\s\up8(→))|·|\o(BC,\s\up8(→))|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5)，∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为eq\f(3－2\r(2),5).【规律方法】利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．题型八：距离问题【例8】如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．[思路探究]eq\x(\o(BD,\s\up8(→))＝\o(BA,\s\up8(→))＋\o(AC,\s\up8(→))＋\o(CD,\s\up8(→)))→eq\x(|\o(BD,\s\up8(→))|2)注意对〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉的讨论，再求出B，D间距离．[解]∵∠ACD＝90°，∴eq\o(AC,\s\up8(→))·CD＝0，同理可得eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝60°或〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝120°.又eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))，∴|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up8(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up8(→))|2＋2eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＋2eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＋2eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝3＋2×1×1×cos〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉．∴当〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝60°时，|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝120°时，|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝2，此时B，D间的距离为eq\r(2).【规律方法】求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝eq\r(a·a)，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).(3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．考点九：基底的判断空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．【例9】(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up8(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up8(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}能否作为空间的一个基底．(1)C[如图所示，令a＝eq\o(AB,\s\up8(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up8(→))，c＝eq\o(AD,\s\up8(→))，则x＝eq\o(AB1,\s\up8(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up8(→))，z＝eq\o(AC,\s\up8(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up8(→)).由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.](2)[解]假设eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))成立，∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－3x＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程组无解．即不存在实数x，y使得eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))，所以eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))不共面．所以{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}能作为空间的一个基底．【规律方法】基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．考点十：用基底表示向量【例10】如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OC,\s\up8(→))＝b，eq\o(OP,\s\up8(→))＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(EF,\s\up8(→)).[思路探究]eq\x(\a\al(利用图形寻找待求向,量与a，b，c的关系))→eq\x(\a\al(利利用向量运,算进行分拆))→eq\x(\a\al(直至向量用,a，b，c表示))[解]连接BO(图略)，则eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up8(→))＋eq\o(OP,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up8(→))＋eq\o(OP,\s\up8(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OP,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PO,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a.【规律方法】基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．考点十一：正交分解在立体几何中的应用正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．(2)正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．【例11】如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值．[思路探究]eq\x(取基底{\o(AB,\s\up8(→))，\o(AD,\s\up8(→))，\o(AA1,\s\up8(→))})→eq\x(用基底表示向量\o(BD1,\s\up8(→))和\o(AC,\s\up8(→)))→eq\x(求|\o(BD1,\s\up8(→))|，|\o(AC,\s\up8(→))|和\o(BD1,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→)))→eq\x(求\o(BD1,\s\up8(→))与\o(AC,\s\up8(→))的夹角余弦值)→eq\x(得异面直线所成角的余弦值)[解]{eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))}可以作为空间的一个基底，且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝a，|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝a，|eq\o(AA1,\s\up8(→))|＝b，〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))〉＝90°，〈eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))〉＝120°，〈eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))〉＝120°.又eq\o(BD1,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，∴|eq\o(BD1,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AA1,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋2eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AA1,\s\up8(→))－2eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))－2eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝a2＋b2＋a2＋2abcos120°－0－2abcos120°＝2a2＋b2，|eq\o(AC,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＋|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＝2a2，∴|eq\o(BD1,\s\up8(→))|＝eq\r(2a2＋b2)，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\r(2)a.∴eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＋eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))－|eq\o(AB,\s\up8(→))|2－eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝0＋a2＋abcos120°＋abcos120°－a2－0＝－ab.∴|cos〈eq\o(BD1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉|＝eq\f(|\o(BD1,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→))|,|\o(BD1,\s\up8(→))||\o(AC,\s\up8(→))|)＝eq\f(|－ab|,\r(2a2＋b2)·\r(2)a)＝eq\f(b,\r(4a2＋2b2)).∴异面直线BD1和AC所成角的余弦值为eq\f(b,\r(4a2＋2b2)).【规律方法】基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤(1)设出基向量．(2)用基向量表示出直线的方向向量．(3)用|a|＝eq\r(a·a)求长度，用a·b＝0⇔a⊥b，用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求夹角．(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．考点十二：求空间点的坐标1．空间直角坐标系空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系坐标轴x轴、y轴、z轴坐标原点点O坐标向量i，j，k坐标平面Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，则称坐标系为右手直角坐标系空间直角坐标系中A点坐标在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up8(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up8(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up8(→))＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作a＝(x，y，z)【例12】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标．[思路探究]将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各点的坐标．[解](1)显然D(0,0,0)，因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)．因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)．(2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，则C1C的中点N为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0,2)，\f(4＋4,2)，\f(0＋5,2)))，即Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(5,2))).【规律方法】坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点x轴上(x,0,0)xOy平面上(x，y,0)y轴上(0，y,0)yOz平面上(0，y，z)z轴上(0,0，z)xOz平面上(x,0，z)坐标原点(0,0,0)考点十三：求对称点的坐标【例13】在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[思路探究]求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标．[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．【规律方法】1．求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下：对称轴或对称中心对称点坐标P(a，b，c)x轴(a，－b，－c)y轴(－a，b，－c)z轴(－a，－b，c)xOy平面(a，b，－c)yOz平面(－a，b，c)xOz平面(a，－b，c)坐标原点(－a，－b，－c)2.在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).考点十四：空间向量的坐标表示【例14】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量eq\o(BN,\s\up8(→))，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐标．[思路探究]以点C为原点，分别以eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))分别用eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))表示出来，再写出它们的坐标．[解]法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BN,\s\up8(→))的坐标为(1，－1,1)，而eq\o(BA1,\s\up8(→))＝eq\o(CA1,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))的坐标为(1，－1,2)．又∵eq\o(A1B,\s\up8(→))＝－eq\o(BA1,\s\up8(→))，∴eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐标为(－1,1，－2)．法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝(1，－1,1)，eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(1，－1,2)，eq\o(A1B,\s\up8(→))＝(－1,1，－2)．【规律方法】用坐标表示空间向量的步骤考点十五：空间向量的坐标运算1．空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b32.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则平行(a∥b)a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝λb1，,a2＝λb2，λ∈R,a3＝λb3))垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)模|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)eq\o(AB,\s\up8(→))＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；(2)dAB＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(a2－a12＋b2－b12＋c2－c12).【例15】(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________.(2)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．(1)2[c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.](2)[解]a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)；a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.【规律方法】进行空间向量的数量积坐标运算的技巧利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧．(1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等．(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求数量积；计算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求数量积，也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．考点十六：空间向量的平行与垂直【例16】(1)对于空间向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)．若a∥b，则实数λ＝()A．－2B．－1C．1D．2(2)正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3eq\o(B1P,\s\up8(→))＝eq\o(PD1,\s\up8(→))，若PQ⊥AE，eq\o(BD,\s\up8(→))＝λeq\o(DQ,\s\up8(→))，求λ的值．[思路探究](1)利用向量共线充要条件．(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，求λ值．(1)D[因为空间向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)，若a∥b，则eq\f(1,λ)＝eq\f(2,4)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以λ＝2，故选D.](2)[解]如图所示，以D为原点，eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3eq\o(B1P,\s\up8(→))＝eq\o(PD1,\s\up8(→))，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，所以3a－3＝－a，解得a＝eq\f(3,4)，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，1)).由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQ⊥AE，所以eq\o(PQ,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,4)，b－\f(3,4)，－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))＝0，即－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,4)))－eq\f(1,2)＝0，解得b＝eq\f(1,4)，所以点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，因为eq\o(BD,\s\up8(→))＝λeq\o(DQ,\s\up8(→))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1，0))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，所以eq\f(λ,4)＝－1，故λ＝－4.【规律方法】1．判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2)(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．2．由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可．考点十七：空间向量的夹角与长度问题【例17】如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；(3)求证：BN⊥平面C1MN.[思路探究]eq\x(建系C­xyz)→eq\x(得各点的坐标)→eq\x(数量积运算)→eq\x(夹角、长度公式)→eq\x(几何结论)[解](1)如图所示，建立空间直角坐标系C­xyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴|eq\o(BN,\s\up8(→))|＝eq\r(1－02＋0－12＋1－02)＝eq\r(3)，∴线段BN的长为eq\r(3).(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(1，－1,2)，eq\o(CB1,\s\up8(→))＝(0,1,2)，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))·eq\o(CB1,\s\up8(→))＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|eq\o(BA1,\s\up8(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up8(→))|＝eq\r(5).∴cos〈eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(CB1,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up8(→))·\o(CB1,\s\up8(→)),|\o(BA1,\s\up8(→))||\o(CB1,\s\up8(→))|)＝eq\f(\r(30),10).故A1B与B1C所成角的余弦值为eq\f(\r(30),10).(3)证明：依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))，∴eq\o(C1M,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq\o(C1N,\s\up8(→))＝(1,0，－1)，eq\o(BN,\s\up8(→))＝(1，－1,1)，∴eq\o(C1M,\s\up8(→))·eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)×1＋eq\f(1,2)×(－1)＋0×1＝0，eq\o(C1N,\s\up8(→))·eq\o(BN,\s\up8(→))＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴eq\o(C1M,\s\up8(→))⊥eq\o(BN,\s\up8(→))，eq\o(C1N,\s\up8(→))⊥eq\o(BN,\s\up8(→))，∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，又∵C1M∩C1N＝C1，C1M⊂平面C1MN，C1N⊂平面C1MN，∴BN⊥平面C1MN.【规律方法】1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．考点十八：求平面的法向量1．空间中点、直线和平面的向量表示点P的位置向量在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量eq\o(OP,\s\up8(→))表示，我们把向量eq\o(OP,\s\up8(→))称为点P的位置向量.空间直线的向量表示式a是直线l的方向向量，在直线l上取eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋ta，也可以表示为eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→)).这两个式子称为空间直线的向量表示式.空间平面ABC的向量表示式设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝xa＋yb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))，这就是空间平面ABC的向量表示式.(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．3．空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)线面平行设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)【例18】四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系A­xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量．[解]A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．∵AD⊥平面SAB，∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，则n·eq\o(DC,\s\up8(→))＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－eq\f(1,2).又n·eq\o(DS,\s\up8(→))＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝eq\f(1,2).∴n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，\f(1,2)))即为平面SCD的一个法向量．【规律方法】求平面法向量的步骤(1)设法向量n＝(x，y，z)；(2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；(3)建立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝a1x＋a2y＋a3z＝0，,n·b＝b1x＋b2y＋b3z＝0；))(4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．考点十九：利用空间向量证明线线平行【例19】(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．－3,2D．2,2(2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.[思路探究](1)利用空间向量共线的充要条件求值．(2)可采用两种方法：一是向量法，二是坐标法，要证PQ∥RS，只要证eq\o(PQ,\s\up8(