十一讲优化与数值积分ppt课件市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件

第十一讲优化、数值积分

与常微分方程数值解10/5/1/4210/5/1第十一讲优化、数值积分

与常微分方程数值解11.1无约束优化11.2约束线性优化11.3二次规划11.4非线性方程求解11.5数值积分理论和方法11.6数值积分Matlab实现11.7常微分方程数值解2/4210/5/211.1无约束优化形如：minf(x),x=(x1,……,xn)T

优化问题常称为无约束线性规划，实际上是多元函数无条件极值问题，极值点是局部最优解，全局最优解只能从局部最优解中比较得到，以下所谓最优解均指局部最优解3/4210/5/311.1无约束优化1.fminbnd功效：计算非线性一元函数最小值。格式：[X,FVAL]=fminbnd(‘fun’,x1,x2)例：计算函数f(x)=(x^3+x^2-1)/(exp(x)+exp(-x))最小值和最小值点，-5<=x<=54/4210/5/411.1无约束优化>>fun='(x^3+x^2-1)/(exp(x)+exp(-x))';

>>ezplot(fun)

>>[x,fval,exitflag]=fminbnd(fun,-5,5)

x=

-3.3112

fval=

-0.9594

exitflag=

15/4210/5/511.1无约束优化2.fminsearch功效：计算多元函数最小值。格式：X=fminsearch(‘fun’,X0);

[X,fval,exitflag]=fminsearch(...)例：求点(x1,x2)使目标函数f(x)取得最小值：f(x)=sin(x1)+cos(x2)6/4210/5/611.1无约束优化x0=[0,0];

>>fun='sin(x(1))+cos(x(2))';

>>[x,fval,exitflag]=fminsearch(fun,x0)

x=

-1.57083.1416

fval=

-2.0000

exitflag=

17/4210/5/711.2约束线性优化约束优化即为含有一定条件优化问题，其普通形式为若f,gi是线性函数，则称此模型为线性规划，不然称为非线性规划。8/4210/5/811.2约束线性优化linprog功效：约束线性优化。格式：X=linprog(f,A,b,Aeq,beq)X=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)这里，由Aeq与beq确定了等式约束，LB，UB确定了x范围，x0为初值。9/4210/5/911.2约束线性优化例：Min–5x1+4x2+2x3S.t6x1-x2+3x3<=8x1+2x2+4x3<=10-1<=x1<=30<=x2<=2x3>=0

10/4210/5/1011.2约束线性优化>clear

>>f=[-542];

>>A=[6-11;124];

>>b=[8;10];

>lb=[-100];

>>ub=[3,2];11/4210/5/1111.2约束线性优化>>[x,f]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)

Optimizationterminated.

x=

1.3333

0.0000

0.000

f=

-6.6667

12/4210/5/1211.3二次规划对于非线性规划，常见是二次规划，其普通模型为：minf(x)=0.5xTHx+cxs.t.AX≤b尤其，当H为正定矩阵时，目标函数为凸函数，线性约束下可行域为凸集，此时称凸二次规划。13/4210/5/1311.3二次规划1.quadprog功效：求解二次规划问题格式：X=quadprog(H,f,A,b)X=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)X=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)X=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0)14/4210/5/1411.3二次规划例：15/4210/5/1511.3二次规划h=[1-1;-12];>>c=[-2;-6];>>a=[11;-12;21];>>b=[2;2;3];>>lb=[00];>>[x,f]=quadprog(h,c,a,b,[],[],lb)x=0.66671.3333f=-8.222216/4210/5/1611.4非线性方程求解1.fzero功效：求非线性方程近似解

格式：x=fzero(‘f’,x0)[X,FVAL]=fzero(‘f’,...)例：>>[x,f]=fzero('sin',2)x=3.1416f=1.2246e-01617/4210/5/1711.4非线性方程求解2.fsolve功效：求非线性方程近似解

格式：x=fsolve(‘f’,x0)[X,FVAL]=fsolve(‘f’,X0,...)例：>>[x,f]=fsolve('cos(x)+x',1)x=-0.7391f=-2.8460e-01018/4210/5/1811.5数值积分理论和方法19/4210/5/1911.5数值积分理论和方法20/4210/5/2011.5数值积分理论和方法21/4210/5/2111.5数值积分理论和方法22/4210/5/2211.5数值积分理论和方法23/4210/5/2311.6数值积分Matlab实现1.一元函数数值积分函数1quad、quadl功效数值定积分，自适应Simpleson积分法。格式

q=quad(fun,a,b)%近似地从a到b计算函数fun数值积分，误差为10-6。若给fun输入向量x，应返回向量y，即fun是一单值函数。24/4210/5/2411.6数值积分Matlab实现q=quad(fun,a,b,tol)%用指定绝对误差tol代替缺省误差。tol越大，函数计算次数越少，速度越快，但结果精度变小。q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…)%将可选参数p1,p2,…等传递给函数fun(x,p1,p2,…)，再作数值积分。若tol=[]或trace=[]，则用缺省值进行计算。25/4210/5/2511.6数值积分Matlab实现[q,n]=quad(fun,a,b,…)%同时返回函数计算次数n…=quadl(fun,a,b,…)%用高精度进行计算，效率可能比quad更加好。例2-40>>fun=inline(‘3*x.^2./(x.^3-2*x.^2+3)’);>>Q1=quad(fun,0,2)%Q1=3.7224>>Q2=quadl(fun,0,2)%Q2=3.722426/4210/5/2611.6数值积分Matlab实现函数2trapz功效梯形法数值积分格式T=trapz(Y)%用等距梯形法近似计算Y积分。若Y是一向量，则trapz(Y)为Y积分；若Y是一矩阵，则trapz(Y)为Y每一列积分。27/4210/5/2711.6数值积分Matlab实现T=trapz(X,Y)%用梯形法计算Y在X点上积分。若X为一列向量，Y为矩阵，且size(Y,1)=length(X)，则对Y每一列积分。28/4210/5/2811.6数值积分Matlab实现2二元函数重积分数值计算函数dblquad功效矩形区域上二重积分数值计算格式q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)

%调用函数quad在区域[xmin,xmax,ymin,ymax]上计算二元函数z=f(x,y)二重积分。29/4210/5/2911.6数值积分Matlab实现q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)

用指定精度tol代替缺省精度10-6，再进行计算。q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)%用指定算法method代替缺省算法quad。method取值有@quadl。30/4210/5/3011.6数值积分Matlab实现q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method,p1,p2,…)%将可选参数p1,p2,..等传递给函数fun(x,y,p1,p2,…)。若tol=[]，method=[]，则使用缺省精度和算法quad。如：>>fun=inline(’y./sin(x)+x.*exp(y)’);>>Q=dblquad(fun,1,3,5,7)计算结果为：Q=3.8319e+00331/4210/5/3111.6数值积分Matlab实现q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)%用指定算法method代替缺省算法。method取值有缺省算法或用户指定、与缺省命令有相同调用次序函数句柄。q=dblquad(fun,xlower,xupper,ymin,ymax,tol,method,p1,p2,…)%将可选参数p1,p2,..等传递给函数fun(x,y,p1,p2,…)。若tol=[]，method=[]，则使用缺省精度和算法。32/4210/5/3211.7常微分方程数值解函数ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb功效常微分方程（ODE）组初值问题数值解参数说明：solver为命令ode45、de23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb之一。Odefun为显式常微分方程y’=f(t,y)。33/4210/5/3311.7常微分方程数值解Tspan积分区间（即求解区间）向量tspan=[t0,tf]。要取得问题在其它指定时间点t0,t1,t2,…上解，则令tspan=[t0,t1,t2,…,tf]（要求是单调）。Y0包含初始条件向量。Options用命令odeset设置可选积分参数。P1,p2,…传递给函数odefun可选参数。34/4210/5/3411.7常微分方程数值解格式[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)%在区间tspan=[t0,tf]上，从t0到tf，用初始条件y0求解显式微分方程y’=f(t,y)。对于标量t与列向量y，函数f=odefun(t,y)必须返回一f(t,y)列向量f。解矩阵Y中每一行对应于返回时间列向量T中一个时间点。要取得问题在其它指定时间点t0,t1,t2,…上解，则令tspan=[t0,t1,t2,…,tf]（要求是单调）。35/4210/5/3511.7常微分方程数值解[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options)%用参数options（用命令odeset生成）设置属性（代替了缺省积分参数），再进行操作。惯用属性包含相对误差值RelTol（缺省值为1e-3）与绝对误差向量AbsTol（缺省值为每一元素为1e-6）。[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2…)

将参数p1,p2,p3,..等传递给函数odefun，再进行计算。若没有参数设置，则令options=[]。36/4210/5/3611.7常微分方程数值解1．求解详细ODE基本过程：（1）依据问题所属学科中规律、定律、公式，用微分方程与初始条件进行描述。F(y,y’,y’’,…,y(n),t)=0y(0)=y0,y’(0)=y1,…,y(n-1)(0)=yn-1而y=[y;y(1);y(2);…,y(m-1)]，n与m能够不等37/4210/5/3711.7常微分方程数值解（2）利用数学中变量替换：yn=y(n-1),yn-1=y(n-2),…,y2=y’,y1=y，把高阶（大于2阶）方程（组）写成一阶微分方程组：，

38/4210/5/3811.7常微分方程数值解（3）依据（1）与（2）结果，编写能计算导数M-函数文件odefile。（4）将文件odefile与初始条件传递给求解器Solver中一个，运行后就可得到ODE、在指定时间区间上解列向量y（其中包含y及不一样阶导数）。2．求解器Solver与方程组关系表见下表

39/4210/5/39函数指令含义函数含义求解器Solverode23普通2-3阶法解ODEodefile包含ODE文件ode23s低阶法解刚性ODE选项odeset创建、更改Solver选项